讓錯誤成為數學學習的另一種力量

孫平

[摘? 要] 錯誤也是需要預設的，因為這樣能夠讓學生有一種“上當受騙”的感覺，也會讓他們“吃一塹長一智”，從而讓有意思考、理性分析等學習素養得到發展。基于此，在小學數學教學中教師就得從預設一些學習不足等環節入手，誘導學生在不自覺中發生錯誤，進而在解析糾錯中學習，最終達到反復錘煉思維、深化經驗積淀等目的，讓錯誤具備防微杜漸之功效，助力學生數學學習的順利推進。

[關鍵詞] 錯誤;力量;小學生;數學學習;數學思維;數學素養

客觀地講，世上沒有絕對的完美物品存在，一種沒有任何缺點的物品本身就是瑕疵。試看中國國畫，你會被那留白所震撼，并心生疑問：為什么不把這些空白補全、補滿呢？留下它們是不是一種缺憾呢？事實表明，這就是文化，這就是藝術。同理，在小學數學教學中學生產生的學習錯誤就宛如此種現象，看似不足、不完美，但是它恰巧是構建完美的必要元素。對學生來說，這種錯誤能夠助力他們數學思維的發展，豐富他們的數學活動經驗，提高他們的數學素養。

一、預設不足，達到防微杜漸之目的

作為一名教師，如果不能利用好學生學習中的各種錯誤，那么是不可原諒的。這是著名心理學家貝恩布里奇對教師的一個忠告。錯誤是與學生的學習緊密聯系的，是難以回避的，甚至是不應該回避的。因為錯誤宛如傷疤，它會結痂，會在學生的學習記憶中留下終身都難以磨滅的印記。以“圓的認識”為例，教學中，教師要通過相應的方式呈現出錯誤的信息或習題，引導學生在解讀中進行思考，在思考中留下深深的烙印，從而更好地建構相關的認知，并形成牢靠的學習經驗，達到防微杜漸的根本目的。

師：經過這一階段的學習，說說你有哪些收獲。

生1：圓是一個曲線圖形，它不像長方形、平行四邊形等圖形那樣是由線段圍成的。

生2：圓是世界上最完美的圖形。

生3：我知道圓中有一個點是圓心，它到圓上的線段叫作半徑，通過圓心且兩端都在圓上的線段是直徑。

生4：圓心是用字母O來表示的，r表示半徑，d表示直徑。

生5：其中直徑還是半徑的2倍，d=2r。

……

師：聽了同學們的介紹和總結，你有什么新的思考，或者有什么想要補充的呢？

生6：這里說圓中的一點就是圓心是不科學的，我們在折圖中找到的那個折痕的交點才是圓心，它是所有折痕的交點，也就是圓中所有半徑或直徑的交點，在圓中心的位置上。不能簡單地說成圓中的一點。

生7：還有半徑與直徑關系的理解也不科學，你們看一個圓的半徑可能是10米，而另一個圓的直徑只有10厘米，這個直徑是半徑的2倍嗎？

師：你們的質疑很有水平，特別是這個半徑與直徑的關系，那它們到底該如何去表述呢？

生8：實驗中我們就是在一個圓內研究的，所以不能是兩個圓，這個需要注意。

生9：可以是兩個圓，也可以是多個圓，但是它們的半徑應該都一樣長。

……

教學的目的一般都是很明顯的，那就是讓學生學到知識、積累經驗、增強基本技能等，這是教師的基本使命。但筆者認為，教學最根本的任務應是深化理解，促進建構，錘煉思維，積淀素養。

案例中教師引導學生回望學習過程，并引導學生把相關內容表述出來，從中暴露出學習思考的不足，顯露出思維條理性、嚴密性、邏輯性等的缺陷，從而引發必要的學習爭議，以此助力學生對知識的領悟，促進認知的內化，為后續的學習保駕護航，真正起到了防微杜漸的作用。

二、誘發錯誤，達到反復錘煉思維之目的

在小學數學教學中，教師應故意出示一些錯誤，并以此來設置“陷阱”，讓學生在不經意間落入其中，從而在反思中對相關的信息進行仔細梳理，對有關的不足進行反復“咀嚼”，最終實現學習理解的深入和學習領悟的加深。與此同時，學生的數學思考意識也會得到較好的鍛煉和發展，數學思維的嚴密性、靈敏性和邏輯性等會得到很好的培養。

試看“面積和面積單位”的教學片段。

師：經歷了這一階段的學習，請同學們把自己的收獲與同伴分享一下。

學生紛紛與同伴交流自己對面積意義、面積單位的理解。

生1：面積與周長是完全不一樣的，周長指的是線的長度，面積指的是物體的表面或平面圖形的大小。

生2：這個不簡單嗎？用彩筆去畫一畫就明顯了，周長是畫一圈的線，而面積需要把圖形涂滿，可見它們之間的區別還是挺大的。

……

師：不錯！下面老師想請同學們做一個互動的游戲，大家有信心做好嗎？

課件呈現游戲的信息：用這一階段所學習的本領進行挑戰，數一數屏幕上的方格個數。要求是，女生數，男生需要閉上眼睛，認真聽;反過來，也是如此操作。

生3：男生數出的是10個方格，女生數出的是8個方格，我認為男生的圖形面積大。

生4：這個不一定吧！

生3：怎么會不一定呢？10本數學書的表面積不比8本數學書的大嗎？

生4：不是的，因為數方格的時候，我們是閉著眼睛的，沒有看到女生的方格到底是什么樣子。

生5：這個有道理，方格是手指甲蓋大小，還是手掌大小，還是與地面瓷磚一樣大呢？

……

筆者認為，真正的學習就是在錯誤的反思中逐漸完善起來的。在學生初步學習面積意義之后，他們能夠用自己的理解去建構周長與面積的表象，形成自己的專屬理解，這就是個性化學習的體現。

隨著面積單位學習的開始，教師設計了一個精彩的游戲活動，讓學生在“聽”的體驗中形成感知，并做出判斷。這樣的過程就是誘發學習錯誤發生的過程，它更是一個有利于學生產生探究面積單位學習欲望的體驗活動。學生一邊競猜，一邊思考，也會產生相應的學習疑問，這一點從案例中就能較為明顯地顯露出來。質疑不足，讓錯誤暴露無遺，就會誘發學生學習的深入開展，使學生對面積單位的理解更加深刻。

三、解析錯誤，實現深化經驗積淀之目標

如何讓學生的學習變成他們最寶貴的學習經驗呢？死記硬背，當然是行不通的，因為這種機械式記憶，學生從內心是不愿意接受的，也是極為抵觸的。在“圓錐與圓柱的體積練習”教學中，教師要善于借助學生學習中的不足，來引發他們更為深入的思考，從而讓他們在問題解析中更有效地感悟知識，形成經驗，為他們持續學習奠基。

師：這是一個同學的學習總結，你認為有道理嗎？

生1：沒有道理！圓錐的體積怎么會是圓柱體積的3倍呢？關系搞顛倒了，應該是圓錐的體積是圓柱體積的三分之一。

師：對于現在這個結論，你們又是怎么想的呢？

生2：圓錐體積是圓柱體積的三分之一，這個不是實驗中得出的結論嗎？應該是正確的吧！

生3：這好像不太科學。我們的實驗不是也出現3倍多一些和3倍不足的情況嗎？

生4：是啊！因為實驗中圓柱、圓錐容器的高和底是不一樣的，所以得出的結論是有差別的。

生5：噢！我明白了，這個總結還是不正確的，因為這個同學沒有突出圓柱和圓錐是等底等高的，所以不能得出這一結論。

生6：還真是的！這個是推導圓錐體積計算公式中非常重要的內容。如果沒有它，圓錐體積計算公式的推導過程就是不成立的。

生7：是的，要研究圓柱和圓錐體積之間的關系，一定要先看它們的底與高之間的關系。

……

幫助學生建構好認知，積累起較為厚實的數學活動經驗等是小學數學教師的基本使命，也是促進學生數學素養全面發展的重要著力點。因此，在教學中教師就得借助學習錯誤解析這一契機，引導學生去審視問題、解讀錯誤，讓學生去爭辯、去思考，從而實現理解的深入，促進學習認知的建構。

案例中，教師設計一個較為明顯的錯例，引導學生去思考、去辨析，進而在不同的爭辯中較為理性地解讀圓錐體積計算公式的由來，也在不知不覺中回憶起相應的實驗，找到問題的本質。經過互動學習及學習質疑，學生終于意識到要得出圓錐體積的計算公式，就要保證實驗器具是等底等高的，進而得出“要確定圓柱和圓錐體積之間的關系，就必須保證它們是等底等高的”的結論。自此，學生在反思、質疑中更好地吸取教訓，形成扎實的學習建構。

綜上，錯誤是小學生數學學習的自然產物，更是他們再度學習、深入探究、建構認知和發展思維、積累經驗的寶貴財富。因此，在小學數學教學中教師要正視學生學習中出現的各種錯誤，并善于解讀這些錯誤，找到錯誤的成因，并靈活地駕馭錯誤，使之成為新的教學素材，成為學生深化學習理解的重要資源，成為理性分析、智慧思考的磨礪石。筆者相信，在如此的環境下，久而久之，學生的思辨能力會持續增長，數學學習能力會不斷遞增，數學素養的積淀也會越發厚重。