多解提升思維，改編挖掘價值

梁亮亮

[摘 ?要] 廣東省2021年學(xué)業(yè)水平考試的數(shù)學(xué)卷第23題是一道以正方形為背景的幾何小綜合題，考查的知識較多，包括正方形的性質(zhì)、三角形全等的判定和性質(zhì)、相似的證明和性質(zhì)、勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)等，題目的解法多樣，可以從多個角度去研究. 文章從題目的解法入手，并對題目進行改編，力求提升學(xué)生的思維，挖掘題目的教學(xué)價值.

[關(guān)鍵詞] 一題多解;改編創(chuàng)新;教學(xué)運用;中考試題

原題呈現(xiàn)

原題（廣東省2021年學(xué)業(yè)水平考試第23題）如圖1所示，在邊長為1的正方形ABCD中，E為AD的中點，連接BE，將△ABE沿BE折疊后得到△FBE，BF交AC于點G，求CG的長.

解法賞析

1. 解法1：構(gòu)造正方形雙折疊圖形，利用全等、相似等知識來求解

如圖2所示，延長BF交CD于點H，連接EH. 由∠D=∠EFH=90°，ED=EF=EA，EH=EH?△EDH≌△EFH?∠HEB=∠HEF+∠BEF=∠DEF+∠AEF=（∠DEF+∠AEF）=90°?∠D=∠HEB=∠EAB=90°?△HDE∽△EAB?=?HD=?HC=.

由CH∥AB?===?CG=.

解法點評雙折疊圖形是常見圖形，學(xué)生容易想到，全等和相似是常見的求線段長度的方法.

2. 解法2：構(gòu)造正方形雙折疊圖形，利用勾股定理、相似等知識來求解

如圖2所示，延長BF交CD于點H，連接EH. 由解法1得△EDH≌△EFH.

設(shè)HF=x，則HC=1-x，HB=1+x. 在Rt△HCB中，利用勾股定理可求得x=. 同解法1易求得CG=.

解法點評此方法的輔助線同解法1，求線段的長度是利用勾股定理和相似知識，這也是求線段長度的常用方法.

3. 解法3：構(gòu)造相似圖形，利用勾股定理、相似等知識來求解

如圖3所示，延長BF交CD于點M，交AD的延長線于點N. 易證△NEF∽△NBA，所以==. 設(shè)NE=x，則NB=2x，NA=x+. 在Rt△NAB中，利用勾股定理可求得x=（舍去負值）. 則NA=. 利用△NAG∽△BCG，可求得CG=.

解法點評此解法需要學(xué)生能構(gòu)造出相似圖形，再利用勾股定理、相似知識來求線段的長度，輔助線的作法也是常見方法.

4. 解法4：構(gòu)造直角三角形，利用角平分線的性質(zhì)、相似、勾股定理等知識來求解

如圖4所示，過點G作GH⊥BC，垂足為H，作GN⊥AB，垂足為N，GN交EB于點M. 設(shè)NB=x，則GN=AN=1-x，MN=x，GM=1-x. 由=，可求得GB=2-3x. 在Rt△GNB中，利用勾股定理，可求得x=（舍去x=1），所以GH=. 所以CG=.

解法點評此解法需要學(xué)生利用角平分線的性質(zhì)，再利用相似、勾股定理等知識來求線段的長度，解法不容易想到.

5. 解法5：構(gòu)造“一線三直角”模型，利用矩形性質(zhì)、相似等知識來求解

如圖5所示，過點F作CD的平行線，交AD于點H，交BC于點M，交AC于點N. 易證△EHF∽△FMB，于是有===. 設(shè)EH=x，則HA=+x，F(xiàn)M=2x，HF=1-2x，MB=2-4x. 由HA=MB，易求得EH=，MB=，HF=. 于是可得CM=NM=，F(xiàn)N=HM-HF-NM=. 由FN∥AB，易得△FNG∽△BAG， 所以==. 由NC=，AC=，易得NG=，從而求得CG=.

解法點評此解法需要學(xué)生構(gòu)造出“一線三直角”模型，再利用相似知識來求線段的長度，輔助線比較難想到，解法也較難.

6. 解法6：構(gòu)造全等、相似圖形，利用全等的性質(zhì)、相似等知識來求解

如圖6所示，設(shè)AC與BE交于點H，連接FH，由△EAH∽△BCH，易得=，進而可推出AH=，HC=. 易證HF=AH=，∠GFH=∠BAH=∠GCB=45°， 從而可推出△GFH∽△GCB，于是得到==， 即==， 可求得CG=.

解法點評此解法需要學(xué)生運用兩次相似知識，解法不容易想到.

7. 解法7：建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，利用兩點間的距離公式來求解

如圖7所示，以A為原點，構(gòu)造平面直角坐標(biāo)系，則A（0，0），B（1，0），C（1，1），E（0，0.5）. 設(shè)F（a，b），則由兩點間的距離公式可得EF==0.5，F(xiàn)B==1.于是可求得F

，

，直線FB的解析式為y= -x+. 再結(jié)合直線AC的解析式y(tǒng)=x，可求出G

，

，于是可求得CG=.

解法點評此解法需要學(xué)生建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，并會用兩點間的距離公式，對學(xué)生的能力要求較高.

8. 解法8：建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，利用相似、解析法等知識來求解

如圖8所示，過點F作CD的平行線，交AD于點H，交BC于點M. 參照解法5，易求得點F的坐標(biāo)為

，，進一步可求得CG=.

解法點評此解法需要學(xué)生建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，并會用解析法進行解決，對學(xué)生的能力要求較高.

上述解法，解法1到解法6都是構(gòu)造相似圖形，利用相似知識來求解;解法7和解法8則通過建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，用解析法來求解. 本題還可以嘗試?yán)萌呛瘮?shù)的倍角公式來求解，但超出了初中生的知識范疇，故這里不做解析.

幾點思考

1. 從命題的角度：挖掘題目的價值

本題是幾何小綜合題，考查的知識較多，包括正方形的性質(zhì)、三角形全等的判定和性質(zhì)、相似的證明和性質(zhì)、勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)等，考查的數(shù)學(xué)思想方法有轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合等，綜合考查了學(xué)生的能力，難度較大.

題目條件較簡潔，圖形明了，觀察圖形后發(fā)現(xiàn)CG不在特殊的三角形中，圖中沒有包含CG的相似圖形，也難以求出AG的長，所以不能利用現(xiàn)有的圖形直接求出CG的長度，需要作輔助線，但輔助線如何作，是本題考查的難點.

從學(xué)生的答題情況來看，本題某市的平均分僅為0.5分，難度系數(shù)為6.25%，近95%的學(xué)生得0分或1分（超60%的學(xué)生得0分），可想本題的難度. 學(xué)生不能得分的原因主要是本題的入口較難，不會作輔助線，無從下手. 為了便于日常教學(xué)，筆者嘗試對本題進行如下改編.

改編1如圖9所示，在邊長為1的正方形ABCD中，E為AD的中點，連接BE，將△ABE沿BE折疊后得到△FBE，BF交AC于點G，BF的延長線交CD于點H，連接EH.

（1）證明：∠HEB=90°;

（2）求CG的長.

改編2如圖10所示，四邊形ABCD為矩形，E為AD的中點，AD=4，AB=3，連接BE，將△ABE沿BE折疊后得到△FBE，BF交AC于點G，BF的延長線交CD于點H，連接EH.

（1）證明：∠HEB=90°;

（2）求CG的長.

改編意圖上述改編不需要學(xué)生作輔助線，降低了入口的難度，讓學(xué)生可以動筆;將一個小問拆成了兩個小問，降低了本題的整體難度，便于學(xué)生日常訓(xùn)練.

2. 從教學(xué)的角度：落實怎么想，注重基礎(chǔ)，強化思想

（1）落實怎樣想

在幾何解題教學(xué)中，教師既要教會學(xué)生怎樣做，又要教會學(xué)生怎樣想，做到授人以漁. 教學(xué)中，教師可選擇一些有意義且難度不大的問題，通過一題多解，向?qū)W生展示分析問題之道，讓學(xué)生學(xué)會思考和分析，在選擇解題方向時不再盲目.

（2）注重基礎(chǔ)

在分析和解決原題的過程中，我們發(fā)現(xiàn)原題涉及正方形的性質(zhì)、全等、相似、勾股定理等基本知識. 對歷年的中考難題進行分解后我們發(fā)現(xiàn)，它們都是由基本問題、基本圖形通過變換、組合而形成的，因此，在平時的教學(xué)中，教師要高度重視基礎(chǔ)知識和基本內(nèi)容的落實.

（3）強化思想

解決原題用到了轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合等思想方法，其中轉(zhuǎn)化思想方法是應(yīng)用最廣泛的數(shù)學(xué)思想方法之一，將未知量轉(zhuǎn)化為已知量是破題之法. 在教學(xué)中，教師應(yīng)有意識地向?qū)W生滲透轉(zhuǎn)化思想，這樣能提高學(xué)生分析問題的能力. 除此之外，模型、化歸、類比等思想方法，是附著于數(shù)學(xué)課程內(nèi)容而存在的，因此在平時的教學(xué)中教師可以有意識地滲透各種數(shù)學(xué)思想，以培養(yǎng)和提升學(xué)生的思維能力.