淺析如何在高中數學教學實踐中培養學生的數學思維

李慧麗

［摘? 要］ 數學教學是關于數學思維的教學，數學思維的培養關乎著學生學習能力的提升. 在實際教學中，教師應采用各種多元化的教學手段來激活學生的數學思維，誘發學生深度思考，通過各種數學化的過程來發展數學思維，落實學生的數學核心素養.

［關鍵詞］ 數學思維；數學化；核心素養

數學思維在“教”與“學”中的價值是不言而喻的，它是解決數學問題的根本策略. 好的數學思維可以更科學地、有效地指導數學實踐活動，促進學生可持續發展能力的提升. 對于數學思維能力的培養是一個長期且復雜的過程，應貫穿數學教學始終，滲透數學教學的每個角落，通過具有豐富數學思維的數學教學，提高學生的數學思維能力，引導學生用數學思維理性地思考問題，從而學會學習. 值得注意的是，數學思維能力的培養是難以靠“灌輸”來實現的，其更多的是一種感悟、經驗、能力，是一個長期積累、不斷提升的過程. 筆者根據教學實踐，探尋鍛煉數學思維的有效途徑，現將探尋過程分享給大家，僅供參考！

[?] 經歷過程，品味思想

在數學教學中，若想發展學生的數學思維，就要充分展現學生的思維過程，引導學生在過程中去發現、去探索、去品味，讓學生的思維在實踐活動中得到鍛煉和提升. 在解題教學中，教師要為學生提供一個自由展示的舞臺，展示解題思路形成和實施的整個過程，以此悟出數學解題的思維活動方式.

例1 已知函數f（x）=alnx+x2（a為實常數），若a>0，且對任意的x，x∈［1，e］都有f（

x）-f（

x）≤

-，求實數a的取值范圍.

解題前，教師讓學生思考這樣兩個問題：①f（x）的單調性如何？②題中的絕對值符號如何處理？

學生獨立思考后，師生共同交流，完善解答：當a>0時，f（x）在x∈［1，e］上是增函數，又y=是減函數，不妨設1≤x≤x≤e，則f（

x）-f（

x）≤

-等價于f（x）-f（x）≤-，即f（x）+≤f（x）+. 故原題等價于函數h（x）=f（x）+在x∈［1，e］上是減函數，所以h′（x）=+2x-≤0恒成立，即a≤-2x2在x∈［1，e］上恒成立. 因為y=-2x2在x∈［1，e］上是減函數，所以a≤-2e2，又a>0，所以a∈ .

在教學中，教師拋出問題誘發學生深入思考，從而避免簡單的模仿，引導學生探尋問題的本質，讓學生體驗“構造新函數”方法之妙的同時，感受探索的樂趣，激發學生數學學習的積極性. 而且通過探索不斷擴充學生的認知結構，豐富學生的學習方法和解題經驗，有效發展學生的數學思維.

[?] 借助概念，領悟抽象

在概念教學中，教師應帶領學生經歷概念形成、發展的過程，領悟抽象化數學思維方法，以此培養學生的抽象思維能力. 在教學中，為了呈現概念形成和發現的過程，教師可以有針對性地設計問題情境，用數學問題推動教學進程，用數學問題誘發學生數學思考，用數學問題促進學生思維能力提升.

例2 探究二項式定理.

為了讓學生更好地體驗數學知識的形成過程，教師創設了如下問題：

問題1：（a+b）（c+d）的展開式有多少項？有無同類項？

（利用分步計數原理得到其展開式有4項，即ac，ad，bc，bd，無同類項）

問題2：（a+b）（a+b）的原始展開式有幾項？有幾項同類項？

（原始展開式有4項，即a2，ab，ab，b2，有2項同類項，即（a+b）（a+b）=a2+2ab+b2）

問題3：（a+b）（a+b）（a+b）的原始展開式有幾項？合并后是哪幾項？

（原始展開式有8項，合并后為（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3）

問題4：不用計算，猜一猜（a+b）（a+b）（a+b）（a+b）的原始展開式有幾項.

（通過對比分析讓學生發現原始展開式有16項，逐漸發現數學規律）

問題5：你能準確快速地寫出（a+b）·（a+b）（a+b）（a+b）的原始展開式嗎？合并后又有哪些項呢？

問題6：（a+b）（a+b）（a+b）（a+b）的原始展開式中一定有a3b這一項嗎？完成哪件事可以得到這一項呢？

問題7：a3b共有多少個呢？你是如何得到的呢？

（引導學生從4個（a+b）的乘積中，取1個b和3個a的乘積個數，這樣C的出現也就水到渠成了）

問題8：該項的個數與其系數有何關系？

（經過驗證容易發現該項的個數恰好為其系數，由此清晰地感受到其中確有同類項的存在）

問題9：（a+b）n合并后的展開式中，an-rbr的系數是多少？

問題10：如何輕松、準確、快速地寫出（a+b）n合并后的展開式呢？

（經歷以上探究活動，規律已經涌現，通過總結歸納，讓學生自己發現定理）

通過對比分析讓學生發現（a+b）n展開式的項數共有n+1項，系數分別為組合數C，C，…，C，…，C，由此通過觀察、對比、抽象，讓學生體驗到數學知識的形成過程，促進學生數學分析能力和數學抽象能力的提升.

只有具有良好的概括能力才能將前后所學的知識串聯起來，從而形成完整的認知體系，避免因為知識漏洞而影響學生遷移能力的提升. 學生抽象概括能力的培養往往需要經歷一個長期的過程，教師要為學生營造一個平等的、和諧的學習氛圍，引導學生去發現、去概況，切身體驗數學的抽象之美.

[?] 探尋美學，培養直覺

數學知識是一種傳承，更是一種創新，而創新離不開直覺思維，因此教學中教師應重視學生直覺思維的培養. 表面上看直覺思維具有一定的主觀性，但是其與學生的學習經驗、知識儲備、思考習慣息息相關. 培養學生的直覺思維能力有助于學生數學學習能力的提升，有助于學生創新意識和創新能力的發展，其在教學中有著重要的意義和作用. 在日常教學中，教師要鼓勵學生從直覺的角度去觀察、分析，直至解決問題，以此借助直覺更好地感知數學、體驗數學.

對于中心對稱、軸對稱這些名詞，學生并不陌生，其所體現的是一種美，即對稱美. 在高中數學教學中，因追求速度和容量，課堂上往往忽視了對數學美的研究. 為了改變這一現狀，教師可以開展一些探究活動，讓學生在探究中發現知識、發現美，從而在傳承的基礎上，創新性地看待問題，提升學習的積極性. 例如，為了讓學生體驗函數圖像的中心對稱之美，教師安排學生探究“函數y=f（x）的圖像關于點P（a，b）成中心對稱圖形”的充要條件，學生借助化歸轉化思想進行探究可得其充要條件為“函數y=f（x+a）-b是奇函數”. 在該命題的啟發下，引導學生解決更多關于中心對稱的問題，讓學生感受探究的樂趣.

例3 求函數h（x）=log2圖像對稱中心的坐標.

在以上思路的啟發下，學生給出了解題過程：

設函數h（x）=log圖像的對稱中心為P（a，b），根據以上探究結果可知y=h（x+a）-b是奇函數. 設f（x）=h（x+a）-b，則f（x）=log-b，即f（x）=log-b. 由不等式>0的解集關于原點對稱，得a=2. 此時f（x）=log-b，x∈（-2，2）. 任取x∈（-2，2），由f（-x）+f（x）=0，得b=1，所以函數h（x）=log2圖像對稱中心的坐標是（2，1）.

在日常教學中，要少一些簡單的模仿和灌輸，多給學生一些想象的空間，鼓勵學生去對比、去聯想，以此在直覺運用中體驗數學的內在美.

[?] 聯系生活，拓展升華

在應試教育的束縛下，似乎一切學習活動都以提高學生成績為出發點，這樣的教學是低效的、消極的. 為了讓學生更好地體驗數學、掌握數學，激發學生的積極情感，教師可以引導學生從生活實際出發，讓學生切身體驗數學的應用價值，以此提高學習品質，提高數學教學的有效性. 為了讓學生更好地“用數學”，教師常常引入一些實際應用問題，引導學生從數學的角度分析和解決問題，提升學生的數學應用能力.

例4 如圖1所示，現有一片邊長為1（單位：百米）的正方形空地ABCD，中間部分MNK是一片池塘，池塘邊緣的曲線段MN為函數y=

≤x≤

的圖像，另外兩個邊緣MK，NK分別為平行于CD和BC的直線段. 為了進一步美化這片空地，計劃在這片空地上修一條直路l（寬不計）. 直路l將該片空地分成兩部分，且直路l與曲線段MN相切于點P. 記點P到邊AD的距離為t，f（t）表示在直線l左下部分的面積.

（1）求f（t）的解析式；

（2）求面積S=f（t）的最大值.

學生面對應用問題時容易出現畏難情緒，尤其是面對動態變化的問題時更顯得束手無策. 為了讓學生能夠有所突破，在求解例4時，當學生獨立思考后，由教師組織學生進行小組交流，以此厘清問題的來龍去脈. 學生積極討論，認為確定直路l左下部分的形狀是解題的關鍵. 有的學生認為這個形狀應該是三角形，有的學生認為是四邊形，還有學生說是五邊形，這樣借助分歧誘發學生深度思考，通過積極的討論、探索，使問題逐漸清晰.

學生解答：（1）因為y=，所以y′= -，所以過點P的切線方程為y-= -（x-t），即y=-x+. 令x=0，得y=. 令y=0，得x=2t. 所以切線與x軸相交于點E（2t，0），與y軸相交于點F0

，.

通過2t，分別與1的比較可確定直路l左下部分為直角三角形或直角梯形. 分析可解得f（t）=

2t-t2

，≤

t<，

，≤t

≤，

，

≤.

（2）當≤t<時，f（t）=2t-t2= -

t-2+<；當

-22+<. 所以S=.

這樣通過實際問題的解決能有效培養學生思維的深刻性，讓學生體驗數學學習的真正價值，提升學生的數學思維品質.

總之，在培養學生數學思維的道路上，教師應為學生創設適宜的問題環境，善于采用多元化的教學手段激發學生數學學習熱情，提高學生參與積極性，并在參與中提煉知識背后蘊含的數學本質，從而讓學生更好地理解數學、掌握數學，提升學生的思維品質.