巧作輔助線

林明新

【摘要】初中數學中的幾何面積最值問題是學生經常遇到的問題，在具體的解題中，教師可引導學生將遇到的問題朝著這兩個方向轉化，在轉化的過程中讓學生嘗試著添加一些輔助線、輔助圓，以讓問題得到解決，以讓能力得到發展.

【關鍵詞】初中數學;最值問題;作輔助線

1 作垂線，解決面積最值問題

求面積的最值是最值中常見的問題，學生首先要從面積公式入手展開思考.一般來說，題目中往往會存在一個動點，這個動點假如是三角形的高，依據點線之間，垂線段最短，就可獲得最值.因此解題時教師需要引導學生關注相關三角形中需不需要作一條輔助線，以實現最值問題的轉化.

例1 如圖1所示，在正方形ABCD中，E是邊BC上的一動點（不與點B、C重合），連接DE、點C關于直線DE的對稱點為C′，連接AC′并延長交直線DE于點P，F是AC′的中點，連接DF.（1）求∠FDP的度數.（2）連接BP，請用等式表示AP、BP、DP三條線段之間的數量關系，并證明.（3）連接AC，若正方形的邊長為 2，請求出△ACC′的面積最大值.

顯然地，第1問與第2問都是為最值問題做鋪墊的.對于第一問學生只要證明∠CDE=∠C′DE和∠ADF=∠C′DF，就可推斷出∠FDP′=12∠ADC=45°.對于第2問，學生需要作一個輔助線，同時也為第3問的作輔助線進行熱身.如圖2所示學生作AP′⊥AP交PD的延長線于P′，他們構建出全等三角形，證明△BAP≌△DAP′（SAS），進而得BP=DP′，從而得△PAP′是等腰直角三角形，可得結論BP+DP= 2AP.對于第3問，這題其實就是暗示學生先作高線，進而根據高的大小確定面積的大小.在如圖3所示，學生過C′作C′G⊥AC于G，教師引導學生當C′在何處時，C′G最大？學生先是在Rt△ABC中，由AB=BC= 2，求得AC= （ 2）2+（ 2）2=2，進而他們認為AC為定值.同時他們觀察圖三發現，當C′G最大值，△AC′C的面積最大，這是由面積公式決定的.因此學生連接BD，交AC于O.他們推斷出當C′在BD上時，C′G最大，此時G與O重合.顯然地，由CD=C′D= 2，OD=12AC=1，他們推斷出C′G= 2-1，進而得出，S△AC′C=12AC·C′G=12×2（ 2-1）= 2-1.可以清晰地看出來三角形面積的最值問題先是要引導學生假想一個點，進而證明這個點與最長線段的端點重合.

2 作平行線，解決面積最值問題

同樣地，作平行線也能解決其中部分的面積最值問題.作平行線一般是將一個三角形分成幾個不同的部分，從已知線段的比，推斷出未知線段的比，進而再推斷出相關三角形的高之比與面積之比.顯然地作平行線這樣的輔助線能將所求的最值面積中的部分數據進行轉化.因此教師需要引導學生分析題目中的隱性條件，看是不是部分線段之間存在著一定的比，進而通過平行線過度到對應的面積之比.

例2 如圖4所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=4，點D，E分別在邊AB，AC上，且DB=2AD，AE=3EC，連接BE，CD，相交于點O，則△ABO面積最大值為多少？

教師先是要引導學生分析與△ABO相關聯的線段有哪些，從這些線段之間的等量關系能不能求出△ABO的面積與某個三角形面積之間的比例關系，進而將問題進行轉化.他們從DB=2AD這一條件捕捉到從“D”出發作一個輔助線可以實現相關問題的轉化，因此他們過點D作DF∥AE，因而他們得出DFAE=BDBA=23，進而也得出ECAE=13，即，DF=2EC，DO=2OC，DO=23DC.他們很順利地推斷出S△ADO=23S△ADC，S△BDO=23S△BDC，S△ABO=23S△ABC.學生遇到的第二個問題是如何求S△ABC的最值.教師指導學生進一步地從已知條件找尋信息，他們發現由已知條件∠ACB=90°，能作出這樣的推斷，C在以AB為直徑的圓上，設圓心為G，當CG⊥AB時，△ABC的面積最大.即，12×4×2=4，此時△ABO的面積最大為：23×4=83.

3 作輔助圓，解決面積最值問題

將圓與面積最值問題結合起來也是常見的解決最值問題的方法.但這樣的解題思路需要學生具備一定的綜合運用數學認知的能力，要能將不同章節的認知基于某個核心問題聚焦在一起.顯然地圓中的垂徑定理，還有直徑是圓中最長線段都是用來轉化的重要路徑.

例3如圖5所示，△ABC中，若AB=6，∠ACB=45°.求△ABC的面積的最大值？

教師可以引導學生像這樣的條件比較少的題目，作一個輔助圓試試，這樣就能將一些條件放在圓中去考慮.學生先是作△ABC的外接圓⊙O，過C作CM⊥AB于M，教師引導他們將原來的信息以圓的視角加以運用.學生是這樣分析的，弦AB已確定，要使△ABC的面積最大，其實只要求CM取最大值就可以了.那么CM什么時候最大呢.學生做出這樣的輔助圓之后，不難發現當CM過圓心O時，CM最大.他們從已知條件CM⊥AB出發，作CM過O，進而由垂徑定理推斷出AM=BM，AC=BC.接著他們從∠AOB=2∠ACB=2×45°=90°這一條件入手，得出OM=AM=12AB=12×6=3，OA= OM2+AM2=3 2，CM=OC+OM=3 2+3，進而推斷出S△ABC=12AB·CM=12×6×（3 2+3）=9 2+9.

當然借助輔助圓還可以求面積的最小值.如圖6所示，在平面直角坐標系xOy中，半徑為2的⊙O與x軸的正半軸交于點A，點B是⊙O上一動點，點C為弦AB的中點，直線y=34x-3與x軸、y軸分別交于點D、E，則△CDE面積的最小值為多少.

首先學生想到了求面積的通常地作輔助線的方法，他們連接OB，取OA的中點M，連接CM，過點M作MN⊥DE于N.他們從AC=CB，AM=OM，推斷出MC=12OB=1.教師引導學生在△CDE中哪一個是動點，如何描述這個動點.學生經過觀察、分析、討論，他們發現點C的運動軌跡是以M為圓心，1為半徑的⊙M上.設⊙M交MN于C′，當點C與C′重合時，△C′DE的面積最小.可見對于作輔助圓來說，學生需要做好三個方面的思考，首先要能在心中形成一個圓的圖形;其次要能將最值放到圓的圖形中考慮，以讓問題得到轉化;再次要能將圓的認知與三角形的認知結合起來.