高中數學解題中引入數形結合思想的實踐

劉智娟

【摘要】數學思想是數學的核心和精髓.在數學課堂中，教師不僅要傳授給學生知識、技能，還要挖掘知識背后的數學思想，增進學生對所學知識的理解，讓學生掌握解題技巧，更好地提升解題能力.而數形結合是數學思想的重要組成部分，兩者在解題中的有機結合，可以讓難以解決的問題變得簡單化、明朗化和清晰化.本文就高中數學解題中如何滲透數形結合思想進行探討，溝通數、形之間的聯系，為更好地提升學生的解題能力和綜合素養、實現學生的全面發展提供幫助.

【關鍵詞】高中數學;解題能力;數形結合;課堂教學

著名數學家華羅庚曾說過：“數無形時少直覺，形少數時難入微.”這充分說明了數形結合的重要性，數學教師在教學中應該予以重視.數和形作為數學中兩個最古老和最基本的研究對象，在一定條件下能夠相互轉化.高中數學研究的對象主要分為數與形兩大部分，數和形是存在聯系的，這種聯系就是數形結合思想.在高中數學解題教學中，數形結合思想是一種較為常用的解題方法，教師需指導學生根據實際情況把數與形進行相互轉化或有機結合，借此真正提高他們的解題速度和正確率.本文從五個方向進行闡述，以供參考.

一、引入數形結合思想，有效解決集合問題

在高中數學知識體系中，集合問題是相對基礎的內容，雖然難度一般，但是也是重點知識之一.高中生在學習集合知識過程中，經仔細研究后發現無論是交集，還是補集，都存在著一定的內在聯系，均能夠通過數形結合的方式來分析和解答，可有效解決問題.高中數學教師可指導學生引入數形結合思想，分析集合問題中的元素，讓他們減少煩瑣的計算流程，更好地提升解題效率.

例1 已知全集U={x1丨x2<50，x∈N}，L∩（C∪M）={1，6}，M∩（C∪L）={2，3}，C∪（M∪L）={0，5}，求集合M與L.

解析 學生首先需要求得全集U={x丨x2<50，x∈N}，U={0，1，2，3，4，5，6，7};把L∩（C∪M）={1，6}，M∩（C∪L）={2，3}，C∪（M∪L）={0，5}，三個集合中的元素在韋恩圖中依次定位;定位集合中的4，7元素;根據下圖集合U中的元素位置，得出集合M={2，3，4，7}，集合L={1，4，6，7}.接著，教師繼續設置題目：已知集合A={x1丨x<—1或x≥1}，B={x1丨2a

上述案例，學生在處理集合問題時引入數形結合思想，借助韋恩圖分析和解題，通過圓表示集合，假如兩圓相交，就表明兩個集合存在公共元素，相離則說明不存在公共元素，從而幫助學生快速地厘清解題思路，得出準確的結論，提升了課堂學習效率.

二、引入數形結合思想，直觀解決方程問題

方程也是整個數學體系中的基礎知識之一，雖然學生從小學階段就開始接觸方程，但是高中階段出現的方程問題難度較大，有時僅僅依靠純粹的列式計算比較復雜，極易出錯，影響學生對題目的解答.這時高中數學教師可指引學生引用數形結合思想分析方程類的題目，根據圖像判定方程的實根情況，輔助學生簡單、直觀地解決問題，增強數學解題的自信，讓他們領略化逆為順的精彩.

例2 已知方程2a2x2+2ax+1-a2=0的兩個根在（-1，1）之內，那么a的值是多少？

解析 學生如果直接采用代數法，那么解題過程將會變得異常煩瑣，還容易出現錯誤，很難順利求出正確答案.教師可提示學生引入數形結合思想，根據題目中給出的已知方程，繪制出相應的二次函數y=a2x2+2ax+1-a2的草圖，如圖2所示.學生通過觀察圖像，發現拋物線和x軸的交點在（-1，1）之內，需要滿足的條件是（a-1）2>0，（a+1）2>0，12-a2≤0.之后，在具體的解題環節，學生根據圖像得出上述三個不等式，將它們聯立起來構成一個一元二次不等式組，解之得a≥22或a≤-22且a≠±1，由此得出a的取值范圍.之后，教師可以設置一些同類題目，如“方程ax-2x-1=0（a>1，a≠0）有兩個零點，求a的取值范圍”繼續引領學生用數形結合思想求解.

如此，學生可以采用函數圖像解決方程近似解的個數問題.在高中數學解題訓練中，將會出現不少不規則的方程，教師均可指引學生引入數形結合思想，借助函數圖像順利求解，幫助學生降低解題的難度，獲得解題成功的滿足感.

三、引入數形結合思想，降低函數問題難度

在高中數學課程教學中，函數是一大“重頭戲”，是較為重要的知識內容，也是學生學習的難點，且涉及范圍廣泛，還和數形結合思想有著直接聯系.在具體的解題環節，高中數學教師可以引導學生運用數形結合思想處理難度系數相對較高的函數類問題，明晰函數式與圖像之間的關系，將抽象的函數知識變得具體化，借此降低函數試題的解答難度，提高他們的解題速度和水平，領略數學知識的魅力所在.

例3 已知函數f（x）=x3-3x2+ax+2，曲線y=f（x）在點（0，2）處的切線和x軸交點的橫坐標是-2.

（1）求a的值;（2）證明，當k<1時，曲線y=f（x）和直線y=kx-2只存在一個交點.

解 （1）設f′（x）=3x2-6x+a，f′（0）=a，曲線y=f（x）在點（0，2）處的切線方程是y=ax+2，根據題意可得-2a=-2，a=1;（2）教師應提醒學生先分類，再引用數形結合思想尋求突破，不過分離變量的時候需注意x的取值范圍.令f（x）-kx+2=x3-3x2+（1-k）x+4=0，則k=x2-3x+4x+1（x≠0），令g（x）=x2-3x+4x+1（x≠0），定性畫出g（x）的圖像，通過觀察求得當a<1時，曲線y=f（x）和直線y=kx-2只存在一個交點.

對于上述案例，教師指引學生采用數形結合思想尋求新的突破口，能夠有效降低這一問題的難度，使其結合圖像一目了然地獲取答案，將復雜的數學題目變得非常直觀和具體，讓學生體驗到數形結合的優勢，從而省掉很多不必要的計算步驟和環節.

四、引入數形結合思想，簡便解決數列問題

在處理數列相關問題時，學生通常習慣于采用代數方式和思維方法來解決.但是把數形結合思想引入數列問題，可以把數列看作一列函數值，通過圖像的形式來表示，讓他們高效地解決數列問題.在高中數學解題教學中，教師可以引領學生使用數形結合思想解析數列問題，以圖形的形式來展示數列，能引導學生迅速找到解決問題的突破口，顯得快捷又直觀，最終幫助他們簡便、輕松地解決難題.

例4 已知在等差數列{an}中，3a8=5a13，求Sn中最大的值是（? ）.

A.S21??? B.S20??? C.S11??? D.S10

解析 當學生第一眼看到這一題目時，往往會覺得題中給出的條件較少，一時之間不知道該如何下手解題.這時，教師可提示他們引用數形結合思想，將數列中的點以圖像形式呈現出來，畫成一個一次函數樣式.具體解答方法如下：根據題中給出的條件3a8=5a13可知a8a13=53，因為a1>0，所以a8>a13，則數列{an}是一個遞減數列，如圖4所示，設AB=x，結合相似三角形的性質可得xx+5=35，解得x=7.5，那么an的圖像所在直線和x軸的交點坐標是（20.5，0），明顯可以看到Sn中的最大值是S20，故正確選項是B.

在上述案例中，學生運用數形結合思想的形象特點，將抽象化的數學問題變得形象化，能夠快速厘清題意，并找到正確的解題策略，減少錯誤現象的出現，鍛煉自身的抽象思維.

五、引入數形結合思想，高效解答幾何問題

在數形結合思想中，主要包括兩大類，分別是“以數解形”和“以形助數”，即借助于數的精確性來闡明形的某些屬性，或者借助形的幾何直觀性來闡明數之間的某種關系.這表明在高中數學解題中引入數形結合思想時，不僅可用圖形來表示數，還能夠用數來表示圖形.教師需要引領學生應用數形結合思想解答幾何問題，降低他們出錯的頻率，更好地提升教學成效.

例5 已知有向線段PQ的起點P和終點Q坐標分別是P（-1，1），Q（2，2），如果直線l：x+my+m=0和有向線段PQ延長相交，求實數m的取值范圍.

解析 學生可以把直線l的方程x+my+m=0轉變成點斜式，即為y+1=-1mx，輕松得知直線l經過定點M（0，-1），且斜率是-1m，因為l與有向線段PQ的延長線相交，根據數形結合思想畫出圖5，得出當過點M且與PQ平行時，直線l的斜率趨近于最小，當過點M與Q時，直線l的斜率趨近于最大，則kPQ=2-12-（-1）=13，kMQ=2-（-1）2-0=32，設直線l的斜率是k1，根據kPQ

針對上述案例，學生把含有一個變量的直線方程轉化為點斜式或經過兩直線交點的直線系方程，在化為點斜式方程后看出交點M和斜率，然后結合圖形判斷出斜率的范圍.

總而言之，解題教學是高中數學課堂中的重要教學內容，有助于培養學生靈活運用所學知識的能力，拓展學生的思維，形成適應未來社會的關鍵能力.但由于高中數學課堂中的很多題目難度較大，學生解答起來并不輕松.教師需引導學生極力發揮出數形結合思想在解題中的優勢，幫助他們優化解題思路，使其掌握更為有效的解題技巧，逐步鍛煉和提高自身的數學解能力.

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