高中生數學抽象素養現狀的測評研究與分析

汪留嶼

【摘 要】《普通高中數學課程標準（2017年版）》指出，高中數學課程以學生發展為本，落實立德樹人根本任務，培育科學精神和創新意識，提升數學學科核心素養。數學抽象作為六個數學學科核心素養之一，不僅在很大程度上反映了數學學科核心素養的整體水平，而且直接影響其他數學核心素養的發展。為了研究高中生數學抽象素養的現狀和影響因素，文章通過設計測評框架、編制測評試題、實施測評環節、分析測評結果、形成研究結論五個步驟對南通市T校343名學生進行測評，最后得到有關數學抽象素養的研究結論。

【關鍵詞】核心素養；數學抽象；數學教學

一、引言

為應對21世紀教育面臨的挑戰，國際21世紀教育委員會向聯合國教科文組織提交了報告《教育——財富蘊藏其中》，這個報告首次提出了四個“學會”，即學會認知、學習做事、學會共處、學會成為自己，這四個“學會”為21世紀的人才培養提供了方向［1］。2014年，教育部頒布了《關于全面深化課程改革 落實立德樹人根本任務的意見》（以下簡稱《意見》），《意見》提出要研究制定學生發展核心素養體系和學業質量標準，把對學生的發展要求具體化，深入回答“培養什么人、怎樣培養人”的問題［2］。因此，無論是聯合國教科文組織，還是我國教育部，都提出要培養適合時代需求的人才?！兑庖姟愤€把具體人才的培養轉化為核心素養的培養，具體到各個學科及各個學段，研究核心素養已成為時代主題?！镀胀ǜ咧袛祵W課程標準（2017年版）》（以下簡稱《課程標準（2017年版）》）把數學學科核心素養分為六個部分：數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算和數據分析。這六個核心素養既相互獨立，又相互交融，但六個數學核心素養之間的關系怎樣？彼此地位如何？這里并沒有明確說明。

《課程標準（2017年版）》指出，數學抽象是指通過對數量關系和空間形式的抽象，得到數學研究對象的素養，主要包括從數量與數量關系、圖形與圖形關系中抽象出數學概念及概念之間的關系，從事物的具體背景中抽象出一般規律和結構，并用數學語言予以表征［3］?？梢姡瑪祵W抽象素養能夠反映數學的本質特征。張淑梅等人通過對2016年教育部普通高中數學課程標準測評組有關專家編制的七套試卷的測評結果進行分析，發現六大核心素養之間具有顯著的相關性，數學抽象作為基礎素養，直接影響其他數學核心素養的水平［4］?？梢哉f，數學抽象的水平在很大程度上能夠體現數學核心素養的整體水平，因此在六個數學核心素養中，地位顯著，研究意義突出。

目前，對數學抽象的研究主要分為以下四個方面：（1）數學抽象與課堂教學的融合；（2）數學抽象的培養與提升；（3）數學抽象的內涵分析及水平劃分；（4）數學抽象的測評研究。其中，研究最多的是前兩種，后兩種由于理論知識缺乏、實際操作困難等原因研究不多。尤其是對數學抽象的測評研究，由于各地區、各學段、各年級學生的所學內容和知識水平不一，因此在相關試題的編制上難度很大、研究較少，研究結論也難以統一。本文嘗試通過研究分析數學抽象素養的具體表現，并進行差異性分析，形成研究結論，為一線教師提供教學建議。

二、研究設計

（一）研究方法

本研究采用質性研究和量化研究相結合的研究方法。質性研究是通過搜索中國知網等數據庫查閱與數學抽象素養有關的文獻資料，進而設計數學抽象素養的測評框架；量化研究是采用限時閉卷測驗的方式測評高中生的數學抽象素養，并對測試結果進行編碼、統計和分析，從而得到研究結論。

（二）研究對象

本研究選擇南通市某中學的學生作為研究對象，共計343人，具體見表1。

（三）研究工具

1.高中生數學抽象素養測評框架

研究根據《課程標準（2017年版）》設計測評框架，將數學抽象素養分為三個水平，從“情境與問題”“知識與技能”“思想與方法”“交流與表達”四個認知維度來劃分數學抽象素養，并對其中的部分內容進行修改和詮釋（見表2）。

2.高中生數學抽象素養試題編制

試題主要從高一所學的知識中進行篩選，考查內容及來源見表3。預測試的結果表明，學生普遍在“交流與表達”的試題中表現較差，難以有效檢測，因此，正式測試只測試前三個維度，具體情況見表4。

三、測試結果統計與分析

（一）試卷信度和效度分析

本研究運用SPSS軟件，對343份有效試卷在4道測試題（共9道小題）中所得分數進行信度和效度分析。由于數學抽象本身是一個比較抽象的概念，在測試時難免會存在測量不到位的情況，因此在信度和效度上的要求應略低于一般問卷。研究采用[α]信度系數來分析整個試卷內部一致性信度，試卷總得分的信度系數為0.709，大于0.7，信度良好，說明測試結果具有較強的可靠性。

此外，研究還利用SPSS軟件進行因子分析，選擇KMO和Bartletts檢驗，可以得出顯著性水平為0.000，小于0.05，同時KMO的值為0.734，大于0.7，說明問卷的結構效度良好。

（二）數學抽象素養總體分析

本次測試卷總分40分，經統計，T校343名高中生總平均分為24.20分，得分率為60.5%。對學生的具體得分情況進行統計分析，試卷總分40分，以總分的[1/4]，[1/2]，[3/4]作為分界線，分為0—10、11—20、21—30、31—40四組（如圖1）。其中，有36.44%的學生得分在31分及以上，有27.99%的學生得分在21分到30分之間，有28.57%的學生得分在11分到20分之間，有7.00%的學生得分在10分及以下。因此，在本次高中生數學抽象測試中，有超過[1/3]的學生得分表現優秀，僅有不到[1/10]的學生得分表現很差，總體表現不錯。

由于各題總分設置有所不同，因此本研究在各題具體分數后還添加了得分率，即平均得分除以滿分分數再乘以100%（如圖2）。

從圖中可知，得分率最高的三道題分別是第四題第一問、第四題第二問和第一題第二問，而這三小問都在水平一中，可見，學生對水平一的內容掌握較好。而得分率最低的三道題分別是第四題第四問、第四題第三問和第三題第二問，而這三小問都在水平三中，可見，學生對水平三的掌握較弱。因此，這基本符合學生的學習情況，也從側面說明了測評框架的合理性。

根據統計結果，本研究進一步分析高中生數學抽象素養各水平及各維度上的具體表現。

從表5可以發現，有78.75%的學生達到水平一，有64.64%的學生達到水平二，有40.64%的學生達到水平三，總體表現不錯。

從表6可以發現，被測試學生維度一（情境與問題）得分率為68.54%，維度二（知識與技能）得分率為72.50%，維度三（思想與方法）得分率為39.54%。其中，維度二的得分率最高，說明學生對基本知識技能掌握得很好；維度三的得分率最低，說明學生對思想方法的理解不足。

總的來說，T校絕大多數學生的數學抽象素養都達到了水平一的程度，還有一小部分學生的數學抽象素養達到了水平三的程度，學生對基本知識的掌握較好，對思想方法的理解較弱，總體表現不錯。

（三）高中生數學抽象素養的差異分析

1.高中生數學抽象素養的年級差異分析

研究選擇T校高一創新班72人，高二創新班68人進行測試，高一創新班總均分為29.59分，高二創新班總均分為30.65分，差距不大，對兩個班級在各水平及各維度上的得分進行均值比較。

從表7可以發現，高二創新班在各水平的平均分均高于高一創新班，但差距很小。

從表8可以發現，高二創新班在維度一（情境與問題）上的得分高于高一創新班，但在維度二（知識與技能）和維度三（思想與方法）上的得分都較低，這說明高二學生在新情境中解決問題的能力較強，但在基礎知識和基本方法上的掌握程度較低，可能和復習迎考有關。

為了探究不同年級學生在數學抽象素養上的表現是否具有顯著性差異，對其進行顯著性檢驗（見表9）。

從表9可以發現，水平一的P值等于0.313，水平二的P值等于0.895，水平三的P值等于0.206，均大于0.05，故各水平上不存在顯著性差異。維度一的P值等于0.000，維度二的P值等于0.015，存在顯著性差異，維度三的P值等于0.776，無顯著性差異?？偟膩碚f，可以認為高一、高二學生數學抽象素養的水平不存在顯著性差異，但高一學生對基礎知識的掌握更好，高二學生對問題情境的處理更強。

2.高中生數學抽象素養的性別差異分析

研究選擇T校女生169人與男生174人進行測試，女生的總平均分為21.21分，男生的總平均分為27.02分，對男女生在各水平及各維度上的得分進行均值比較。

從表10可以發現，男生在各水平上的平均分均高于女生，隨著水平的升高，差距逐漸增大。

從表11可以發現，男生在各維度上的平均分均高于女生，維度一（情境與問題）差距較大，維度二（知識與技能）和維度三（思想與方法）差距不大，這說明男生在新情境中處理問題的能力較強。

為了探究不同性別學生在數學抽象素養上的表現是否具有顯著性差異，對其進行顯著性檢驗（見表12）。

從表12可以發現，三個水平和三個維度的P值均小于0.05，故存在顯著性差異。因此，可以認為不同性別高中生的數學抽象素養存在顯著性差異，男生的數學抽象素養更高，尤其擅長從新情境中解決問題。

3.高中生數學抽象素養的文理差異分析

研究根據T校文理生比例選擇高二理科班（以下簡稱理科班）133人與高二文科班（以下簡稱文科班）70人進行測試，理科班總平均分為21.91分，文科班總平均分為16.54分，對文理生在各水平及各維度上的得分進行均值比較。

從表13可以發現，理科班學生在各水平上得分均高于文科班學生，隨著水平的升高，優勢更加明顯。

從表14可以發現，理科班在各維度上得分均高于文科班，在維度一（情境與問題）上差距最大，在維度三（思想與方法）上差距最小。這說明理科生在新情境中解決問題的能力較強，而在思想方法的理解上，文理生差異較小。

為了探究文理科學生在數學抽象素養各個水平及維度上的表現是否具有顯著性差異，對其進行顯著性檢驗。研究發現，水平一P值大于0.05，水平二和水平三的P值均小于0.05，因此，文理科學生在水平二和水平三上存在顯著性差異。維度一和維度二的P值均小于0.05，維度三的P值大于0.05，因此，文理科學生在維度一和維度二上存在顯著性差異?？偟膩碚f，文理科高中生在數學抽象素養上的表現存在顯著性差異，理科生對基本知識的掌握和處理問題情境的能力更強。

四、研究結論及教學建議

（一）研究結論

1. T校高中生數學抽象素養整體情況良好，絕大多數學生的數學抽象素養達到水平一，其中將近[13]的學生能夠達到水平三。

2.高一、高二學生的數學抽象素養不存在顯著性差異，兩者對思想與方法的理解程度接近，高一學生對基礎知識的掌握更好，高二學生在新情境中處理問題的能力更強，這可能和高二學生復習備考、知識遺忘有關，總體差異較小。

3.高中男女學生的數學抽象素養存在顯著性差異，男生數學抽象素養的平均水平明顯高于女生，尤其是處理新情境問題的能力優勢顯著。

4.高中文理科學生的數學抽象素養存在顯著性差異，選修物理的理科生數學抽象素養的平均水平明顯高于選修歷史的文科生，尤其是對基本知識的掌握和處理新問題情境的能力，理科生優勢明顯，這或許和理科生中男生比例較大有關。

（二）教學建議

1.圍繞核心素養，制訂教學目標

研究結論表明，高一、高二學生的數學抽象素養不存在顯著性差異，盡管高二學生存在知識遺忘或備考復習等情況，但依然表明學生在經歷了一年的學習后，數學抽象素養并沒有得到較大提升。

數學學科核心素養是數學課程目標的重要內涵，形成于數學學習的整個過程中，具有階段性、連續性、整合性等特點。不同于具體數學知識的教學，數學學科核心素養的培養不依賴于某幾節課的教學，而是滲透在整個高中教學過程中，而且難以在短期內實施有效評價。因此，數學教師在設計教學前，必須深入理解數學學科核心素養的具體內涵、價值及表現，明晰六個數學學科核心素養在不同水平及不同維度上的大體要求。數學教師要結合特定的教學任務，把握數學學科核心素養與具體教學內容的聯系，思考相應數學學科核心素養在教學中的生長點，并據此制訂教學目標，包括章節目標、單元目標乃至課堂目標，明確這些目標對實現數學學科核心素養的貢獻。如制訂函數章節的教學目標時，除了知識技能與思想方法層面，還需讓學生在理解函數概念和性質的過程中提升數學抽象素養，在解決數形結合問題時提升直觀想象素養，在實現函數、方程及不等式的轉化中提升邏輯推理素養，在解決實際問題的過程中提升數學建模和數學運算素養等。

2.關注學生特點，改進教學模式

研究結論表明，學生數學抽象素養的水平受多個因素影響，例如與性別、選科等因素都有關系。男生數學抽象素養的平均水平高于女生，尤其擅長處理新情境問題，選修物理的學生數學抽象素養的平均水平高于選修歷史的學生，對基礎知識的掌握更好。

在新高考模式下，除了傳統意義上以成績區分班級差異，性別、選科、組合等也成為極具參考意義的因素，而班級特點是開展一切教學活動的出發點。在設計教學前，數學教師需要認識班級間的差異，了解學生的學習起點，把握班級的學情特點，并以此作為選擇班級教學模式的依據。我們常用的數學教學模式包括以教師講解為主導的講授教學模式，以提出問題、啟發討論為核心的啟發式教學模式，以問題為線索貫穿課堂的問題解決教學模式和以提出問題、學生多途徑探究為主的探究教學模式等。盡管這些教學模式特色鮮明、理論豐富、操作清晰，但由于班級差異，教師在運用教學模式時還需稍加改進，要結合班級特點適當增加或減少某些環節和內容，以符合實際班情。如在導數的教學中，女生多的班級要適當增加情境的數量，降低問題的難度，多讓學生在處理問題過程中體會導數的含義，實現對導數概念的深入理解。

3.優化教學環節，深化思想方法

研究結論表明，學生在數學抽象維度三“思想與方法”上的表現最差，這說明，學生對數學思想的理解、對基本方法的掌握較弱，究其原因，一方面是數學思想方法本身抽象程度高，學習難度大；另一方面是由于數學教師在教學中重視程度不足，教學方法不佳。

數學思想與方法是人們對數學知識和方法形成的規律性的理性認識和基本看法，通常蘊含在數學概念、原理、命題的抽象過程及數學問題解決的過程中。數學思想方法是基于數學知識又高于數學知識的一種隱性知識，是一種高度抽象的產物，要在反復的體驗和實踐中才能使學生逐漸認識和理解，進而轉化為個體認知結構中的穩定成分。因此，數學思想方法的教學依賴于教師的教學設計，需要通過創造情境激發學習興趣，提出問題引發積極思考，開展活動促進深度探究，讓學生在整個學習過程中由淺入深、由表及里地逐步感受數學思想方法的內涵與價值，實現數學思想方法的內化。如在學習空間向量時，數學教師可以先創設情境引入空間向量的概念，接著提出問題“可以從哪些角度研究空間向量？”，激發學生思考，進而回憶平面向量的知識結構，最后開展活動“推廣空間向量的線性運算”，實現類比思想的教學與深化［5］。

參考文獻：

［1］滕珺. 21世紀核心素養 外國人怎么說［N］.中國教育報，2016-03-04（6）.

［2］教育部關于全面深化課程改革 落實立德樹人根本任務的意見［EB/OL］.（2014-03-30）［2022-10-12］http：//www.moe.gov.cn/srcsite/A26/jcj_kcjcgh/201404/t20140408_167226.html？pphlnglnohdbaiek.

［3］中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版）［M］.北京：人民教育出版社，2017.

［4］張淑梅，何雅涵，保繼光.高中數學核心素養的統計分析［J］.課程?教材?教法，2017（10）：50-55.

［5］汪留嶼.基于數學抽象的高中數學章節起始課教學設計：以“空間向量與立體幾何”為例［J］.中學教研（數學），2022（6）：30-34.

（責任編輯：陸順演）