利用多視角探索，促進高中學生提升數學綜合能力

方芳 殷久旋

［摘? 要］ 根據新課程目標的要求，數學教學中除了培養學生的“四基”外，還要關注學生應用意識和創新意識的培養. 然若要提高學生的應用意識和創新意識，教學中就要善于引導學生進行多視角探索，通過交流、討論、探索提高學生靈活運用數學知識的能力，從而促進學生的綜合能力不斷提升.

［關鍵詞］ 應用意識；創新意識；多視角探索

在高中數學教學中發現，部分師生對高考存在一些誤解，認為若想在高考中取得好成績就必須多練習一些難題、新題，多積累一些解題方法和解題技巧，這樣在面對多變的高考題時才會胸有成竹. 然過多的難題和新題會使大多數學生感覺不適，久而久之便會失去數學學習的興趣和信心；同時過多關注解題方法和解題技巧，解題時容易出現盲目的套用，影響學生的長遠發展. 仔細研究高考考試說明和高考題不難發現，高考主要考查的是學生的“四基”，然若想落實“四基”，教學時切勿“好高騖遠”，盲目地求“難”、求“新”，否則不僅難以提升高考成績，而且容易挫傷學生學習的信心，得不償失. 當然，在考查“四基”的基礎上，學生的數學應用意識和創新意識也是重要考查方向，因此教師在教學中要善于調動學生參與的積極性，重視思維訓練，培養學生敢于探索、勇于創新的精神，重視凸顯學生的主體地位，同時還要重視學生數學學習興趣的激發和健康心理的培養，讓學生能夠更加積極地自主學習、自主探究、自主創新.

問題提出

在傳統教學觀念的影響下，部分師生還是比較喜歡“刷題”，試圖用“多做”來豐富解題經驗，提高解題效率. 對于一些常規化的題目來講，“多做”確實能夠迅速形成解題思路，提高解題效率，然其不足就是缺乏深度思考. 靠機械套用也許能解決題目，但對題目所涉及的數學思想方法卻不得而知，這樣解題方法難以優化，也不能做到融會貫通. 在數學學習過程中，只有深入思考才能提出新思路、新解法，實現認知結構的優化，發展學生的創新意識. 為了引導學生深入思考，教師在平時的教學中切勿急于求成，要立足教材，從學生的基本學情出發，借助適當的教學手段啟發學生進行觀察、思考，同時注意數學思想方法的滲透，引導學生關注問題的本質，用數學思想方法去分析和解決問題，進而提升解題能力、提高數學素養.

筆者從學生認知出發，通過具體例題引導學生多視角觀察和探究，進而啟發學生進行深度思考，讓學生體會數學思想方法重要的應用價值，進而提高學生的數學應用能力和創新能力.

多視角探索

例 若正實數a，b滿足ab=a+b+3，求ab的取值范圍. 請從不同視角進行探究，談談你有哪些收獲.

例1題設簡單，符合學生認知，易于激發學生的探究熱情. 教學中教師鼓勵學生進行合作學習，嘗試從不同角度進行觀察和探究，進而提出新思路、新解法，讓學生在探索中感受合作的價值，讓不同思維碰撞出耀眼的火花.

根據反饋來看，大多數學生在解決例1時習慣從不等式的思路進行探究，為了使探究更具目的性，教師可以引導學生從三個視角開展探究，即不等式、函數和構造，以期發展學生的數學思維.

1. 不等式法

利用基本不等式的思路求代數式的取值范圍是學生較熟悉、較常用的解題方法，利用不等式性質將等量關系進行等價轉化. 比如例1，可以將ab=a+b+3這一等量關系轉化為關于ab或a+b的不等式，根據解不等式的思路求出ab或a+b的取值范圍.

通過轉化，問題迎刃而解. 利用不等式求取值范圍，將等量關系等價轉化為不等關系是解決本題的關鍵，體現了數學等價轉化思想. 當然，應用基本不等式求解時要注意公式的適用條件，切勿忽視條件而盲目套用，那樣很可能擴大或縮小取值范圍，從而造成錯誤.

2. 函數法

函數是高中數學教學的重點內容，與其他知識緊密相連，涉及的知識面更為廣闊，靈活性更高，因此教師要多鼓勵和引導學生從函數的角度進行知識建構. 本題是一道關于二元函數值域的問題，根據已知的等量關系可以將二元函數轉化為一元函數，即求一元函數的值域.

本題求解時抓住了已知條件中的等量關系，實現了二元函數的消元目的，體現了函數與方程思想方法，利用求導的思路求函數的值域，更體現了其一般性. 不過因為求導的綜合性高，解題靈活，對學生的思維能力要求較高，加之沒有具體的格式進行套用，因此對于基礎知識掌握較薄弱的學生來講，利用求導的思路來探索函數的值域問題容易感到不適和茫然，所以教學中教師可以運用簡單的問題進行引導，消除這部分學生的心理障礙，提升他們的綜合運用能力.

3. 構造法

構造法在數學教學中的應用較廣泛，是一種重要的思想方法，若在解題時難以應用正向思維求解，可以嘗試挖掘題設和結論中的潛在信息，構造出與之相關的函數、方程、等差數列、向量等，從新的角度去觀察和分析，從而使隱含的關系和性質通過新內容清晰地涌現出來，這樣往往可以迅速形成解題思路. 同時構造法更為靈活，更能檢驗學生的數學思維能力，更能彰顯數學魅力.

解法6：由ab=a+b+3得a+b=ab－3. 因為a，b為正實數，所以ab－3為正實數. 關于x的一元二次方程x2－（ab－3）x+ab=0有正實數根，所以Δ=（ab－3）2－4ab≥0，ab>0，ab－3>0，解得ab≥9.

從不同的角度進行觀察，嘗試應用不同的方法進行知識建構，體現了思維的靈活性. 在應用構造法時，要充分挖掘題設和結論的內在聯系，牢牢抓住結構特征巧妙地進行知識建構. 比如解法4，充分利用了已知條件的結構特點，將等量關系轉化為（a－1）（b－1）=4，構造出了可以利用均值不等式取“定值”的條件. 解法5對等量關系的處理和解法4相同，根據結構特點巧妙地應用了換元方法，使問題實現了合理的遷移. 后面又結合結構特征構造了一元二次方程和等差數列，解題方法靈活多變，解題思路在交流與合作中得到了有效拓展.

雖然在本題求解的過程中大多數學生習慣應用基本不等式，但該方法在實施時往往會受到很多限定條件的阻礙，因此其并非解答此類題目的通法. 其實，在解答類似的題目時，從函數的角度出發，通過消元進行轉化更為通用，雖然在求解的過程中學生會感覺有些不適，但教師要重視通法的練習，這往往是提高學生解題能力的關鍵. 在實踐過程中，教師要引導學生對通法和特殊方法進行甄別，對比不同解法的優缺，最終實現解題方法的優化和解題能力的提升.

教學反思

教學中，從學生的認知出發，立足不同的視角，通過鼓勵和啟發引導學生對問題進行再思考、再探究，從而形成了多種解題方法，讓學生收獲更多，為今后的數學教學和解題指明了方向.

解題教學中不僅要關注解題結果還要重視解題過程，要為學生提供一定的時間和空間開展探究性學習，通過探究過程所暴露出來的問題進行有效的啟發、交流和討論，實現優勢互補，提升學生發現和解決問題的能力. 同時，教學中除了要關注過程和結果外，還要重視數學思想方法的提煉，引導學生把握問題的本質，進而將知識學懂吃透，實現知識的融會貫通. 另外，為了提高解題效率，掌握一些解題技巧是有必要的，但數學題目是多變的，解題技巧往往存在一定的局限性和偶然性，因此應該讓通法成為解題教學的主旋律，進而讓學生擁有以不變應萬變的能力.

總之，學生學習能力的提升往往需要長期的堅持和不懈的努力. 教學中教師不要急于求成，應從學生的角度出發進行多視角啟發和全方位引導，從而讓學生分析和解決問題的能力在自主探究中不斷提升.

作者簡介：方芳（1991—），碩士研究生，中學一級教師，從事高中數學教學工作.