如何借轉(zhuǎn)化思想提升解題能力

孟春云

[摘? 要] 數(shù)學(xué)思想在解題教學(xué)中有著重要的應(yīng)用價(jià)值，文章以“轉(zhuǎn)化”這一數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用為例，借助轉(zhuǎn)化思想將問(wèn)題向直觀化、簡(jiǎn)單化、共性化、一般化轉(zhuǎn)變，使解題思路更加清晰明了，數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用更加融會(huì)貫通，收獲事半功倍的效果.

[關(guān)鍵詞] 數(shù)學(xué)思想;轉(zhuǎn)化;融會(huì)貫通

高考數(shù)學(xué)題目靈活多變，盲目地通過(guò)“刷題”進(jìn)行強(qiáng)化訓(xùn)練不僅會(huì)消耗寶貴的時(shí)間，而且收獲甚微，因此使很多學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)喪失了信心. 可見(jiàn)，“題海戰(zhàn)術(shù)”并不是真正提升解題能力的方法. 那么，如何提高學(xué)生的解題能力呢？筆者認(rèn)為，要提高學(xué)生的解題能力除了掌握“雙基”外，還要重視數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用，在數(shù)學(xué)思想方法的指導(dǎo)下解題往往可以達(dá)到事半功倍的效果. 筆者借助轉(zhuǎn)化思想淺談數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用價(jià)值，以期引起共鳴，進(jìn)而重視數(shù)學(xué)思想方法的滲透.

[?]數(shù)形轉(zhuǎn)化

高中數(shù)學(xué)很多題目是較為抽象和復(fù)雜的，單純地利用公式和定理求解有時(shí)可能難以找到解決問(wèn)題的突破口，然借助圖形可以將問(wèn)題向直觀化和簡(jiǎn)單化轉(zhuǎn)化，從而合理地找到解決問(wèn)題的切入點(diǎn)，順利求解.

例1 已知關(guān)于x的方程=x+m有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

分析：本題乍看上去較簡(jiǎn)單，大多數(shù)學(xué)生第一反應(yīng)就是將m寫(xiě)成關(guān)于x的方程，即m=-x，轉(zhuǎn)化后學(xué)生發(fā)現(xiàn)不能應(yīng)用已知條件“有兩個(gè)不同實(shí)數(shù)根”直接求解. 第一個(gè)思路行不通，學(xué)生又想將方程=x+m的左右兩邊同時(shí)平方去除左邊的根號(hào)，然轉(zhuǎn)化后右邊出現(xiàn)了一個(gè)一次項(xiàng)2mx和一個(gè)二次項(xiàng)m2，這樣求解也不是很輕松. 在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生嘗試?yán)脠D像法，即數(shù)形結(jié)合法進(jìn)行求解. 將方程的左右兩邊看成兩個(gè)函數(shù)，即左邊為y=，右邊為y=x+m，這樣函數(shù)y=與函數(shù)y=x+m的圖像的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是方程的實(shí)數(shù)根. 直線y=x+m的圖像會(huì)隨著m的變化而變化，隨著m的增大，其與曲線y=從“有1個(gè)交點(diǎn)”到“有2個(gè)交點(diǎn)”，隨后又由“2個(gè)交點(diǎn)”到“1個(gè)交點(diǎn)”再到“沒(méi)有交點(diǎn)”，這樣只要找到m的兩個(gè)臨界值，問(wèn)題就迎刃而解了.

評(píng)注：雖然解決同一個(gè)問(wèn)題會(huì)有多種方法，然從直觀性來(lái)看，數(shù)形轉(zhuǎn)化的優(yōu)勢(shì)更加明顯. 顯然，本題經(jīng)過(guò)數(shù)形轉(zhuǎn)化后，通過(guò)觀察圖像順利地找到了解題的切入點(diǎn)，解題思路更加清晰了，解題效率也就大大提升了.

[?]正反轉(zhuǎn)化

眾所周知，凡事一般都會(huì)有正反兩面性，數(shù)學(xué)題目有時(shí)亦是如此，若從正面直接求解可能需要經(jīng)歷復(fù)雜的運(yùn)算，也可能需要復(fù)雜的分類(lèi)，這樣會(huì)給正確求解帶來(lái)一定的風(fēng)險(xiǎn). 因此，當(dāng)直接從問(wèn)題正面出發(fā)難以求解時(shí)不妨換個(gè)角度，即從反面出發(fā)，這樣往往會(huì)收到意外的效果.

例2 已知在[-1，1]范圍內(nèi)，至少存在一點(diǎn)a，可以使函數(shù)f（x）=6x2-3（m-2）x-2m2-m+1的f（a）為正，求m的取值范圍.

分析：本題若直接利用已知條件求解很容易聯(lián)想到數(shù)形結(jié)合，然數(shù)形轉(zhuǎn)化后尋找f（a）>0時(shí)，學(xué)生發(fā)現(xiàn)需要對(duì)m進(jìn)行分類(lèi)討論，由于函數(shù)復(fù)雜，很多學(xué)生越分越亂，出現(xiàn)了很多錯(cuò)解. 既然從正面出發(fā)求解困難，不妨換個(gè)思路：尋找在[-1，1]范圍內(nèi)沒(méi)有滿(mǎn)足f（a）>0的一點(diǎn)a，也就是說(shuō)在區(qū)間[-1，1]內(nèi)，f（a）≤0恒成立. 由已知，二次函數(shù)y=f（x）的開(kāi)口向上，在區(qū)間[-1，1]內(nèi)，函數(shù)圖像可能會(huì)出現(xiàn)三種情況：①先減后增;②單調(diào)遞增;③單調(diào)遞減. 因此，只要保證兩個(gè)邊界f（-1）和f（1）都不大于零，那么在區(qū)間[-1，1]內(nèi)函數(shù)值一定都不大于零. 這樣通過(guò)反向思考就可以順利求出m的取值范圍了.

評(píng)注：數(shù)學(xué)解題方法是靈活多變的，在解題時(shí)不要拘泥于一種，當(dāng)思維受阻時(shí)不妨換個(gè)角度，“反其道而行之”有時(shí)會(huì)收到意外的效果.

在日常教學(xué)實(shí)踐中可以看出，學(xué)生的正反轉(zhuǎn)化意識(shí)淡薄，大多數(shù)學(xué)生解題時(shí)都是從正面直接求解，這從側(cè)面反映出學(xué)生的思維缺乏一定的靈活性. 因此，在日常教學(xué)中教師要善于引導(dǎo)，通過(guò)正反對(duì)比讓學(xué)生感悟正反轉(zhuǎn)化在解題中的應(yīng)用價(jià)值以促進(jìn)思維全面發(fā)展.

[?]特殊向一般轉(zhuǎn)化

高中數(shù)學(xué)題目雖然千變?nèi)f化，但是其中往往蘊(yùn)含著一般規(guī)律，只有找到這一般規(guī)律，才能抓住問(wèn)題的本質(zhì)，進(jìn)而使解題方法可以融會(huì)貫通. 因此，教學(xué)中可以通過(guò)對(duì)特殊問(wèn)題進(jìn)行擴(kuò)展使其轉(zhuǎn)化為一般問(wèn)題，這樣可以快速形成解題思路，有利于解題效率提升. 當(dāng)然，有時(shí)解決一般問(wèn)題也可以通過(guò)添加一些條件，如特殊值、特殊點(diǎn)、特殊圖形等，將一般問(wèn)題轉(zhuǎn)化為特殊問(wèn)題. 該方法在選擇題、填空題中較為常用，借助“特殊”提高解題速度. 顯然，“特殊”與“一般”之間存在著“共性”，解題時(shí)從“共性”出發(fā)更容易找到解題的突破口，進(jìn)而提高解題效率.

例3 已知函數(shù)f（x）=，那么f（-2017）+f（-2016）+…+f（0）+…+f（2017）+f（2018）=________.

分析：顯然本題不可能通過(guò)代入求值的方法求解，因此求解時(shí)必須找到求值規(guī)律，問(wèn)題才能獲解. 本題求解的方向主要就是分析結(jié)論，首先從f（-2017）到f（2018）可以發(fā)現(xiàn)求和項(xiàng)共有4036項(xiàng)，正好是偶數(shù)項(xiàng)，由此容易聯(lián)想到通過(guò)兩兩相加尋找解題的突破口，于是可以從中間兩項(xiàng)進(jìn)行分析：f（0）+f（1）=+=. 接下來(lái)繼續(xù)驗(yàn)證f（-1）+f（2），其結(jié)果也是. 于是可以大膽推斷對(duì)應(yīng)項(xiàng)兩兩相加的結(jié)果都是，這樣一共有2018項(xiàng)，于是本題的答案為1009. 當(dāng)然，因?yàn)楸绢}是填空題，所以可以直接通過(guò)特殊值進(jìn)行求解;若本題為一道分析題，則需要進(jìn)行一般性的驗(yàn)證，即驗(yàn)證f（x）+f（1-x）=. 這樣就是從特殊到一般的聯(lián)想，通過(guò)聯(lián)想尋找共性，解決問(wèn)題自然就水到渠成了.

評(píng)注：從本題的題設(shè)條件可以看出內(nèi)容較復(fù)雜，因此求解時(shí)需要進(jìn)行轉(zhuǎn)化，借助已有經(jīng)驗(yàn)容易聯(lián)想到通過(guò)兩兩相加進(jìn)行求解，這樣先通過(guò)特殊值進(jìn)行合情驗(yàn)證，待找到規(guī)律后利用“共性”將其轉(zhuǎn)化為一般問(wèn)題，通過(guò)特殊與一般的轉(zhuǎn)化，使復(fù)雜問(wèn)題變得簡(jiǎn)潔清晰，問(wèn)題就迎刃而解了.

解題時(shí)不要盲目地追求解題技巧，解題技巧在解決一些特殊問(wèn)題時(shí)確實(shí)能有一定應(yīng)用價(jià)值，但要知道，高考數(shù)學(xué)考查的是“雙基”及通性通法的應(yīng)用，考查的是學(xué)生的邏輯分析能力，因此解題時(shí)不要好高騖遠(yuǎn)，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷假設(shè)、聯(lián)想、推理、驗(yàn)證等過(guò)程，促進(jìn)學(xué)生提升分析能力.

[?]主次元轉(zhuǎn)化

多元問(wèn)題是歷屆學(xué)生公認(rèn)的難題，因?yàn)樽帜付嘤窒嗷ビ绊懀瑢W(xué)生求解時(shí)常感覺(jué)無(wú)從下手. 在面對(duì)多元問(wèn)題時(shí)不要急于求解，應(yīng)多觀察，當(dāng)從主元入手求解較復(fù)雜時(shí)，可以嘗試變更主元，轉(zhuǎn)化思路，有時(shí)會(huì)收獲意外的驚喜.

例4 若不等式ax2-2x+1-a<0對(duì)滿(mǎn)足-2≤a≤2的所有實(shí)數(shù)a均成立，求x的取值范圍.

分析：本題求x的取值范圍其實(shí)質(zhì)就是解關(guān)于x的不等式，然該不等式中還有參數(shù)a，因此求解時(shí)需要對(duì)參數(shù)a進(jìn)行分類(lèi)討論，過(guò)程復(fù)雜. 對(duì)不等式ax2-2x+1-a<0進(jìn)行分析，容易發(fā)現(xiàn)參數(shù)a的次數(shù)是1，因此不妨變更主元，將“主元為x、參數(shù)為a的不等式”轉(zhuǎn)化為“主元為a、參數(shù)為x的不等式”. 變更主元后，原不等式轉(zhuǎn)化為（x2-1）a+1-2x<0. 令f（a）=（x2-1）a+1-2x，原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“f（a）<0對(duì)a∈[-2，2]恒成立”，再結(jié)合一次函數(shù)的圖像，問(wèn)題便迎刃而解了.

評(píng)注：本題求解時(shí)通過(guò)變更主元有效地規(guī)避了復(fù)雜的分類(lèi)討論，雖然分類(lèi)討論可以實(shí)現(xiàn)化繁為簡(jiǎn)，然其求解過(guò)程一般都較為復(fù)雜，同時(shí)分類(lèi)不當(dāng)或煩瑣計(jì)算都會(huì)為解題帶來(lái)更多的不確定因素. 因此，解決此類(lèi)問(wèn)題時(shí)常借助主次元轉(zhuǎn)化來(lái)規(guī)避風(fēng)險(xiǎn). 顯然，本題通過(guò)主次元轉(zhuǎn)化獲得了意想不到的結(jié)果.

[?]建模轉(zhuǎn)化

所謂數(shù)學(xué)建模可簡(jiǎn)單地理解為將實(shí)際問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題，進(jìn)而可以應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)解決現(xiàn)實(shí)問(wèn)題，彰顯數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值. 在高考數(shù)學(xué)中也常出現(xiàn)一些實(shí)際問(wèn)題，解決此類(lèi)問(wèn)題時(shí)需要學(xué)生進(jìn)行信息的抽象和提取，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為常見(jiàn)的數(shù)學(xué)模型，運(yùn)用模型思路求解. 當(dāng)然，若有些問(wèn)題過(guò)于抽象，也可以聯(lián)系生活實(shí)際，借助實(shí)際問(wèn)題與數(shù)學(xué)模型的相互轉(zhuǎn)化，完成抽象與具體的轉(zhuǎn)化.

例5 （1）現(xiàn)將6人排成一排，要求小明和小剛不能挨著，你有多少種排法？

（2）若排好的隊(duì)伍中新增3人，又有多少種排法呢？

分析：本題顯然就是排列中的“相離問(wèn)題”，解決此類(lèi)問(wèn)題一般常用“插空法”. 對(duì)于問(wèn)題（1），先不考慮小明和小剛，另外4人共有A種排法，這樣4人首尾和中間共有5個(gè)空位，將小明和小剛插進(jìn)空位共有A種排法，所以共有A·A=480種排法. 對(duì)于問(wèn)題（2），當(dāng)新增第1人時(shí)，有7個(gè)空位，有A種排法;當(dāng)新增第2人時(shí)，有8個(gè)空位，有A種排法;同理，當(dāng)新增第3人時(shí)，有A種排法. 因此，共有AAA=504種排法.

評(píng)注：排列組合問(wèn)題與生活的聯(lián)系最為密切，解決此類(lèi)問(wèn)題時(shí)往往需要借助數(shù)學(xué)模型來(lái)求解. 仔細(xì)研究發(fā)現(xiàn)，很多題目雖然看起來(lái)不相同，然解題思路卻完全相同. 因此，只有準(zhǔn)確、熟練地掌握好各個(gè)數(shù)學(xué)模型，在應(yīng)用時(shí)才會(huì)顯得毫不費(fèi)力，進(jìn)而達(dá)到融會(huì)貫通的目的.

總之，轉(zhuǎn)化思想在數(shù)學(xué)解題中有著重要的應(yīng)用價(jià)值，日常教學(xué)中應(yīng)重視引導(dǎo)和強(qiáng)化，進(jìn)而通過(guò)轉(zhuǎn)化提升解題能力.