溯本求源 注重數學本質

張偉紅

【摘要】中考數學命題以《數學課程標準》為依據，以“落實基礎，注重過程，滲透思想，突出能力，強調應用，著重創新”為思想.中考題目大多源于課本的例題和習題，通過對教材習題的不斷挖掘，一題多變，一題多解，逐漸變成了有價值的數學新問題，從而得到了一種解決此類問題的方法.

【關鍵詞】? 教材題目;初中數學;變式探究

縱觀各地中考數學命題，其中很多題目都是源于課本的例題和習題，通過變式改編而成，這類題不僅較好地體現了命題的原則，還體現了基礎性和學好課本知識的重要性，有著非常重要的導向作用，不僅能引導師生重視基礎，重視教材，研究教材，用好用活教材，而且能激發學生學習數學的興趣，挖掘習題的功能，促進學生對知識本質的理解.下面以一道教材的習題為例，突出解題的方法和題目的變式探究.

題目呈現 人教版八年級下冊教材有這樣一道題目：如，四邊形ABCD是正方形，點E是邊BC的中點.∠AEF=90°，且EF交正方形外角∠DCG的平分線CF于點F，求證：AE=EF.

學生看到本題會想到了一線三垂直模型，過點F作FH⊥BC，垂足為H，要證AE=EF，只需要證明Rt△ABE≌Rt△EHF，條件找到了兩組角相等，即∠B=∠H=90°，∠BAE=∠HEF ，但是始終沒有邊相等.這兩個三角形的確全等，但是邊的條件找不到，此時引導學生換一種思路，要證AE=EF，能否構造一個與△ECF全等的三角形，請再思考.學生經過思考較容易的得到解法.如圖2，取AB的中點H，連接EH，根據已知及正方形的性質利用ASA判定△AHE≌△ECF，從而得到AE=EF.

下面對本道習題做三種變式探究：

變式1 如果把“點E是邊BC的中點”改為“點E是邊BC上（除B、C外）的任意一點”，其他條件不變，那么結論“AE=EF”仍然成立嗎，若成立，請寫出證明過程;如果不正確，說明理由.

解法1 如圖3，在AB上取一點M，使AM=CE，連接ME，

所以BM=BE，

所以∠BME=45°，∠AME=135°，

因為CF是正方形外交∠DCG的平分線，

所以∠DCF=45°，∠ECF=135°，

同（1）可證明△AME≌△ECF，

所以AE=EF;

解法2 如圖4，連接AC，易得到∠ACF=90°，又∠AEF=90°，所以點A、E、C、F在以AF為直徑的同一個圓上，所以∠AFE=∠ACE=45°，從而∠EAF=45°，由∠AFE=∠EAF證明出AE=EF.

變式2 如圖5，如果點E是BC的延長線上（除C點外）的任意一點，其他條件不變，結論“AE=EF”仍然成立嗎？

具體解法 成立.理由如下：如圖6，延長BA到M，使AM=CE，

因為∠AEF=90°，

所以∠FEG+∠AEB=90°.

因為∠BAE+∠AEB=90°，

所以∠BAE=∠FEG，

所以∠MAE=∠CEF.

因為AB=BC，

所以AB+AM=BC+CE，

即BM=BE.

所以∠M=45°，

所以∠M=∠FCE.

在△AME與△ECF中，

∠MAE=∠CEFAM=CE∠M=∠FCE，

所以△AME≌△ECF（ASA），

所以AE=EF.

變式3 如圖7，如果點E是BC的反向延長線上（除C點外）的任意一點，其他條件不變，結論“AE=EF”仍然成立嗎？說明理由.

具體解法 在AB延長線上截取BH=BE，連接EH.

因為四邊形ABCD是正方形，

所以AB=BC，∠ABC=∠BCD=90°.

又因為BH=BE，

所以AH=CE.

因為∠ABC=∠BCD=90°，BH=BE，CM為正方形外角平分線.

所以∠AHE=∠ECF=45°.

因為∠ABE=90°，∠AEF=90°.

所以∠AEB+∠EAH=90°，

∠AEB+∠FEC=90°，

所以∠EAH=∠FEC.

在△EAH和△FEC中，

∠EAH=∠FECAH=CE∠AHE=∠ECF，

所以△EAH≌△FEC（ASA），

所以AE=EF.

通過對教材習題的不斷挖掘，一題多變，一題多解，逐漸變成了有價值的數學新問題，從而得到了一種解決此類問題的方法，不僅使所學的知識觸類旁通，真正起到舉一反三的學習效果，而且讓學生開拓了眼界，提升了解題的思維，培養了學生分析解決數學問題的能力.

參考文獻：

[1]北京全日制義務教育數學課程標準[實驗稿]. 中華人民共和國教育部制定. 北京師范大學出版社 . 2011.

[2]曹松峰.一道經典幾何題的變式探究[J].中學生數理化（八年級數學）（配合人教社教材），2014，No.937（12）：12-13.