數學拓展性課程中學生思維層級提升的教學目標設計與課堂教學實施

任靜爾

摘? ? 要：數學拓展性課程是數學基礎性課程的延伸，在培養和發展學生思維能力中起到重要作用.教師在拓展性課程的教學中可參照SOLO分類層次，根據多元結構水平、關聯結構水平、抽象拓展水平的相關層次要求設計教學目標，以問題驅動學生積極、有效地參與課堂.教師應在實驗操作、觀察歸納、數學說理、遷移應用等環節精心設計教學，體現教學的趣味性、實踐性、層次性，并給予學生充分的動手操作空間，引導學生的思維水平逐層進階.

關鍵詞：數學拓展性課程;思維層級;教學目標;教學實施;等腰三角形分割

數學拓展性課程作為數學基礎性課程的延伸，在培養和發展學生思維能力中起到重要作用.三角形是初中數學幾何中的重要組成部分，也是第一個系統研究的幾何圖形，而等腰三角形是特殊的三角形，研究特例是數學研究中常用的方法，因此，筆者以《等腰三角形分割》的教學為例，談談數學拓展性課程中學生思維層級提升的教學目標設計與課堂教學實施.

一、《等腰三角形分割》教學現狀分析

《等腰三角形分割》是浙教版義務教育教科書《數學》八年級上冊第二章的內容，指向學生學習了等腰三角形性質、判定之后的探究性活動，可為學生后續學習四邊形、特殊四邊形的性質打下基礎.

具體教學中，有的教師引導學生直接從抽象的三角形出發，將其分成直角三角形、鈍角三角形、銳角三角形三種情況，再從三個內角進行分割.這樣一共要討論9種情況，學生的思維確實得到了鍛煉，并且能幫助學生學會如何進行分類討論，但是思維難度比較大，需要教師手把手引導，且課堂中的生成性資源比較少.有的教師從一個給定內角的三角形出發，讓學生自己動手分割，再結合閱讀材料總結，得到分割任意三角形的方法.學生通過觀察、嘗試、閱讀、梳理、分享，使思考變得具象化.這雖然滲透了從特殊到一般的數學思想，但是給予學生的數學活動空間不夠豐富，學生在得到結論前的活動經驗比較少.有的教師從一個比較特殊的等腰三角形（72°，72°，36°）出發，讓學生交流合作，再通過類比解決問題.這雖然提升了學生的思維水平，滲透了類比的數學思想，但是給的三角形太特殊，學生要由此聯想到任意的三角形分割是相當困難的.

基于以上分析，筆者認為該課在設計中可參照SOLO分類層次，體現趣味性、實踐性、層次性等特點，給予學生充分的動手操作空間，引導學生的思維水平從單一結構水平走向多元結構水平，再經歷觀察分析、歸納猜想，提升到關聯結構水平，進而通過數學說理、遷移應用等教學環節，達到抽象拓展水平.

二、《等腰三角形分割》教學目標層級分析及設計

SOLO分類層次反映的是學生學習由量變積累到質變的過程.多元結構水平重點在于學生對知識點的掌握，而后兩個結構水平則主要考查學生思維能力和針對不同學習任務分析解決問題的能力[1].因此，筆者設計了如下的目標層次.

（一）多元結構水平

【目標】理解等腰三角形的定義和判定，會對具體角度的三角形進行分割.

【設計】4人小組動手操作，按要求將道具包里的10個標有具體內角度數的三角形進行分割，最先分割好的小組到講臺上展示.

【設計意圖】課堂的藝術不在于“靜”，而在于“動”.教師要給予學生更多的活動體驗，引導他們在動手操作中回顧等腰三角形的定義和性質，使其思維從單一結構水平發展到多元結構水平.學生通過小組合作，將10個不同的三角形進行分割，并體會到同伴之間互相幫助、互相交流的快樂.

（二）關聯結構水平

【目標】經歷實驗操作、觀察分析、歸納猜想等活動過程，掌握從特殊到一般的數學研究方法，體會分類討論的思想.

達成標志：（1）能將分割好的三角形按照內角度數進行分類;（2）能表述一個三角形分割成兩個等腰三角形時內角需要滿足的條件.

【設計】問題鏈驅動

問題1：關注黑板上展示的分割出的三角形，你能否再從角度關系上對它們進行分類？

問題2：如何將一個含有直角、2倍角、3倍角的三角形分割成兩個等腰三角形？

問題3：這三種情況下三角形是否一定能分？應該怎么分？

問題4：是否滿足這三種情況就能被分？

追問1：30°，50°，100°滿足上述三種情況嗎？能分嗎？

追問2：反過來，是否只有這三種情況？

追問3：對于任意一個三角形，要將它分割成2個等腰三角形，應滿足什么條件？我們可以如何探究？

【設計意圖】思維是由“一些困惑、混淆或懷疑”引發的，問題的本質決定了思考的結果，思考的結果控制著思維的過程.追問1通過反例“30°，50°，100°”引導學生得出2倍角分割時角度需要滿足的條件.追問2能促進學生進行超出能力范圍的推理和思考.追問3允許學生使用廣泛的解決方法和策略.三次追問，滿足了開放式問題的要求，層層遞進，突破孤立的問題呈現帶給學生的思維禁錮，引導學生關聯等腰三角形的相關知識，將問題轉化，再通過師生的不斷對話，將學生對問題的認識和理解推向新高度.

（三）抽象拓展結構水平

【目標】證明任意三角形分割成兩個等腰三角形需要滿足的條件，并將結論遷移應用，體會數學建模的思想.

達成標志：（1）能根據分析畫出示意圖，并進行幾何證明;（2）能將結論應用到新的問題情境中解決問題.

【設計1】數學說理

畫一個△ABC，從頂點A出發沿著AD將三角形分割成兩個等腰三角形，在△ABD中，使得AD=BD，在△ADC中，則有三種情況，分別是DA=DC，AD=AC，CA=CD.

教師利用分析導圖幫助學生理清思路，第一種情況由教師板書，后兩種情況由學生自主完成.

【設計意圖】幫助學生發展邏輯思維，引導學生通過翻譯數學語言，分析已知條件，分類討論推進問題求解的探索.對這一問題情境，筆者引導學生將其數學化，這是第一次運用抽象邏輯的過程;在此基礎上，進一步帶領學生推理論證，進行嚴格的證明，這是第二次運用抽象邏輯的過程，由此幫助學生實現抽象拓展結構水平的提升.

【設計2】遷移應用

在△ABC中，AB=AC，若過其中一個頂點的一條直線，將△ABC分成兩個等腰三角形，求△ABC各內角的度數.

【設計意圖】推理論證得到可以分割成兩個等腰三角形的條件后，適時設計變式，引導學生捕捉題干信息，應用所學的結論，通過分類等手段解決問題，實現知識技能的遷移，同時滲透數學建模思想.

三、《等腰三角形分割》課堂教學實施

根據以上目標層級的分析，滲透疑為主軸、動為主線，學生為主體、教師為主導的理念，筆者在課堂中實施了以下教學環節.

（一）動手操作

將道具包里的10個三角形（20°，70°，90°;25°，65°，90°;40°，50°，90°;35°，70°，75°;40°，80°，60°; 30°，50°，100°;20°，60°，100°;25°，75°，80°;35°， 40°，105°;30°，40°，110°）從頂點處切一刀分割成兩個等腰三角形，最先分割好的小組在講臺上將相應的三角形進行展示.

【評析】傳統的數學課堂中較少以數學活動展開，因此數學游戲可以彌補基礎性課程的欠缺，作為拓展性課程的一個實施策略[2].道具包的使用將抽象的問題變成了具體可操作的游戲活動，能激發學生的興趣，提高其課堂參與度.

（二）問題鏈驅動

先引導學生觀察黑板上展示的分割出的三角形，從角度關系上對它們進行分類，即直角、2倍角和3倍角，并畫出示意圖.再通過問題鏈驅動，以層層遞進的追問引導學生關聯等腰三角形的相關知識，發現原三角形需要滿足的條件.

【評析】問題驅動要以教學目標為出發點，以情境創設為切入點，以最近發展區為著力點，以提高問題開放性為支撐點，以提升探究能力為落腳點，并通過追問、反問引發學生的思考.在之前活動的基礎上，筆者引導學生自主畫圖并證明.課堂中的學習過程，實際就是師生對話的過程.教師適當地提出質疑、反問，明確地呈現學習要求，可引導學生更加深入地加工和處理學習材料，而師生的不斷對話，則將學生對問題的認識和理解推向新高度.

（三）數學說理

筆者將“設計1”中的問題圖形化，引導學生分類討論，利用分析導圖（如圖1），推進問題的求解.

綜上所述，滿足三種情況時可以一刀將三角形分割成兩個等腰三角形：有一個是直角（分直角）;有一個角是另一個角的2倍（較小角小于45°，分第三個角）;有一個角是另一個角的3倍（分3倍角）.

【評析】例題講解時，筆者基于問題情境，利用分析導圖，引導學生進行邏輯推理。在2倍角限定條件的討論中，除了可以依據之前的特殊情況外，還可以利用圖形中分割出三角形的內角和關系來說理，這滲透了思維品質嚴謹性和廣闊性的培養.在經歷數學“再發現”的過程中，學生形成實事求是的態度，學會用數學的思維思考現實世界.

（四）遷移應用

針對“設計2”中的問題，學生將結論進行遷移應用，分成三種情況，分別是分直角、分2倍角、分3倍角.直角的情況就是45°，45°，90°;分2倍角，可以把三個角設為x，2x，2x和x，x，2x，算出來第一種情況為36°，72°，72°，第二種情況為較小角等于45°，舍去;分3倍角，可以把三個角設為x，3x，3x和x，x，3x，算出來分別是[（1807）°]，[（5407）°]，[（5407）°]和36°，36°，108°.

【評析】筆者融入辯證邏輯理念，對問題進行了改編，引導學生用發展、變化的眼光對知識、題目進行定性把握，這有利于學生形成模型觀念，發展應用意識，逐步學會用數學的語言表達世界.

四、對《等腰三角形分割》教學目標設計和課堂教學實施的反思

整個課堂，學生由于受到未知領域的不斷挑戰，思維一直處于活躍狀態，并從最初對這一抽象問題無從著手，進階到通過實驗操作能逐漸明了，再經數學說理后豁然開朗，最后達到舉一反三、融會貫通.筆者根據目標層級設計和課堂實施的情況，作了如下反思.

（一）多元結構水平

課堂中教師的角色是引導、觀察、提問、組織、評價，學生則是討論、發現、思考、探究、積極參與.課前筆者設計了兩個問題：“什么是等腰三角形？我們是如何判定等腰三角形的？”這有效地幫助了學生回憶起等腰三角形的相關知識，因此在動手操作環節，每個學生都或多或少能分割出一些三角形.通過組內的交流互助，每個小組基本上都能分出6～7個三角形，有3個小組把能分割成兩個等腰三角形的圖形全部找到.學生基本達成思維從單一結構水平到多元結構水平的過渡.

（二）關聯結構水平

在問題驅動環節，筆者引導學生通過觀察黑板上已經分割好的三角形，將這些三角形進行分類，在層層遞進、螺旋式上升的問題鏈驅動下，學生發現要分割成兩個等腰三角形，原三角形需要滿足的條件.所有小組都能將分割好的三角形正確分類，將近五分之四的學生能夠逐漸理清思路，能表述一個三角形分割成兩個等腰三角形，其內角需要滿足的條件.在筆者為學生構建的活動情境中，學生充分利用已知的數學知識和活動經驗來解決新的問題，達到關聯結構水平.

（三）抽象拓展結構水平

數學說理這一環節蘊含了數學建模的思想，對于八年級的學生來說是有一定難度的，因此要引導學生將文字語言轉化成數學語言，讓學生理清在固定△ABD中AD=BD這一條件的情況下，只需變換△ADC中三邊的等量關系，進行分類討論，將問題轉化成三種情況進行證明.當然這一環節的設計也存在一定的爭議，有的教師提出，其實學生會更傾向于將三角形先分類，如分成銳角三角形、鈍角三角形、直角三角形三類，再進行分割.在磨課和試講的過程中，筆者嘗試過一次先分類再進行說理論證的教學，結果發現只有大約10%的學生可以跟上節奏并達成教學目標，因此，后來就沒再按照這個思路進行備課，但這其實是一種可以嘗試的課堂展現形式.最后一個遷移應用環節的設計，學生將生成的一般性結論應用到新的情境中，拓展了問題本身的意義，提升了抽象拓展結構水平.

總之，一堂有深度的數學課，教師應精心設計實驗操作、觀察歸納、數學說理、遷移應用等環節，引導學生對知識的認識逐漸從模糊走向清晰，從片面走向全面，從膚淺走向深刻，從而逐步實現思維從單一結構水平向抽象拓展水平的提升.

參考文獻：

[1]姚琳.基于SOLO分類理論進行差異教學的實踐研究[D].杭州：杭州師范大學，2016：6.

[2]葉立軍，鄧曉彤.初中數學拓展性課程開發的路徑及案例研究[J].天津師范大學學報（基礎教育版），2020（1）：52-55.