談小學數(shù)學低段畫圖操作中的幾點思考

柳寧

【摘要】縱觀小學數(shù)學低段學習中畫圖策略的滲透，從以實物圖和小棒為主展現(xiàn)一一對應的關(guān)系開始，到用線段表示一些數(shù)，這樣的設(shè)計考慮到了學生在這個階段的思維發(fā)展特點.在教學中，教師在畫圖策略的應用上存在“無為自成”的態(tài)度，認為學生對畫圖能無師自通，或者一看就會，而事實上能規(guī)范、正確畫圖的學生并不多，因此教師應有效指導學生進行畫圖.筆者圍繞畫線段圖，從分類、在解決數(shù)學問題中的作用以及畫圖過程中的順序問題三個方面來闡述相關(guān)的操作和思考.

【關(guān)鍵詞】小學數(shù)學;畫線段圖;思維發(fā)展

眾所周知，畫圖對小學低段學生來說是解決問題的一種重要策略.這種畫圖的能力，就是我們所說的幾何直觀能力，它體現(xiàn)了學生對數(shù)學問題和信息收集、本質(zhì)感知、形象分析等方面的具體形象的操作敏感度，也是對數(shù)學信息以及問題中的一些數(shù)量關(guān)系進行圖形維度上的直觀感知.

對于小學低段的學生來說，他們對圖形比較感興趣，這是由他們這個階段的思維特性所決定的.這時候的學生處在前運算階段，對具體的事物比較敏感，對那些抽象的數(shù)字以及信息表現(xiàn)得相對不活躍，比較具體的圖形比那些抽象的數(shù)字更能引起他們積極的思考.因此，當解決抽象問題的時候，如果能把它們轉(zhuǎn)化成具象的實物圖或者示意圖等形式表現(xiàn)出來，學生能更準確地理解數(shù)量關(guān)系，提高解決問題的正確率，提升解決問題的速度.

人教版數(shù)學教材在設(shè)計上就比較注重對學生的這種畫圖能力的培養(yǎng).在培養(yǎng)學生畫圖能力的過程中，人教版教材采用循序漸進的做法.首先，其滲透的是實物圖和小棒，然后到二年級上冊才開始滲透用線段來表示一些數(shù)，開始畫線段圖.教材編寫的意圖是讓學生體會到畫圖是一種很重要的解決問題的策略.比如，在三年級下冊的教材中，三位數(shù)除以一位數(shù)的解決實際問題這一課的開始，就是要求學生畫圖來理解一下問題的意思.本文主要探討的就是如何畫線段圖.

接下來，筆者將圍繞畫線段圖，從線段圖的分類、畫線段圖在解決問題中的作用以及畫線段圖過程中的順序問題這三個方面來闡述.簡單來說就是“類”“用”“序”三個方面.

一、線段圖的分類

對于小學低段數(shù)學出現(xiàn)的線段圖，我們可以根據(jù)學生在數(shù)學學習中遇到的問題類型以及列式分析過程把其簡單地分成三類：第一類叫作單線包含圖，第二類叫作復線比較圖，第三類叫作變式整合圖.其中，前兩類是基本圖，最后一類是前兩類的整合.它們針對的就是在解決問題過程中出現(xiàn)的比較典型的三種數(shù)學模型.這三種數(shù)學模型分別對應的是部分與整體的關(guān)系;比較的關(guān)系，比較關(guān)系又可以分為大小關(guān)系和倍數(shù)關(guān)系;前面幾種情況整合在一起的關(guān)系.將線段圖的分類和解決問題的題目類型對應起來，這樣可以幫助學生更好地分析問題.同時，線段圖的直觀性可讓學生很容易發(fā)現(xiàn)問題中數(shù)量之間存在的關(guān)系，降低解決問題的難度，讓問題變得簡單，容易入手，從而快速解決.

我們要建立線段圖和數(shù)學問題模型之間的對應關(guān)系，這主要是為了學生在解決問題時能夠清楚地知道要畫什么線段圖，不會過多地受到情境的影響，而是把主要精力放到問題反映出來的一些數(shù)量關(guān)系上.比如，我們不要具體地區(qū)分問題是屬于植樹、年齡、差倍、行程等哪些具體的情境，而要透過這些現(xiàn)象看其本質(zhì)反映的是怎樣的一種數(shù)學關(guān)系，是部分與整體的，還是比較的，還是整合的？抓住這些數(shù)字信息反映出來的模式化特征，學生可以比較快地想出解題思路，同時提高綜合思考能力.

二、畫線段圖的作用

畫線段圖在解決數(shù)學問題中的作用不言而喻，其可以讓問題中的數(shù)量關(guān)系得到直觀展現(xiàn).除此之外，畫線段圖還有三個特有的作用：一是問題中隱含的已知條件通過畫圖可以得到直觀的呈現(xiàn)，二是等量關(guān)系以圖形的形式展現(xiàn)出來更顯而易見，三是當線段圖和數(shù)量關(guān)系之間有一對多的關(guān)系時，畫線段圖可以拓展解題的思維.

（一）畫線段圖可以直觀地呈現(xiàn)隱含的已知條件

線段圖能比較直觀地幫助我們解釋題目中的條件與問題之間的關(guān)系，能夠把“數(shù)”轉(zhuǎn)化成直觀的“形”.因此，它能夠把一些隱蔽的數(shù)量關(guān)系變得比較明顯.一些比較容易忽視的隱含條件可以在畫圖的過程中露出它的真面目.這樣可以很好地激活學生的解題思路，同時能讓條件得到充分的展現(xiàn).

（二）畫線段圖可以顯性呈現(xiàn)等量關(guān)系

畫線段圖可以將問題中蘊含的數(shù)量之間的抽象關(guān)系變得形象、直觀，能夠讓已知條件和所要解決的問題之間通過圖形緊密地聯(lián)系起來，從而揭示出它們存在的等量關(guān)系.這個過程就是讓題目中的等量關(guān)系通過圖形變得形象、直觀，也方便我們根據(jù)圖形列出等量關(guān)系，促進問題有效解決.

（三）畫線段圖可以多元展現(xiàn)個體的思維

線段圖相對于文字而言是比較形象、直觀的.我們通過畫線段圖把數(shù)量關(guān)系形象、直觀地展示出來的過程，就是把數(shù)量關(guān)系進行了富有學生自己特色的解讀.同樣的等量關(guān)系可以畫出不一樣的線段圖，這些線段圖都和題目的數(shù)量關(guān)系是對應的.學生通過畫線段圖，可以拓展思維，打通解題思路.不同的學生有不同的思路，這可促使學生將一題多解變?yōu)榭赡?

三、畫線段圖的順序

我們對利用線段圖解決問題的便捷性、高效性深有體會.接下來，我們探討一下畫線段圖中“序”的問題.這個“序”指的是畫線段圖的過程中先畫什么后畫什么的順序.在這里，筆者根據(jù)平時的教學經(jīng)驗，提出了四個原則：一是已知量優(yōu)于未知量;二是倍數(shù)關(guān)系優(yōu)于大小關(guān)系;三是標準量優(yōu)于比較量;四是整體優(yōu)于部分.這四個原則是有先后順序的，它們的權(quán)重不一樣，要優(yōu)先遵守前面的原則.

（一）已知量優(yōu)于未知量

教材編排中出現(xiàn)線段圖之前，我們主要以實物圖的方式來展示數(shù)量之間的關(guān)系.利用實物圖展示數(shù)量關(guān)系的時候，我們遵循的是一一對應的關(guān)系.在畫這種一一對應關(guān)系的時候，我們確定了先畫已知量，后畫未知量的順序.正是因為要一一對應，所以我們沒有辦法先畫出未知量，只有畫出了一些已知量之后，才能在圖中看出其他量.比如，知道兩個數(shù)才能看出它們的差.

在后面的學習中，我們就要用線段來表示一些比較復雜的數(shù)量關(guān)系.這些數(shù)量關(guān)系中有些量是已知的，有些量是未知的.在畫圖的過程中，我們先要畫已知的量，這是因為在我們接受信息的時候，更容易把握已知的量.對于未知的量是在對數(shù)量分析的基礎(chǔ)上，理解了它與已知量存在的倍數(shù)關(guān)系或者大小關(guān)系之后才入手開始畫的.

（二）倍數(shù)關(guān)系優(yōu)于大小關(guān)系

縱觀小學數(shù)學低段學習中畫圖策略的滲透，小學一年級出現(xiàn)的圖形主要還是以實物圖和小棒為主，采用的展現(xiàn)形式和數(shù)字之間都是一一對應的關(guān)系.這樣的設(shè)計考慮到了學生在這個階段的思維主要以具體形象思維為主，對實物圖和具體的小棒能產(chǎn)生比較強烈的興趣.這些實物圖和小棒對學生的數(shù)學學習具有很好的促進作用，既能激發(fā)他們的學習興趣，又能提高他們對數(shù)字的敏感度.到了二年級，教材中才第一次出現(xiàn)用圓圈或者長方形來代替一些數(shù)字的情況，突破了之前一一對應的這種數(shù)形關(guān)系.這樣的突破讓學生認識到表示多個數(shù)用一個圖形也是可以的.這種在思維上的突破為后續(xù)用線段來表示一些數(shù)打下了基礎(chǔ).

倍數(shù)關(guān)系優(yōu)于大小關(guān)系，不僅可以從它們在數(shù)學書上出現(xiàn)的先后順序得到體現(xiàn)，還可以從對線段表示數(shù)的本質(zhì)要求上得到體現(xiàn)，這是因為用線段來表示數(shù)的大小是基于一一對應這個關(guān)系的，也就是說在同一幅圖中，線段的長短和數(shù)的大小是對應的，線段多多少和數(shù)大多少是對應好的.比如，在同一幅圖中，表示20的線段一定是表示10的線段的2倍那么長，只有這樣，才能與一一對應的這個原則不矛盾.因此，在畫線段圖時，相對于畫大小關(guān)系而言，畫倍數(shù)關(guān)系會顯得更簡單，于是在畫圖中我們要優(yōu)先畫倍數(shù)關(guān)系.

比如，我們來畫這樣一個關(guān)系：甲是乙的3倍，同時甲比乙多36，那么這兩種關(guān)系的圖哪一個更直觀、更準確呢？如果我們先來畫大小關(guān)系的圖，就是“甲比乙多36”這個關(guān)系.我們可以標出來的是甲比乙多的那條線段表示36，但如果要符合一一對應這個原則，則乙應該畫多長呢？乙如果畫的長度比多的那段長，那說明乙比36大.如果相反，則表示乙比36小.但是在這里我們根本不知道乙到底是比36大，還是比36小，因此先畫大小關(guān)系在這時就不是很方便了.但是如果我們先來畫倍數(shù)關(guān)系，我們就可以畫出乙是一段，而甲就是這樣的三段.這樣的畫法既表示了倍數(shù)關(guān)系，又與一一對應的原則不矛盾.

（三）標準量優(yōu)于比較量

小學低段數(shù)學中出現(xiàn)的大小關(guān)系中什么是標準量？通俗來講，標準量就是兩個量被比較時，當作標準的那個量.在題目中，一般在“比”“是”這些字后面的數(shù)量就是標準量.確定標準量對學生來說可能有一定的困難.但是標準量的確定對后續(xù)學習分數(shù)和百分數(shù)應用題是一個基礎(chǔ).確定標準量最重要的方法是理解題目的意思，判斷兩個量在比較的時候誰作為標準的情況.

標準量優(yōu)于比較量主要體現(xiàn)在我們畫圖的時候如何來標比較量.我們所標注的比較量不是標注在標準量上，而是標注在比較量上的.一道題目可能涉及很多的比較關(guān)系，但是為了能清楚地分析它們之間的比較關(guān)系，我們就要確定唯一的一個標準量.這樣有利于我們分析比較，也有利于我們更直觀地看出它們的大小關(guān)系.正因為考慮到標準量的唯一，所以我們不能把比較量比較出來的結(jié)果都標注在標準量上，而是要標注到各自的比較量上，這樣才可以看出比較量和標準量比較出來的各自的結(jié)果.

比如，我們說男同學比女同學多3人，同樣的關(guān)系我們也可以表示為女同學比男同學少3人.這個時候我們畫的圖和原來是不一樣的.同樣的關(guān)系可以畫成不同的兩幅圖，但是這兩幅圖標注的比較結(jié)果位置是不一樣的，而表示男生和女生的線段長短和大小關(guān)系是一樣的，這兩幅圖所表示的數(shù)量關(guān)系是一樣的.在這個關(guān)系中，由于表述不一樣，它們的標準量也發(fā)生了變化.從這里我們可以看出，同一種關(guān)系有不同的表述，而不同的表述決定了標準量，從而改變了畫線段圖的時候先畫什么的順序.從這里也可以看出，我們在審題的時候一定要關(guān)注題目的表述.同時，這是在提示我們針對一種數(shù)量進行表述時，為了方便畫圖，我們可以改變表述的形式，這也體現(xiàn)了多角度合理運用畫圖來理解題目的靈活性.

（四）整體優(yōu)于部分

對于整體和部分的關(guān)系來說，小學低段學生是最熟悉不過的了.他們最早所學的數(shù)量關(guān)系就是整體和部分之間的關(guān)系.加法主要涉及的是部分加部分等于整體，減法主要涉及的是整體減部分等于部分.我們這里的討論以減法為主，這是因為在加法里，部分和部分都是已知的，整體是未知的，考慮到已知量優(yōu)于未知量，所以肯定先畫部分再畫整體.而本文要說的“整體優(yōu)于部分”是指整體和部分都處在已知或者都處在未知的情況下來考慮的.從畫圖角度而言，要從整體里面去掉部分才會有剩下部分，因此肯定要先畫整體，才會有部分的存在.

比如，用線段圖來表示“原來有20本書，發(fā)出去了15本書后，還剩下多少本書？”我們根據(jù)生活常識可以知道整體有多少本，還可以知道發(fā)出去了多少本.這樣，我們在畫圖的時候，先用一條段線表示原來的本數(shù)，再在這個線段上標出其中一部分表示發(fā)出去的本數(shù)，還剩下另外一段則表示剩下的本數(shù).

四、結(jié)束語

大家都認識到了畫線段圖來解決問題的重要性.但是在實際的教學過程中，我們對于如何培養(yǎng)學生的這種畫圖能力思考得還不夠多，總認為畫線段圖是比較簡單的事情，看得多了就會了.實際上，在教學實踐中我們發(fā)現(xiàn)，畫線段圖也是需要教師認真去教的，這是因為當問題變得復雜，其中包含多種數(shù)量關(guān)系，信息量也變多的時候，學生畫線段圖，如果沒有一定的方法，他們就會無從下手，或者出現(xiàn)相互矛盾的情況，從而畫不下，而這些情況都涉及“序”的問題.

在小學數(shù)學教學中，我們一定要做好線段圖分類以及畫圖過程中“序”的教學.這樣可以讓學生真正體會到線段圖對解題帶來的便利，讓他們從中體會到線段圖可以讓抽象的文字語言變成具體、形象、直觀的圖形，從而使題目化難為易，也可以幫助學生正確判斷數(shù)量關(guān)系，同時發(fā)展自己的思維能力.教師要讓學生明白線段圖就是一個工具，就是一個像畫圓的時候用的圓規(guī)，畫直線的時候用的直尺一樣幫助我們解決問題的一個工具.如果我們能引導學生用線段圖來進行抽象建模，更是發(fā)揮了線段圖的作用.實踐證明，線段圖具有直觀性、形象性和實用性，如果學生從小掌握了用線段圖輔助解題的方法，他們就會思考問題，分析問題，從而解決問題.這樣，學生解決數(shù)學問題的思路就能基本形成，其學習數(shù)學能力將會大大提高.

【參考文獻】

[1]冉啟瓊.線段圖助力小學生解決問題能力的提升[J].課程教育研究：外語學法教法研究，2019（20）：29-30.