數形結合思想在數學教學中的應用探研

鄒團軍

摘要：數學教學活動的開展，并不只是幫助學生認知數學基本知識，還需要引導學生把握數學規律，培養學生的數學思維及數學能力。數形結合思想有機結合抽象的“數”與表象的“形”，將其應用于數學課堂教學實踐，既能提高學生的數學學習效率，又能提升學生的數學核心素養，提高教學實效。文章結合教學實踐，對數形結合思想在數學教學中的應用進行探究。

關鍵詞：數學教學；數形結合思想；數學素養；教學實效；核心素養

中圖分類號：G633.6文獻標志碼：A文章編號：1008-3561（2022）21-0113-04

初中數學由數量關系與空間形式組成，二者相輔相成。數量關系的抽象性特征明顯，而空間形式較為直觀，數形結合思想則結合抽象的“數”與直觀的“形”，利用圖形性質或位置關系來轉變抽象的數量關系，或依據相關元素的數量計算圖形間的關系。數學課堂教學中應用數形結合思想，不僅能幫助學生透徹、深入地理解數學知識，還能幫助學生高效解決復雜的數學問題。因此，教師要將數形結合思想應用于新知教學、習題解答以及階段復習等各個環節，提高學生數形結合思想應用意識，提升學生數學核心素養。

一、數形結合思想的內涵及特征

數形結合思想是通過代數與幾何圖形的結合，高效解決復雜的數學問題。數形結合思想的應用，一般有兩種方式：一種是利用直觀形象的圖形將抽象數據之間的聯系揭示出來；另一種則是利用數的嚴密性優勢對圖形的某些性質進行闡明。和其他數學思想相比，數形結合思想具有以下特征。其一，形象性。數學知識較為抽象，教師單單采用語言講解、數據推導等方式，無法幫助學生將知識網絡構建起來。而數形結合思想能夠利用圖形轉化數據、數據轉化圖形進行推導，與學生的形象思維特征相符合。其二，雙向性。數形結合思想能夠相互轉化數量關系與幾何圖形，具有明顯的雙向性特征。部分數學問題較為復雜、抽象，利用數的知識難以有效闡明，而利用圖形可以進行簡化處理。部分題目采用畫圖方式將會增強解題過程的煩瑣性，而利用數量關系可以直接進行處理。結合數學問題的實際類型，選擇適宜的解決方式，能夠提高數學問題的解答效率，促進學生的思維發展。

二、數形結合思想在數學教學中的應用優勢

目前，部分數學教師依然將傳統的教學模式沿用過來，向學生灌輸教材中的數學知識。在這種教學模式下，學生雖然能夠理解教材中的例題，但無法充分掌握題目中所蘊含的數學思想，一旦改變題目中的條件，就難以順利解決。而在數學課堂中滲透數形結合思想，則能夠有效規避這一問題。

1.透徹理解數學概念

數學概念高度概括了空間形式與數量關系，存在著較大的抽象性，學生往往難以理解。在以往的教學中，教師僅僅讓學生記憶文字表述，無法從本質上理解數學概念，嚴重影響學生數學學習成效。數形結合思想的應用，則可以形象直觀地反映數學概念，降低學生理解記憶的難度，幫助學生更加深刻地認知數學概念的本質。

2.構建數學知識網絡

在數學教學過程中，教師要不斷發展與完善學生的數學認知結構，幫助學生建立數學知識之間的內在聯系。數形結合思想的應用，能統一數學課程中的空間與數量關系，幫助學生準確把握數學本質。學生原有的知識經驗直接影響到新知識的學習效果。數形結合思想的應用，能夠讓學生借助已有的知識理解新的知識，不但新知學習效率得到提高，而且可以聯系數學知識模塊，促使學生的認知結構得到發展，構建數學知識網絡。

3.高效解決數學問題

數形結合思想能夠直觀轉化抽象的數量關系，幫助學生高效解決復雜多變的數學問題。一方面，通過應用數形結合思想，學生能夠統一數學問題中呈現的數與形，簡化處理復雜的數學問題，降低問題的解決難度。另一方面，不同數學能力的學生在解決數學問題時，會產生差異化的思維活動。通常情況下，思維能力越高的學生往往只有很短的思維過程。反之，將會產生冗長的思維鏈，無法順利解決數學問題。數形結合思想的應用，能夠用學生較為熟悉的認知模塊取代部分思維鏈，這樣學生的思維鏈可以得到簡化，有助于提高數學問題的解答效率。

4.激發數學學習興趣

和文史等其他學科相比，數學學科較為復雜和單調，導致很多學生的學習興趣不高。同時，部分教師采用傳統的教學模式，沒有充分考慮學生的接受能力與學習需求，導致學生在學習過程中難以獲得成就感，逐漸喪失學習探究的熱情。數形結合思想的應用，能有機結合抽象數式與直觀圖形，學生不再需要枯燥記憶數學知識，數學學習體驗得到進一步增強，數學學習興趣得到進一步激發。數形結合思想的應用，能夠對一些難度較大的數學問題進行簡化處理，克服學生的心理障礙，提高學生學習效率和學習質量。

三、數形結合思想在數學教學中的應用策略

1.把握數形結合思想的滲透原則

為保證數形結合思想的應用效果，教師不能生硬地向學生灌輸數形結合思想，而要結合教學內容和學生的學習特點，采用適宜、巧妙的方式方法進行滲透。數形結合思想的應用雖然方式并不固定，但需遵循一定的原則。其一，直觀性。形象思維在學生的認知活動中依然發揮著主導作用，通過采用形象直觀的滲透方式，學生可以更加輕松地理解與掌握數形結合思想。從本質上講，數形結合思想指的是相互轉化、聯系圖形表征與符號表征，在數學課堂中應用數形結合的目的是降低學生的理解難度，培養學生的數學能力。因此，教師要嚴格遵循直觀性的原則，應用實物直觀、模象直觀、多媒體教學等多種直觀教學手段，深入結合圖形、文字與聲音等，全方位刺激學生的多重感覺器官，在激發學生探究熱情的基礎上，幫助學生深入理解數形結合思想內涵，引導學生主動應用于數學知識學習當中。其二，主體性。數學教學活動由教師的“教”與學生的“學”組成，只有完美協調“教”與“學”之間的關系，才能保證數學教學效果。因此，在滲透與應用數形結合思想的過程中，教師既要將自身的主導地位體現出來，又要將學生的主觀能動性發揮出來，鼓勵學生自主感悟、練習與運用數形結合思想。其三，循序漸進性。學生的認知發展過程呈現螺旋式上升的特征，教師在滲透、應用數形結合思想時，要將學生的思維特點納入考慮范圍，堅持循序漸進的原則，準確把握學生的認知能力和水平，選擇適宜的滲透方式方法，幫助學生逐步掌握數形結合思想。

2.挖掘教材中的數形結合思想素材

為保證數形結合思想的滲透效果，教師要摒棄灌輸式教學方式，將數形結合思想自然而然地滲透到課堂教學的各個環節，在幫助學生理解數學知識的基礎上，讓學生掌握知識中所蘊含的數形結合思想。教材是開展教學的依據，也是數形結合思想的載體。因此，在備課過程中，教師要深入剖析章節教學內容，挖掘蘊含數形結合思想素材，通過科學處理與巧妙設計，幫助學生理解與掌握數形結合思想。同時，教師可利用課余時間，總結歸納教材中蘊含數形結合思想的內容，結合教學計劃，明確數形結合思想滲透的節點與方法，切實保證數形結合思想的滲透效果。

3.利用情境激發圖形表征意識

和數的表征相比，圖形表征具有直觀、形象等特點，能夠幫助學生理解和掌握數學知識。因此，在數學課堂教學中，教師要充分把握數形結合思想的本質，創設符合學生認知特征的教學情境，促使學生的圖形表征意識得到有效激發，以提高課堂教學效率和教學質量。教師要鼓勵學生利用直觀的圖形表征轉化抽象的數字表征，將數形結合思想表象、表形的優勢充分發揮出來。初中學生雖然形成了一定的抽象思維，但更容易接受直觀的圖像表征。因此，教師要善于利用表象、表形的直觀圖形來呈現抽象的數學概念等內容。這樣不但能提高學生的數學學習效率，還能提高學生的觀察意識和觀察能力。初中學生雖然已經接觸到圖形表征，但往往不能將其主動應用于數學學習或代數問題的解決之中。因此，教師要創設教學情境，引導學生在學習抽象數學概念、解決復雜數學問題時主動運用圖形表征。例如，在教學“數軸”這一知識內容時，為幫助學生掌握數軸的概念，教師既可以向學生直觀展示數軸的畫法，也可以創設實物情境，將學生較為熟悉的溫度計、秤桿等用于課堂教學，利用生活中的具體模型詮釋數軸概念。這樣，學生就能夠聯系數軸與直觀圖形和實物，將數軸的概念以及三個關鍵要素抽象出來。

4.觀察探究圖形表征中的代數意義

初中數學教學，非常重要的一個目標是培養學生的數學觀察能力。因此，教師需要引導學生直觀感知事物，對數學對象的形式特征、性質關系、變化規律等進行了解與獲取。學生如果能夠利用圖形表征解決具體的數學問題，將能夠更加深刻地感知形象直觀的圖形。受主客觀因素的綜合影響，學生往往缺乏良好的圖形觀察能力和以形思數的分析能力，導致其難以在數學知識學習、數學問題解決中熟練應用數形結合中的“以形助數”思想。面對這種情況，教師在應用數形結合思想時，要著重引導學生觀察直觀的幾何圖形，將幾何圖形中所蘊含的代數意義充分挖掘出來，利用具有算法性的“數”抽象轉換為直觀的幾何圖形，深入探討圖形的代數意義，發展學生的抽象思維能力。數形結合思想的應用，非常重要的一個方面是引導學生運用圖形表征數學問題，深入觀察由問題轉化而來的圖形，進而分析圖形的代數意義。以常見的幾何證明題為例，皆可運用這種方法。學生通過直觀感知事物或圖像，將其中有價值的數學信息挖掘出來，對圖形中所蘊含的數量關系進行準確把握，能夠對數學對象的形式特征、性質關系等進行充分了解，有助于數學核心素養的提升。

5.相互轉換與推理不同的數學表征

數形結合思想涵蓋“以形助數”“以數解形”等多方面內容，需要學生利用不同的表征形式轉化處理數學學習對象。例如，通過應用符號表征形式，可高效分析、轉化、推理數學對象或數學問題。而應用圖形表征形式，則可將形的直觀優勢發揮出來，形象表述抽象的數學信息。只有綜合運用多元化的表征形式，針對性處理具體的數學對象或問題，才能提高學生的數學學習效果。對代數的抽象符號表征功能過于重視，雖然符號表征邏輯性優勢能夠得到發揮，但數學學習難度將會增大，無法對數學知識的本質意義進行獲取。因此，教師要引導學生配合應用直觀的圖形表征等形式，更加全面地詮釋數學問題。這既可以將不同數學表征的優勢發揮出來，又能夠提高學生的數學學習能力。同時，學生在推理轉化不同數學表征的過程中，邏輯推理能力、“數形合一”能力會得到有效培養。一般來講，在解答分析代數問題時，需應用幾何表征。而在解答分析幾何問題時，則要善于應用數的表征。轉換表征形式，能夠將形的直觀性優勢、數的邏輯性優勢全面發揮出來，有助于培養學生的圖形觀察、推理論證等能力。因此，在初中數學教學實踐中，教師要引導學生推理與轉化多元表征，有機結合學生的直觀思維與抽象思維，促使數學問題得到順利解決。以“概率與統計”知識內容為例，教師可通過文字、表格、圖形等多種表征形式進行呈現，科學轉化不同表征，以培養生的數形結合數學和邏輯推理能力。

6.利用現代信息技術優化應用效果

近些年來，教師在數學課堂中開始應用幾何畫板等現代教學工具，改變了課堂教學模式及流程。數學教學與信息技術的融合，能夠直觀生動地呈現不同表征形式的轉換過程，幫助學生深入掌握數形結合思想的實質。信息技術的應用，不僅可以更加高效地融合直觀的形與抽象的數，沖擊學生的視覺感官，還可以將數學思維過程展現出來，有助于提高數形結合思想的應用效果。以“幾何畫板的應用”為例，教師可利用直觀的線條、圖式等呈現抽象的數學概念。在解決一些抽象問題時，教師可利用圖形變化動態呈現問題的解答過程。例如，在學習“反函數”知識時，教師可依托幾何畫板、電子白板等信息化工具對反函數的圖像進行呈現，引導學生仔細觀察圖像內容，挖掘反函數的性質，于無形中滲透和反映數形結合思想。由此可見，現代信息技術對數形結合思想的應用具有重要的促進作用。教師要積極學習各類現代信息技術的應用技巧，深度融合常規教學方式與信息技術，提高數形結合思想的應用效率和應用質量。

7.深度融合數學課堂各個教學環節

現階段，部分教師雖認識到數形結合思想的應用價值，但主要在解題教學環節應用，與其他教學環節的融合度不高。要改變這種狀況，教師就要將數形結合思想滲透于課堂教學的各個環節。其一，概念教學。學生對數學概念的理解，直接影響到整體數學水平。學生要想透徹理解數學概念，需經歷剖析、類比、轉化等一系列思維加工過程，存在著較大的難度。在以往教學中，教師往往直接讓學生記憶概念內容，不僅容易遺忘，還無法透徹理解概念的本質。數形結合思想的應用，可將概念的概括性表述轉化為直觀的圖形，引導學生還原、體驗概念的形成過程，準確把握概念中數、形關系，以便深入理解概念。其二，定理教學。公式定理是數學知識的重要內容，只有充分掌握公式定理的內涵及應用方式，才能正確運用。初中數學公式定理較多，學生在學習過程中容易出現混淆現象，往往不能熟練、正確地加以應用。這一問題的存在，根本原因在于學生沒有正確理解和牢固掌握公式定理。為強化學生的理解和掌握，教師要創新教學方式方法，采用文字表述與直觀圖形相結合的方式進行講解，幫助學生深入理解、牢固掌握公式定理。其三，解題教學。教師在例題講解中會投入大量的時間和精力，而學生往往能夠解決與例題相類似的數學問題。主要原因是教師采用的解題方式單一，沒有注重數形轉化，導致學生的思維受到束縛。要改變這種情況，教師在解題教學過程中就要滲透數形結合思想，引導學生利用直觀圖形對復雜的題目條件進行轉化，降低數學問題的解答難度，培養學生的解題能力與思維能力。其四，階段復習。教材依據學生的認知發展規律，在不同章節內容中蘊含數形結合思想。教師在帶領學生進行階段性復習的過程中，要引導學生提煉各章節內容中所蘊含的數形結合思想。以“一次函數”章節為例，此章節的知識點比較分散，在復習過程中，教師可引導學生利用數形結合思想重新組織與總結各個知識點，幫助學生建構起完整的知識結構。

四、結語

綜上所述，數形結合思想在學生的數學學習過程中發揮著十分重要的作用，教師只有引導學生充分理解和掌握數形結合思想，才能提高學生的數學學習效率和學習質量，提升學生的數學核心素養。因此，在數學教學中，教師要注重滲透數形結合思想，促進學生思維能力發展。為保證數形結合思想的滲透效果，教師要綜合考慮學生的接受能力，選擇適宜的教學方法，在課堂教學的各個環節全面滲透數形結合思想，幫助學生透徹理解數形結合思想的本質，掌握數形結合思想的應用方法，提高學生的數學學習能力。

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Exploration of the Application of the Thought of Combination of Number and Shape in Mathematics Teaching

Zou Tuanjun

（Jingning No. 4 Middle School， Gansu Province， Pingliang 743400， China）

Abstract： The development of mathematics teaching activities is not only to help students understand the basic knowledge of mathematics， but also to guide students to grasp the laws of mathematics and cultivate students mathematical thinking and mathematical ability. The combination of number and form organically combines the abstract "number" and the "form" of representation， and applies it to the practice of mathematics classroom teaching， which can not only improve the students efficiency of mathematics learning， but also improve the students mathematics core competence and improve the teaching effectiveness. Combined with teaching practice， this paper explores the application of logarithm shape combination thought in mathematics teaching.

Key words： mathematics teaching； the thought of combination of number and form； mathematics literacy； teaching effectiveness；core competence