基于數據分析素養培養的數學教學設計

【摘要】數據分析是指針對研究對象收集數據，運用數學方法對數據進行處理、分析和推斷，形成關于研究對象的知識的素養。數據分析素養是高中生應具備的重要數學學科素養，高中數學教師在進行教學設計時應注意以培養學生的數據分析素養為目標，在數學教學環節中滲透數據分析方法，從而提高學生的數學解題能力。文章基于數據分析素養的培養，設計了“總體百分位數的估計”的教學案例，以期提高學生的數學思維能力。

【關鍵詞】百分位數;數據分析;核心素養;數學教學

【基金項目】本文系山東省教育科學“十三五”規劃一般課題“面向新高考數據分析素養教學案例庫建設研究”的研究成果（批準號：2020YB077）。

作者簡介：魏曉（1992—），女，山東省淄博市淄博實驗中學。

在高中數學教學中，培養高中生的數據分析能力非常重要，高中數學教師應基于數據分析素養的培養進行數學教學的設計，進一步提高高中生的數學解題能力。接下來，筆者以“總體百分位數的估計”的教學設計為例，闡述如何在數學教學過程中滲透數據分析方法。該課位于新人教A版（2019）必修數學教材第二冊第九章“統計”中的第二單元“用樣本估計總體”的第二小節，要求學生學會估計總體百分位數，從而提高數據分析與統計能力。

【學情分析】

在知識層面，學生在初中已經學習了中位數的概念，初步了解用樣本估計總體的思想。此外，學生通過學習該章節之前的內容，已經掌握了對總體取值的估計。但是百分位數作為新課標新添加的內容，其定義學生不太容易理解，通過整理好的圖表求解百分位數對學生來說也有一定的難度。

在能力上，高一下學期的學生通過一個半學期的學習，已經具備了一定的知識基礎、良好的自主學習能力和小組合作探究能力，但數據分析能力還需進一步培養。

【教學目標】

結合實例，能用樣本估計百分位數，理解百分位數的統計含義，正確運用數據分析的方法解決簡單的實際問題，提升數據分析核心素養。

【教學重點、難點】

教學重點：結合實例用樣本估計總體百分位數，求一組數據的百分位數。

教學難點：理解百分位數的統計含義，并能解決簡單的實際問題。

【教學過程設計】

（一）情境引入

師：同學們，上節課為了讓大家體會統計與生活的聯系，老師給大家布置了任務，搜集百分位數在實際生活中的應用案例，哪位同學愿意跟大家分享自己的成果？

學生展示的成果：

1.高等院校的入學考試成績經常以百分位數的形式做成報告;

2.人體尺寸百分位數在產品設計中的應用（如衣服、家具等）;

3.百分位數常用于醫學參考值范圍的制訂，例如用多指標百分位數法確定醫學參考值;

4.用于身體質量指數（Body Mass Index，縮寫BMI）的制訂;

5.用于T標準分百分位數評價表的制訂及應用。

師：通過大家的展示我們可以看出，百分位數的應用非常廣泛，我們本節課就來深入學習百分位數的概念，學會由樣本數據估計總體數據的百分位數，正確運用數據分析的方法解決實際生活中的問題。

設計意圖：學生通過課前搜集資料，可以初步了解百分位數在實際生活中的應用，理解用統計方法解決實際問題的必要性，從而領悟數據分析的重要性。

問題思考：

某水果店店長近期遇到這樣的問題：一次進貨太多，水果會變得不新鮮;進貨太少，又不能滿足顧客的需求。店長希望每天的水果盡量新鮮，又能滿足顧客的需求（滿足程度80%），為此記錄了本店6月共30天以來某種水果的日銷售情況（單位為kg），分別如下：

75、83、93、107、89、99、91、117、96、85、99、100、87、94、107、70、55、74、94、84、96、80、101、85、80、85、84、75、104、97。

請問要想滿足店長的期望，該水果每天需要進多少千克？

思考過程：教師給學生預留時間自主思考再合作探究，之后教師引導學生把店長期望滿足顧客需求的程度改為50%，這時學生應該會想到中位數，然后把30個樣本數據從小到大排序，使不超過中位數的數據占50%，大于或等于中位數的數據占50%。按照這樣的方法，要滿足店長的期望，則需把30個樣本數據從小到大排序，得到第24個和第25個的數據是99和100，取這兩個數的平均數=99.5，99.5即這組數據的第80百分位數，或80%分位數。因此可以建議店長該水果每天進99.5kg。

進一步思考：你認為99.5kg這個標準一定能夠保證店長的期望得到滿足嗎？如果不一定，那么哪些環節可能會導致結論出現誤差？

教師引導學生得出結論：99.5kg是來自樣本觀測的數據，只是總體80%分位數的一個估計值，抽樣方法和樣本的隨機性都可能導致總體百分位數的誤差。

設計意圖：通過生活實際問題讓學生理解數據分析在生活中的重要性，通過進一步的引申思考讓學生意識到統計數據可能會出現誤差，從而提升學生的數據分析核心素養。

（二）概念形成

師：剛才我們給出了第80百分位數的概念，你能否類比得出第p百分位數的概念？

師生共同探討得出第p百分位數的概念：一般地，一組數據的第p百分位數是這樣一個值，一組數據中至少有p%的數據小于或等于它，且至少有（100-p）%的數據大于或等于這個值。

師生共同總結出計算一組 n 個數據的第 p 百分位數的步驟：

1.將原始數據從小到大排列;

2.計算i=n×p%;

3.若i不是整數，而大于i的比鄰整數為j，則第p百分位數為第j項數據;若i是整數，則第p百分位數為第i項與第（i+1）項數據的平均數。

師生總結百分位數的概念：

1.直觀理解：把一組數據從小到大排列，百分位數把它們分成相應百分比的兩部分;

2.任何一組數據都存在任意百分位數;

3.定義中所有的不等關系都是帶等號的，如至少、小于或等于、大于或等于。

教師給學生補充幾個重要的百分位數：

1.中位數，相當于是第50百分位數;

2.第25百分位數、中位數（第50百分位數）、第75百分位數，這3個分位數把一組由小到大排列的數據分成4等份，因此稱為四分位數。其中第25百分位數也稱為第一四分位數或下四分位數，第75百分位數也稱為第三四分位數或上四分位數。

3.第1百分位數、第5百分位數、第95百分位數和第99百分位數，在統計中也經常被使用，比如醫學參考值的范圍制訂。

設計意圖：讓學生掌握百分位數的概念及求解百分位數的方法。

（三）典例分析，鞏固練習

例題：如下是我校25名男生BMI的樣本數據，估計我校高一男生BMI的第20、50、75百分位數。

23.5、22.1、20.6、21.5、27.0、18.0、17.0、29.1、30.5、27.8、22.6、22.3、20.8、17.9、19.3、21.1、19.7、23.6、18.7、25.5、16.6、19.8、21.4、22.7、24.1。

解答：把25個樣本數據從小到大順序排序如下：

16.6、17.0、17.9、18.0、18.7、19.3、19.7、19.8、20.6、20.8、21.1、21.4、21.5、22.1、22.3、22.6、22.7、23.5、23.6、24.1、25.5、27.0、27.8、29.1、30.5。

由20%×25=5，50%×25=12.5，75%×25=18.75，可知這些數據的第20、50、75百分位數為第5與6項數據的平均數，第13項與第19項數據的平均數，計算得出=19.0、21.5、23.6。據此可以估計我校高一男生的BMI的第20、50、75百分位數分別約為19.0、21.5、23.6。

練習：求下列數據的20%分位數、25%分位數、50%分位數。

40、40、35、50、55、45、42、50、51、42。

解：以上數據從小到大的順序排列為35、40、40、42、42、45、50、50、51、55。

由10×20%=2，10×25%=2.5，10×50%=5可知，這

10個數據的20%分位數是=40，25%分位數是40，50%分位數是=43.5。

設計意圖：通過例題和練習引導學生總結百分位數的特點。

1.數據組中的最小數為第0百分數，數據組中的最大數為第100百分位數;

2.一組數據的百分位數既可能是這組數據中的數，也可能不是這組數據中的數;

3.一組數據的某些百分位數可能是同一個數。

（四）課堂練習

1.根據近期的流行病學的調查，新型冠狀病毒潛伏期多在1—14天，一般不超過2周，下圖為抽取的420例新冠患者的潛伏期（天）的統計結果，計算這組數據的75%分位數。

2.下面是從我校2020級19班和2020級20班某次考試的數學成績中分別抽取的10個樣本數據，請用自己所學的知識分析兩個班的數學成績情況。

2020級19班：130、96、83、105、95、128、121、105、102、105。

2020級20班：117、98、71、117、131、80、116、103、110、95。

設計意圖：課堂練習根據生活中的實際數據編制，讓學生通過解決生活中的實際問題鞏固所學知識，提升數據分析能力。

（五）課堂小結

師：請大家分享一下本節課你收獲了哪些數學知識和數學思想。

設計意圖：讓學生自我總結，分享自己在數學知識、數學思想方面的收獲和感悟。

（六）課后作業

1.必做題：課本P203練習1和2;P223復習參考題10和11。

2.選做題：嘗試用電子軟件計算一組數據的百分位數。

設計意圖：布置分層作業，必做題面向全體學生，提升學生解決問題的能力，培養數據分析素養;選做題面向學有余力的學生，進一步發展學生的數據分析素養。

（七）課后反思

百分位數與現實生活中很多問題都有密切的聯系，例如醫學中的參考值的設定、產品設計、教育教學分析等，《普通高中數學課程標準（2017年版）》中新增了“總體百分位數估計”這一內容是非常有必要的。該節課的主要任務是讓學生理解百分位數的定義，掌握用樣本數據估計總體百分位數的方法并用來解決實際生活中的相關問題。在教學設計中，教師結合生活實際中的例子，更能讓學生體會到百分位數估計的重要性。在教學中，教師展示了學生課前自己去搜集的百分位數應用的案例，能夠讓學生了解百分位數應用的廣泛性，也有利于激發學生的學習動力，使得學生對學習該節的知識產生興趣，從而積極主動地參與學習。教師沒有直接用課本的例子，而是將它們改編成了更為貼近學生生活的例子，從學生已有的生活經驗出發，讓學生親身經歷將實際問題抽象成數學模型進行解釋與應用的過程，進而使學生在思維能力、情感態度與價值觀念等方面得到進步與發展。課堂練習用生活中的數據改編，可以讓學生用數學的眼光看世界，通過讓學生自己分析數據求解百分位數，提升數據分析核心素養。以上是該次教學設計比較成功的地方。

數據分析主要表現為收集和整理數據，理解和處理數據，獲得和解釋結論，概括和形成知識。然而該節課例題和練習中的數據大多都是已經處理好的，主要是讓學生分析數據、解釋結論，在讓學生收集、整理數據方面有所欠缺。這是該次教學設計的不足。筆者認為，教師可以布置一個開放性的實踐題目，讓學生自己選擇一個方向，自主設計問題、收集數據、提出問題、解決問題，從而更加深入了解百分位數，提升學生的數據分析素養。

【參考文獻】

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北京：高等教育出版社，2018.