高中數學分層輔導為學生排疑解惑

蘭淋海

[摘要] 高中數學在初中數學的基礎上提升了不少，不但新增了數學內容，而且拓展了數學思想和方法 。在解答數學問題時，學生普遍感到數學抽象嚴謹有條理、方法多樣有優劣、計算能力須扎實。部分高中學生原在初中時數學基礎就不是很好的，有的計算能力也弱，在解答教輔材料上的諸多習題總感力不從心，疑難問題接踵而來，甚至到了抱怨高中數學太困難了，期望老師能適時為他們排疑解難，樹立起學習高中數學的信心。

[關鍵詞] 高中數學 ; 學生疑問 ;教師解惑

高中數學要求學生具有初中的數學綜合知識和計算能力，新增了數學內容，拓展了數學思想和方法 。學生在解答許多高中數學問題時，普遍感到數學有的很抽象又嚴謹，考慮問題要周全、解答過程要有條理性且方法手段多樣并有有優劣、計算能力須扎實。筆者見到一些學生在解答一些高中數學問題過程中時感困惑、迷茫，尤其在解答教輔材料上的諸多習題總感力不從心，疑難問題接踵而來，抱怨高中數學太難了。倘若教師不能給予他們輔導，這些學生受挫心就會增加，畏難情緒表露無遺，導致他們消極地學習數學。因此，教師若能細致地為學生解惑，就能不斷地促進學生探索高中數學問題，提高他們學習數學的積極性。高中學生的數學學習水平差異也較大，包括初中數學基礎及其計算能力、分析能力、解決問題策略方法、數學空間想象能力等等。因人而異，分層輔導為學生排疑解惑，是以人為本的教育理念的體現，是教師的一種責任，也是一門藝術。下面擇幾道學生求問的高中數學題與同仁分享，以期拋磚引玉。

1.區分學生解題能力，做好不同層面的輔導工作

例1，圖1，用 ， ， 三類不同的元件鏈成一個系統，當 正常工作， 、 至少一個正常工作時，系統正常工作。已知 ， ， 正常工作的概率依次為0.9， 0.8，0.8，則系統正常工作的概率為（? ）A. 0.960?????? B. 0.864???? C. 0.720???? D. 0.576

解析：求教的學生有的茫然解答，有的無法選項。復習：若事件 ， ，...， 相互獨立，則 .

用 表示“元件 正常工作”， 表示“元件 正常工作”， 。學生的疑惑：所求的概率為 ， 、 分別表示元件 與 、 同時正常工作的概率， 表示三個元件都正常工作的概率，但計算后得不出要選擇的結果。筆者點撥：數學是嚴謹的！分三種情況中前兩種都是兩個元件正常工作，還要考慮余下的一個元件是不正常工作的！解開迷霧，他們改為如下的計算：

，點撥成功！

鼓勵學生試著用“系統正常工作”的對立事件“系統不正常工作”的概率去間接求解。“系統不正常工作”的概率為： ，從而得到“系統不正常工作”的概率為：

本題不但考查學生對獨立事件和互斥事件的理解及其概率計算方法的掌握，而且學生需要有一定的分析問題的能力和數學解題的策略。

對于解答該題毫無頭緒的學生，啟發如下：①獨立事件概率是如何計算？②本題中三個元件怎樣才能保證系統正常工作？具體有幾種情況？③各元件不能正常工作時各自概率是多少？④如何列式表示“系統正常工作”概率。輔導時，更有甚者要邊問邊給出解答過程，直到愁云散去。

2.為學生解惑，讓不同層次的學生全面理解題目的要求和合理選擇解題方法

例2.甲、乙、丙三人射擊命中目標的概率分別是 、 、 ，現三人同時射擊目標，則目標擊中的概率為???????????? 。

學生的誤解：所求的概率為： =......。解題思路簡單化，對題目的要求不夠全面理解。

先明確題目的要求“甲、乙、丙三人射擊是否命中目標”是相互獨立的，“目標擊中”即為“甲、乙、丙三人射擊至少一人命中目標”。用 、 、 分別表示甲、乙、丙三人射擊命中目標，則用 、 、 分別表示甲、乙、丙三人射擊沒命中目標， 表示甲、乙、丙三人射擊都沒命中目標，因為 、 、 相互獨立，所以

= = ，因此，? ，即所求的概率為 。另一種解答，“目標擊中”分為三種情況：

（1）甲、乙、丙三人中只有一個擊中目標，即? ，則

（2）甲、乙、丙三人中只有2個擊中目標，即 ，? ;

（3）甲、乙、丙三人中3個都擊中目標，即 ， 。

用 表示擊中目標，且 、 、 兩兩互斥，因此

對比兩種計算方法，哪種方法孰優孰劣，學生有了切身的感受。容易看出，利用對立事件的概率間接地求解，計算更加簡單，省去了多種擊中目標的分析計算。對于各層次的學生，都要讓他們全面理解題意，感受數學的嚴謹性，同時盡量地合理選擇解題策略。

例3.學校文藝隊每一個隊員唱歌、跳舞至少會一門，已知會唱歌的有5人，會跳舞的 有7人，現從中選3人，且至少有1個既會唱歌又會跳舞的概率為 ，則該隊共有???? 人。

解析：本題借助于圖示幫助學生全面理解題目。如圖所示，

依題意，設既會唱歌又會跳舞的有 人，則只會唱歌的有 人，只會跳舞的有 人，那么只會唱歌的和只會跳舞的共有 人，該隊共有 人。從 人中選出3人，用A 表示“至少有1個既會唱歌又會跳舞”，則 表示“只會唱歌

或只會跳舞”，有? ，即 ，化為 ，容易驗證 是方程的解。從而求得該隊人數為9人。

在給學生輔導過程中，結合圖示引導學生說出上面的各種數量關系，根據學生的回答情況有針對性地點撥。學生普遍感到圖示法直觀、容易理解，領略了獨到的解題策略。

3.指導學生將數學式子轉化，對比，針對不同程度的學生給出稍有不同的輔導

例4.函數 的圖象的一條對稱軸方程為（?? ）

A.? ?????B.????? C.?????? D.

分析：對于形如函數 ，從 ， 求得

， 為函數對稱軸方程。現在，命題老師把該題的函數改成了 ，求的問題不變，這時，就有些學生不知怎樣解答了。有經驗的學生看到 ，就會將 化為 = ，于是函數 ，化為前面所呈現的題型，即由 ， 解得 ， 為函數 的對稱軸的方程，當 時，對稱軸方程為 。當然，也可提示學生利用正弦與余弦和（差）角公式展開后合并，也能化為 。

以上針對不同層次的學生，還可以進行適當的延伸和拓展。如把本題要求改為求單調區間，求對稱中心，求最值等。還可以提出新的問題：如何將正弦曲線 進行伸縮平移成 等。

4.解決空間幾何計算問題，精心給學生分析并視學生幾何基礎，詳略有別地輔導

例5.在正方體 - 中， 、 分別為棱 、 的中點，過 、 、 作該正方體的截面將正方體分成兩部分，則較小部分與較大部分的體積的比值為（? ）

A.?????? B.????? C .?????? D.

解析：本題是幾何題，要求學生要有一定的幾何基礎和空間想象力，學生感到解題困難的不在少數。

先讓學生畫出正方體的示意圖（如圖2），再教學生作出所求的截面 （如圖3）。

設正方體的棱長為 ，并設正方體被分割的兩部分的體積分別為 、 ，則

對于幾何基礎好的學生，教師指引他自己獨立完成計算。而對于空間想象力差且平面幾何知識薄弱的學生，教師將正方體的底面ABCD 與側面 畫在稿紙上（成為平面圖形）進行引導，得出? ， 。

總之，高中數學問題有代數的也有幾何的，平面幾何是空間幾何的基礎，空間想象力是學生重要的數學能力。高中數學綜合性強，解決數學問題的方法手段多種多樣，要求高中學生數學綜合素質比較高。分層輔導高中學生數學也是因材施教的體現。在輔導時教師應慈祥熱情接受學生提出的問題，應表現出樂于幫助學生的態度，帶給學生親切感，讓學生放松性情，愉悅配合。教師樂為學生解惑，有利于提高學生學習高中數學的積極性，也是教師的使命所在。

參考文獻

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[2] 唐麗娜.中學數學教學中培養學生創新思維的措施[J]科技資訊.2015（26）：134-135