新課標(biāo)下初中數(shù)學(xué)培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新思維研究

田龍

【摘要】文章闡述了《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》與學(xué)生創(chuàng)新思維培養(yǎng)的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，分析了初中數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該重點(diǎn)培養(yǎng)學(xué)生形成的三種創(chuàng)新思維，分別是“轉(zhuǎn)向發(fā)散”思維、“原型啟發(fā)”思維和“聯(lián)想嘗試”思維.在此基礎(chǔ)上，文章提出了四種具體的學(xué)生創(chuàng)新思維培養(yǎng)方式，即遴選“答案唯一、解題方法多種”的題目，引導(dǎo)學(xué)生深度思考；向?qū)W生滲透“大膽創(chuàng)新、言之成理”的思維理念，避免陷入思維定式；在數(shù)學(xué)題目求解過程中運(yùn)用思維導(dǎo)圖、程序框圖，分步驟延伸思維創(chuàng)新；建立“錯(cuò)題回顧、創(chuàng)新思考”的學(xué)習(xí)機(jī)制，促進(jìn)學(xué)生形成正確數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法；以供參考.

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué)；創(chuàng)新思維；培養(yǎng)

引 言

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡(jiǎn)稱“新課標(biāo)”）的核心理念是“人人都能獲得良好的數(shù)學(xué)教育，不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展”.相較于《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》，新課標(biāo)提出了九個(gè)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，其中的“數(shù)據(jù)觀念”“推理能力”“模型觀念”“空間觀念”“應(yīng)用意識(shí)”等均蘊(yùn)含著相同的信息———注重培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力，使學(xué)生能夠靈活、正確地利用所學(xué)的基礎(chǔ)數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題.在實(shí)際教學(xué)中，初中數(shù)學(xué)教師必須明確，思維能力的培養(yǎng)實(shí)際上可分兩個(gè)階段進(jìn)行，其一，打牢基礎(chǔ)；其二，合理創(chuàng)新.總體來說，思維的創(chuàng)新不是天馬行空般的無根據(jù)想象，而是建立在嚴(yán)謹(jǐn)邏輯基礎(chǔ)上的靈活總結(jié).明確此點(diǎn)，初中數(shù)學(xué)教師的教學(xué)水平會(huì)大幅度提升.

一、新課標(biāo)下初中數(shù)學(xué)培養(yǎng)學(xué)生三種創(chuàng)新思維

（一）“轉(zhuǎn)向發(fā)散”思維

在新課標(biāo)下，初中數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該培養(yǎng)學(xué)生形成的創(chuàng)新思維中，“轉(zhuǎn)向發(fā)散”思維最具實(shí)用價(jià)值.一些學(xué)生在求解數(shù)學(xué)問題的過程中，經(jīng)常陷入思維定式，一旦通過常規(guī)方法（即給出已知條件，按照公式、定理求解其他未知項(xiàng)）無法有效求解問題答案時(shí)，他們很難產(chǎn)生其他解題思路.這種表現(xiàn)實(shí)際上便是“思維單一”的具象呈現(xiàn).面對(duì)這種情況，教師應(yīng)該幫助學(xué)生轉(zhuǎn)換思考方式，嘗試其他的解題思路，即“將思維沿著其他方向發(fā)散”.其中的道理類似于：眾所周知，在生活中，紅酒必須密封儲(chǔ)存，一旦滲入空氣，紅酒內(nèi)部組分便會(huì)發(fā)生變化，口感會(huì)大幅度下降.因此，密封紅酒的方法是使用橡木塞封堵瓶口.常規(guī)的紅酒開瓶方法是將專用的螺旋開瓶器“擰入”橡木塞，待達(dá)到一定深度后，向外用力拉拽開瓶器，進(jìn)而將橡木塞從瓶口處帶出，此時(shí)便可將紅酒從瓶中向外倒出.但有些橡木塞制作工藝較差，或是由于開瓶器擰入方向出現(xiàn)偏差，導(dǎo)致橡木塞的完整性被破壞，無法完整地從瓶口向外拔出.初中學(xué)生遇到某些難以求解的數(shù)學(xué)問題時(shí)，恰似“開紅酒時(shí)遇到橡木塞從中間斷裂，難以倒出紅酒”的情形.在常規(guī)解決方法無法奏效的情況下，只有轉(zhuǎn)變思考方向，另辟蹊徑，才能求解出問題答案.可轉(zhuǎn)變的思路是：其一，既然已經(jīng)無法向外拔出橡木塞，那么不如將橡木塞向內(nèi)“捅掉”.原因在于，橡木塞“卡”在瓶頸處是導(dǎo)致紅酒無法倒出的根本原因，那么只要使橡木塞“不再卡住瓶頸”，問題便可得到解決.其二，在“向外拔出橡木塞”“向內(nèi)捅掉橡木塞”都行不通的情況下，通過特定方式將瓶口連帶瓶頸全部敲掉也是一種解決問題的思維方式，只不過這顯得“過于特殊”而已.總體而言，初中數(shù)學(xué)教師基于這種“轉(zhuǎn)向發(fā)散”思維培養(yǎng)學(xué)生的思考方式，可以避免學(xué)生陷入思維定式，進(jìn)而在求解數(shù)學(xué)問題時(shí)更加靈活、多變，產(chǎn)生出其不意的效果.

（二）“原型啟發(fā)”思維

筆者在長(zhǎng)年從事初中數(shù)學(xué)一線教學(xué)的過程中發(fā)現(xiàn)一個(gè)現(xiàn)象，有一類學(xué)生的邏輯思維敏銳程度相對(duì)較低，具體體現(xiàn)在：對(duì)于某些公式、定理并不存在較大的理解難度，但如果教師進(jìn)行“常規(guī)描述”時(shí)，他們就很難理解.如果教師轉(zhuǎn)換一種講解方式，以現(xiàn)實(shí)生活中的事物作為載體，進(jìn)而總結(jié)出數(shù)學(xué)邏輯關(guān)系時(shí)，這類學(xué)生就能夠輕松理解且自主“逆向推導(dǎo)”，實(shí)現(xiàn)對(duì)“常規(guī)描述”的理解.比如，在學(xué)習(xí)“平面內(nèi)線與線的關(guān)系”等知識(shí)時(shí)，有關(guān)“第三條線平行判斷”的常規(guī)描述是在同一個(gè)平面內(nèi)，如果兩條直線均與第三條直線平行，那么這兩條直線也平行.對(duì)于思維敏銳程度較高的學(xué)生來說，這一推論并不難理解.原因在于，思維敏銳程度較高的學(xué)生對(duì)構(gòu)成“平行”關(guān)系的核心條件具有根深蒂固的理解和記憶———在同一平面中，如果兩條直線始終沒有交點(diǎn)，那么這兩條直線便具有平行關(guān)系.直線的特點(diǎn)是可以“無限延長(zhǎng)”，在無窮盡的長(zhǎng)度內(nèi)都沒有任何交點(diǎn)，那么兩條直線便永遠(yuǎn)無法交匯，這樣的關(guān)系便是平行關(guān)系.基于這個(gè)道理代入思考“第三條線平行關(guān)系”時(shí)，思維敏銳程度較高的學(xué)生便可較為輕松地完成理解.但對(duì)于思維敏銳程度較低的學(xué)生來說，由于理解與判定“兩條直線平行”關(guān)系時(shí)基礎(chǔ)不牢，難以做到思維延伸，其在學(xué)習(xí)新知識(shí)時(shí)便會(huì)產(chǎn)生吃力感.針對(duì)這種情況，教師可以啟發(fā)學(xué)生思考“原型事物”.比如，教室都設(shè)有窗戶，窗戶的上下邊框、中間框便具有平行關(guān)系.教師需要引導(dǎo)學(xué)生將“第三條線平行關(guān)系”轉(zhuǎn)化為“窗戶框平行定理”.當(dāng)事物基于視覺系統(tǒng)映入學(xué)生腦海時(shí)，學(xué)生的理解難度會(huì)降低，思維會(huì)得到啟發(fā)，這是一種能夠提高學(xué)生學(xué)習(xí)效果的有效方式.

（三）“聯(lián)想嘗試”思維

創(chuàng)新思維是一個(gè)相對(duì)性的概念，“相對(duì)”是指思維的發(fā)散方向———朝著“未知”發(fā)散固然屬于創(chuàng)新，朝著“已知”開展“回顧性發(fā)散”同樣屬于創(chuàng)新.比如，在求解幾何問題時(shí)，從“基于已知幾何關(guān)系求解幾何圖形面積”的常規(guī)求解方法向“轉(zhuǎn)化已知條件，進(jìn)而將需要求解的問題轉(zhuǎn)化成其他問題，降低求解難度”的方向轉(zhuǎn)化，是一種創(chuàng)新思路，這需要建立在學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)有充分了解的基礎(chǔ)上.除此之外，在教學(xué)進(jìn)展至一定階段時(shí)，教師還應(yīng)該帶領(lǐng)學(xué)生站在較高的思維視域，重新回顧基礎(chǔ)知識(shí)，加深對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的理解，這有可能使學(xué)生“靈光乍現(xiàn)”，解決困擾其多時(shí)的問題.筆者將這種創(chuàng)新思維方式總結(jié)為“聯(lián)想嘗試”思維.教師將這種思維方式適當(dāng)滲透在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，能夠從根本層面解決很多難以量化的問題.比如，一些學(xué)生在學(xué)習(xí)方程式有關(guān)知識(shí)時(shí)感到十分吃力，根本原因在于其思考問題、解決問題的思路依然停留在小學(xué)階段的“直來直往”框架中，主觀地對(duì)“已知條件”“未知條件”設(shè)置邊界.在思維無法成功“轉(zhuǎn)彎”的情況下，教學(xué)便難以推進(jìn).筆者認(rèn)為，方程的本質(zhì)是“不考慮條件是否已知，從邏輯轉(zhuǎn)化關(guān)系角度著手，以表達(dá)式的方式模擬出相關(guān)條件之間的邏輯關(guān)系”.基于這種思維方式，教師將已知條件（具體數(shù)值）、未知條件（以x，y等表示）全部納入一個(gè)或多個(gè)等量轉(zhuǎn)化關(guān)系式之中，進(jìn)而將以字母表示的未知條件求解而出，便可得到問題的答案.在這種思維的影響下，問題的求解過程不再“固定化”，而是更加“靈活化”，這會(huì)使學(xué)生的思維視域得到提升，對(duì)學(xué)生的成長(zhǎng)大有益處.

二、新課標(biāo)下初中數(shù)學(xué)培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新思維的有效方式

（一）遴選“答案唯一、解題方法多種”的題目，引導(dǎo)學(xué)生深度思考

上文提到，創(chuàng)新必須建立在一定基礎(chǔ)條件之上，漫無目的地創(chuàng)新屬于“瞎想”，其能夠取得的效果十分有限.不僅如此，對(duì)于很多初中學(xué)生而言，由于對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)掌握得不夠牢固，在運(yùn)用方面缺乏靈活性，其數(shù)學(xué)成績(jī)始終無法更進(jìn)一步（主要表現(xiàn)為遇到中等難度以下的問題時(shí)，均具有明確的解題思路，通過分析題設(shè)條件與問題之間的邏輯關(guān)系，代入公式，計(jì)算后可成功求解；遇到較高難度問題時(shí)，常規(guī)解題思路受限，難以想到其他方法，導(dǎo)致問題無法成功求解）.針對(duì)這類問題，初中數(shù)學(xué)教師需要開展專題培訓(xùn)，精心挑選一些答案具有唯一性，但解題方法、解題思路不止一種的題目，引導(dǎo)學(xué)生掌握多種“倒紅酒”的方法.比如，現(xiàn)有兩個(gè)連續(xù)正奇數(shù)，乘積是323，求這兩個(gè)數(shù)的具體值.解題思路是“根據(jù)已知條件的關(guān)系，將一個(gè)條件設(shè)置成‘以另一個(gè)條件表達(dá)的方式，代入求解”.比如，兩個(gè)連續(xù)的正奇數(shù)之間的差值必定是2，那么設(shè)置較小的奇數(shù)為x，較大的奇數(shù)便是（x+2），表達(dá)式便是x（x+2）=323，轉(zhuǎn)化為一元二次方程后代入公式計(jì)算，可求出兩個(gè)奇數(shù)分別是17，19.基于這種思路的另一種解題方式為設(shè)x為一個(gè)正整數(shù)（對(duì)應(yīng)條件正奇數(shù)），那么基于x表示兩個(gè)連續(xù)的正奇數(shù)，可以表示為2x-1和2x+1，表達(dá)式為（2x-1）（2x+1）=323，將等式簡(jiǎn)化后得到4x2-1=323，進(jìn)一步簡(jiǎn)化后得到x2=81，求解出x的具體值為9，之后代入2x-1和2x+1，即可得到兩個(gè)連續(xù)正奇數(shù)的值為17和19.上述題型的解題思路十分明確，但在具體設(shè)置未知項(xiàng)的過程中可以靈活多變.在教學(xué)過程中，教師可以引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行多種嘗試，之后自主總結(jié)每一種解題方法中可能遇到的問題，這對(duì)發(fā)散、創(chuàng)新學(xué)生思維能夠發(fā)揮積極作用.

（二）向?qū)W生滲透“大膽創(chuàng)新、言之成理”的思維理念，避免陷入思維定式

數(shù)學(xué)學(xué)科之所以能夠吸引很多初中學(xué)生的注意力，其中一個(gè)關(guān)鍵原因是數(shù)學(xué)解題過程充滿趣味性，數(shù)字在不經(jīng)意之間便有可能呈現(xiàn)“游戲性”，進(jìn)而成為促進(jìn)學(xué)生思考的原動(dòng)力.比如，學(xué)生在計(jì)算某些數(shù)學(xué)題目時(shí)，按照公式求解出正確答案之后，有時(shí)會(huì)突發(fā)奇想———將題設(shè)條件中的數(shù)值使用一種“非公式且簡(jiǎn)單”的方法完成計(jì)算之后，得出的答案與正確答案相同.于是有些學(xué)生便會(huì)向教師詢問這種解題過程是否具有可行性.筆者認(rèn)為，當(dāng)出現(xiàn)這種情況時(shí)，初中數(shù)學(xué)教師不能直接給出“可行”或是“不可行”的結(jié)論，而是應(yīng)該以此作為難得的教學(xué)機(jī)會(huì)，鼓勵(lì)學(xué)生大膽思考，大膽創(chuàng)新，而不是“一遇到題目便希望通過代入公式的方式完成求解”.但需要注意，大膽思考、大膽創(chuàng)新的前提是必須合理，必須呈現(xiàn)嚴(yán)謹(jǐn)性和合理性.如果這一條件不成立，那么求解過程可能只是巧合，不具有普適性，無法廣泛運(yùn)用.

（三）在數(shù)學(xué)題目求解過程中運(yùn)用思維導(dǎo)圖、程序框圖，分步驟延伸思維創(chuàng)新

筆者在教學(xué)過程中還發(fā)現(xiàn)一個(gè)現(xiàn)象，很多初中學(xué)生思維雖然敏捷，但由于學(xué)習(xí)方法存在瑕疵，其思考問題時(shí)經(jīng)常出現(xiàn)“遺漏”.在思考方向出現(xiàn)偏差之后，最終結(jié)果與正確答案之間可能南轅北轍.從另一個(gè)角度來看，這種現(xiàn)象也可以作為絕佳的創(chuàng)新思維培養(yǎng)契機(jī)———既然問題出現(xiàn)在“思維遺漏”方面，那么可以使用思維導(dǎo)圖、程序框圖等方法，將求解問題的思路逐步呈現(xiàn)，并在每一個(gè)環(huán)節(jié)的連接之處畫出指引箭頭，這可幫助學(xué)生有效避免再度出現(xiàn)“遺漏”的現(xiàn)象.這種方法類似于很多刑偵破案，負(fù)責(zé)偵破案件的刑偵人員在缺乏頭緒的情況下，會(huì)將偵破過程中發(fā)現(xiàn)的所有線索逐一列舉出來，之后逐一尋找（思考）多條線索之間是否存在某種關(guān)聯(lián).通過這種方式，刑偵人員可以逐漸理清案件偵破方向.在數(shù)學(xué)題目求解的過程中，教師可以引導(dǎo)學(xué)生嘗試使用這種方法.具體而言：其一，列出需要求解的最終項(xiàng).其二，將題目中給出的已知條件逐一列出.其三，在最終求解項(xiàng)與已知條件之間畫出連接線，并在連接線附近寫出如果需要通過當(dāng)前條件求解最終答案還需要哪些輔助條件.其四，如果輔助條件與其他已知條件相同或存在一定關(guān)聯(lián)，那么在這些條件之間畫出連接線；如果所有已知條件都不是輔助條件，那么應(yīng)證明輔助條件是“必須首先求解出的未知重要條件”.其五，圍繞如何求解出“未知重要條件”進(jìn)行思考，再次回顧已知條件，從而逐漸理清解題過程.

（四）建立“錯(cuò)題回顧、創(chuàng)新思考”的學(xué)習(xí)機(jī)制，促進(jìn)學(xué)生形成正確數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法

學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中，不可能一次錯(cuò)誤都不犯，而且導(dǎo)致解題錯(cuò)誤的原因多種多樣，有時(shí)是因?yàn)閷?duì)基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)的理解和記憶不到位，有時(shí)是因?yàn)榇中拇笠猓瑳]有審清題目.總體來看，不同的學(xué)生個(gè)體在“犯錯(cuò)”方面均存在很大的差異性，需要一種創(chuàng)新方式加以解決.教師可采用的方式是建立“錯(cuò)題回顧創(chuàng)新思考”學(xué)習(xí)機(jī)制.具體而言，教師可要求學(xué)生準(zhǔn)備一個(gè)錯(cuò)題本，在每一次練習(xí)、考試后，將錯(cuò)題、錯(cuò)誤解題思路、錯(cuò)誤解題步驟、錯(cuò)誤答案逐一寫在錯(cuò)題本上.以此為基礎(chǔ)，學(xué)生還應(yīng)寫出產(chǎn)生錯(cuò)誤的原因、再次遇到相同題目時(shí)應(yīng)該在哪些方面予以重視，以達(dá)到避免犯相同錯(cuò)誤的目的.教師通過這種創(chuàng)新方式，可以促進(jìn)學(xué)生掌握正確的學(xué)習(xí)方法，這對(duì)學(xué)生的成長(zhǎng)大有裨益.

結(jié) 語

綜上所述，“創(chuàng)新”不是毫無根據(jù)、漫無目的地胡思亂想，而是在基礎(chǔ)牢固之上，以“解決問題”為出發(fā)點(diǎn)，對(duì)解題過程進(jìn)行梳理，最終總結(jié)出更具靈活性、更不容易出錯(cuò)的解題方法.初中數(shù)學(xué)教師應(yīng)以新課標(biāo)為參照，在日常教學(xué)工作中加強(qiáng)對(duì)學(xué)生的思維引導(dǎo)，使學(xué)生能夠積極發(fā)散思維，朝著正確的方向思考、回顧，最終掌握正確的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法.當(dāng)學(xué)生真正具備這種優(yōu)質(zhì)學(xué)習(xí)能力時(shí)，既可以在當(dāng)下提高數(shù)學(xué)及其他學(xué)科的學(xué)習(xí)成績(jī)，又可以為終身學(xué)習(xí)、終身成長(zhǎng)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，最終成為國(guó)家發(fā)展建設(shè)急需的復(fù)合型人才.

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