面積問題歸本質 函數最值細探究

雷淑華

[摘 ?要] 面積最值問題在中考中十分常見，要求考生提煉基本圖形，聚焦相關幾何量.近年來，通過建立函數模型解決相關問題的題型相對增多.文章對陜西中考壓軸題進行特色分析，梳理解題思路，剖析解題原理，提出教學建議.

[關鍵詞] 壓軸題;面積問題;函數最值;核心素養

幾何最值問題涉及眾多知識點，問題形式也較為多變.求解該類問題，需理解問題本質，掌握典型問題模型和重點思想方法，切忌模型固化[1]. 以下試題以生活實際為背景，通過設出適當的未知數，建立面積與邊長之間的二次函數模型，利用函數性質求解面積最值，解法眾多但殊途同歸，能有效考查學生的數學素養.

試題呈現

問題提出：（1）如圖1所示，在平行四邊形 ABCD中，∠A=45°，AB=8，AD=6，E是AD的中點，點F在DC上，且DF=5，連接EF，BF，求四邊形ABFE的面積. ?（結果保留根號）

問題解決：（2）某市進行河灘治理，優化美化人居生態環境，如圖2所示，現規劃在河畔的一處灘地上建一個五邊形河畔公園ABCDE. 按設計要求，要在五邊形河畔公園ABCDE內挖一個四邊形人工湖OPMN，使點O，P，M，N分別在邊BC，CD，AE，AB上，且滿足BO=2AN=2CP，AM=OC. 已知在五邊形ABCDE中，∠A=∠B=∠C=90°，AB=800 m，BC=1200 m，CD=600 m，AE=900 m. 為滿足人工湖周邊各功能場所及綠化用地需要，想讓人工湖面積盡可能小. 請問，是否存在符合設計要求的面積最小的四邊形人工湖OPMN？若存在，求四邊形OPMN面積的最小值及這時點N到點A的距離;若不存在，請說明理由.

試題分析

1. 解法分析

對于第（1）問，不規則四邊形ABFE的面積不便直接計算，可利用“割補法”將問題轉化為規則圖形面積之和或之差. 連接AF，S=S+S或S=S-S-S，細節不再贅述.

第（2）問的條件眾多，可逐一推導. 由“五邊形ABCDE中，∠A=∠B=∠C=90°，AB=800 m，BC=1200 m，CD=600 m，AE=900 m”，可知該五邊形形狀確定，面積確定;若延長CD，AE，交于一點，可形成確定的矩形;由“點O，P，M，N分別在邊BC，CD，AE，AB上，且滿足BO=2AN=2CP，AM=OC”，可知四邊形OPMN是不確定的;因為AM=OC，AN=CP，∠A=∠C=90°，所以△AMN≌△COP，所以MN=OP，同理，NO=MP，因此四邊形OPMN是平行四邊形，使之面積最小即可. 由于其并無確定的底或高，無法通過控制高或底最小使其面積最小，結合第（1）問的思路，將之轉化為規則圖形面積之和或之差從而間接求解. 在表示規則圖形面積時，“逢山開路，遇水搭橋”，設出適當的未知數，表示出未知邊長，求出面積與邊長之間的函數表達式，求函數最值即可.

2. 特色分析

本題背景樸實，表述自然. 第（1）問起點低，入口寬，符合考生的認知水平和心理特征，幫助考生耐心審題、細心計算，從而建立自信;通過“割補”法間接計算不規則圖形的面積也為其解決第（2）問提供了直接經驗. 第（2）問圖形簡單，問題了然，解題思路與（1）一脈相承;但從必然到或然，學生需要從新的問題情境中抽象出數學模型，綜合性增強，層次性更豐富，達到了“不同的人在數學上得到不同的發展”的目的. 整個題目不僅體現了對基礎知識和基本技能的評價，也體現了對數學思考和問題解決的評價.

《義務教育數學課程標準（2011年版）》指出：“在數學課程中，應當注重發展學生的數感、符號意識、空間觀念、幾何直觀、數據分析觀念、運算能力、推理能力和模型思想. 為了適應時代發展對人才培養的需要，數學課程還要特別注重發展學生的應用意識和創新意識.[2]” 現將第（2）問中對核心素養的考查分析如下：

首先立足幾何直觀，整體把握圖形. 結合已知條件對圖形進行確定性分析[3]，經過演繹推理，確定其為面積已知的五邊形，四邊形OPMN為平行四邊形，無確定的底或高;經過合情推理，類比第（1）問割補法，確定總體思路為通過“補形”或“分割”表示面積，考查學生的推理能力. 面積表達過程中，符號意識啟發學生使用適當的未知數表示邊長之間的數量關系并進行運算和推理，得到面積與邊長的一般關系，即建立函數模型. 接著二次函數一般式與頂點式的互化、最值的生成與檢驗等體現運算能力. 縱觀始末，從“人工湖面積”中抽象出數學問題，用數學方法求出結果并討論結果的意義，反之應用到實際問題中，體現了模型思想;建模過程中，考查了學生的應用意識、創新意識.

解法薈萃

如圖3所示，分別延長CD，AE，交于點F，則四邊形ABCF為矩形.

設AN=x，則CP=x，BO=2x，BN=800-x，AM=OC=1200-2x，為確保四邊形OPMN的存在性，則0≤AM≤AE，0≤CP≤CD，即0≤1200-2x≤900，0≤x≤600，解得150≤x≤600.

由題，MF=BO，PF=BN，△AMN≌△COP，△NOB≌△PMF，四邊形OPMN為平行四邊形.

以上推理過程不再重復說明.

1. 思路一：補形法

解法1：矩形補形.

S=S-S-S-S-S=S-2S-2S=800×1200-x（1200-2x）-2x（800-x）=4x2-2800x+960000=4（x-350）2+470000.

所以當x=350時，S=470000，經檢驗，150<350<600，故該圖形存在，所以四邊形OPMN面積的最小值為470000 m2，此時AN=350 m.

解法2：五邊形補形.

S=S-2S-S-S=930000-x（1200-2x）-·2x·（800-x）-

·2x（800-x） -30000=4x2-2800x+960000.

其余同解法1.

解法3：矩形或五邊形補形，求其余圖形面積之和的最大值，例如：

S=S+S+S+S=-4x2+2800x=-4（x-350）2+490000.

所以當x=350時，S=490000，S=960000-490000=470000.

其余同解法1.

2. 思路二：分割法

解法4：沿對角線分割

如圖4所示，連接NP，S=2S=2（S-S-S）=4x2-2800x+960000.

其余同解法1， 連接MO同理.

解法5：沿水平寬或鉛垂高分割.

如圖5所示，以B為原點，分別以BC，BA所在直線為x軸、y軸建立平面直角坐標系，設AN=CP=a，則N（0，800-a），P（1200，a），O（2a，0），連接NP，過點O作y軸的平行線交NP于點G.由待定系數法，得直線NP的解析式為y=x+800-a，所以G2a，

a2

-a+800.

所以S=S+S=·OG·BO+·OG·CO=·OG·BC=2a2-1400a+480000.

所以S=2S=4a2-2800a+960000.

其余同解法1， 連接MO同理.

解法6：弦圖分割.

過動點N，P作BC的平行線，過動點M，O作AB的平行線，分別交于Q，R，S，T，將四邊形OPMN劃分成5個部分，其面積分別表示為S，S，S，S，S. 根據N點的不同位置，將出現如圖6、圖7兩種圖示. 則對于圖6，S=

S

+S

+S

+S+S=

S

-S+S=480000+S=480000+·（800-2x）·（1200-4x）=4x2-2800x+960000.

其余同解法1， 圖7同理.

教學建議

1. 因勢利導，強化模型思想

本題在2020年壓軸題的基礎上平穩過渡，旨在回歸數學本質，與往年“隱形圓”等幾何模型相比，避免了部分學生對既定模型的生搬硬套，更能考查學生自主思考和創新能力.

教師應從廣義層面理解數學模型，它不只是一個具體問題，而是用于解決同一類問題的思維模式. 概念、公式、函數、定理、某類實際問題等都可看作廣義的數學模型. 在教學中，應通過有針對性地變換條件、重組結構等方式進行變式延伸，在豐富的問題情境中突出數學本質;使學生有充分的時間和空間親歷建模過程，積累觀察、實驗、猜測、計算、推理等數學活動經驗，強化模型思想，提高應用意識，達到“學一道，會一類，通一片”的效果.

2. 回歸本質，重視推理能力

波利亞在“怎樣解題表”中指出，首先必須弄清題目，明確已知、未知、條件分別是什么. 其次，擬定解題計劃，找出已知和未知之間的聯系，如果找不到直接聯系，不得不考慮引入某些輔助元素[4].

在日常教學中，教師應注重課程內容的層次性和多樣性，引導學生獨立思考、主動探索、合作交流，保證學生理解和掌握基本的知識與技能，體會和運用典型的思想與方法，為邏輯推理奠定基礎. 在解決問題時，教師需引導學生綜合利用幾何和代數條件，發掘基本圖形，梳理數量關系，必要時通過合理設元，理清線段或角度的和差倍分關系. 所謂“合理”，指該未知數便于表示其余幾何量，且計算較簡潔. ?在明確已知和未知的基礎上，注重推理能力的培養——綜合法之“由因導果”以及分析法之“執果索因”，二者雖然是高中學段才涉及的名詞，但其內涵對于發展學生的演繹推理能力大有裨益. 問題解決后，應當指導學生反思來龍去脈，促進學生數學思維的廣闊性和深刻性.

參考文獻：

[1]丁力. 初中數學幾何最值問題探究——以“將軍飲馬”問題模型的解題策略為例[J]. 數學教學通訊，2020（14）：79-80.

[2]中華人民共和國教育部. 義務教育數學課程標準（2011年版）[M]. 北京：北京師范大學出版社，2011.

[3]付粉娟，陳法超. 基于通性通法，探求一題多解[J]. 中學數學教學參考，2021（02）：16-19.

[4][美]喬治·波利亞. 怎樣解題[M]. ?徐泓譯.

上海：上?？萍冀逃霭嫔纾?011.