淺析如何應(yīng)用數(shù)形結(jié)合開展有效的概念教學(xué)

作者簡(jiǎn)介：曹丹麗（1982—），本科學(xué)歷，小學(xué)高級(jí)教師，從事小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)與研究工作。

[摘? 要] 在小學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)中引入“數(shù)形結(jié)合”方式，有助于學(xué)生掌握概念的本質(zhì)，有助于發(fā)展學(xué)生的思維能力，有助于建立完善的概念體系。通過“數(shù)”與“形”的有機(jī)結(jié)合，能夠使學(xué)生對(duì)概念的理解更加清晰化、系統(tǒng)化，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)應(yīng)用、直觀想象等數(shù)學(xué)能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升。

[關(guān)鍵詞] 概念教學(xué);數(shù)學(xué)能力;數(shù)學(xué)素養(yǎng)

數(shù)學(xué)概念的理解與運(yùn)用是數(shù)學(xué)最本質(zhì)的內(nèi)容之一，其關(guān)系著學(xué)生思維能力的發(fā)展和解題能力的提升，值得引起師生的足夠重視。然而在實(shí)際教學(xué)中，部分教師追求結(jié)果教學(xué)，并不重視概念教學(xué)，在概念教學(xué)中常常是“蜻蜓點(diǎn)水”，不重視概念的形成和發(fā)展過程。教學(xué)中教師常常將文字內(nèi)容拋給學(xué)生后就進(jìn)行大量的強(qiáng)化練習(xí)，以期通過“練習(xí)”來深化對(duì)概念的理解。但是練習(xí)往往很難展示概念的方方面面，難以讓學(xué)生把握數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)，這樣勢(shì)必會(huì)影響概念的應(yīng)用。概念教學(xué)時(shí)教師可以采用數(shù)形結(jié)合的教學(xué)方式，將文字表征和圖形表征有機(jī)地結(jié)合起來，以此為學(xué)生提供感悟知識(shí)、理解概念的機(jī)會(huì)，幫助學(xué)生形成清晰的、豐富的表象特征，進(jìn)而形成關(guān)于數(shù)學(xué)概念本質(zhì)的心理表征，便于學(xué)生更好地理解概念、應(yīng)用概念。

不過，數(shù)形結(jié)合的教學(xué)方式在概念教學(xué)中并沒有得到廣泛的應(yīng)用，還存在幾個(gè)誤區(qū)：

首先，主觀上不重視數(shù)形結(jié)合。在功利教育的影響下，大多數(shù)教師只重視概念的定義教學(xué)，忽視了概念的形成過程，從而使學(xué)生的頭腦中缺乏概念形成的過程的表象和表征。這樣，學(xué)生雖然能夠?qū)⒏拍畋车脻L瓜爛熟，但是難以理解其真正的內(nèi)涵，而在沒有理解的情況下進(jìn)行死記硬背，學(xué)生對(duì)概念的記憶難以長(zhǎng)久，會(huì)影響概念的靈活應(yīng)用，最終影響解題效率。

其次，數(shù)與形的聯(lián)系不緊密。數(shù)與形本一家，但在教學(xué)中卻分而治之，從而使直觀圖形、概念表象、概念定義相分離，這樣就難以形成一個(gè)有機(jī)聯(lián)系的整體，難以實(shí)現(xiàn)不同形式之間的轉(zhuǎn)化，難以實(shí)現(xiàn)概念的深化。

再次，忽視概念的建構(gòu)過程。在教學(xué)中，部分教師會(huì)借助一些直觀的圖形或具體的操作讓學(xué)生獲得直觀感知，但沒有帶領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷概念的抽象過程，而是直接上升至概念的定義，這樣表面上看似乎帶領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷了概念的形成過程，但因缺乏由概念到定義的中介環(huán)節(jié)，使得前面的經(jīng)歷失效，學(xué)生難以真正形成概念的特征。

最后，不重視數(shù)形結(jié)合在概念鞏固、深化和運(yùn)用中的價(jià)值，從而使得學(xué)生對(duì)概念的表征停留在一個(gè)較低的水平。

那么如何在教學(xué)中合理地應(yīng)用數(shù)形結(jié)合來形成一個(gè)關(guān)于數(shù)學(xué)概念本質(zhì)的心理表征呢？筆者結(jié)合教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，談了幾點(diǎn)淺見，僅供參考！

一、借助數(shù)形結(jié)合，揭示數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)

在新課改的推動(dòng)下，大多數(shù)教師已開始關(guān)注過程教學(xué)的價(jià)值，在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中開展過程教學(xué)，便于學(xué)生在經(jīng)歷的過程中認(rèn)清數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)，建立恰當(dāng)?shù)男睦肀碚鳌Ｔ诮?jīng)歷的過程中，教師如果能夠?qū)⑿闻c數(shù)有機(jī)地結(jié)合在一起，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷數(shù)與形的轉(zhuǎn)化過程，定能達(dá)到事半功倍的效果。

比如，教學(xué)“質(zhì)數(shù)和合數(shù)”的概念時(shí)，筆者設(shè)計(jì)了如下的教學(xué)過程。

師：你們還記得自己的學(xué)號(hào)嗎？

生（齊聲答）：記得。

師：很好，你能寫出自己學(xué)號(hào)的所有因數(shù)嗎？（學(xué)生積極思考）

師：請(qǐng)1～12號(hào)的同學(xué)分別說一說。（教師讓學(xué)生按照學(xué)號(hào)順序依次作答）

生1：1。

生2：1、2。

生3：1、3。

生4：1、2、4。

……

（教師板書）

師：結(jié)合以上結(jié)果，請(qǐng)大家按照每個(gè)數(shù)的因數(shù)個(gè)數(shù)“分一分”，有哪幾種情況？（學(xué)生獨(dú)立思考后并交流）

生5：可以按照3種情況來分，有1個(gè)因數(shù)的：1;有2個(gè)因數(shù)的：2、3、5、7、11;有3個(gè)或3個(gè)以上因數(shù)的：4、6、8、9、10、12。

然后，教師讓學(xué)生進(jìn)行對(duì)比觀察，理解質(zhì)數(shù)和合數(shù)的概念。從以上教學(xué)過程來看，在問題引領(lǐng)下學(xué)生積極參與其中，進(jìn)行了友好的師生互動(dòng)。然而過一段時(shí)間后發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對(duì)概念遺忘得很快，在概念應(yīng)用時(shí)“張冠李戴”。出現(xiàn)這一現(xiàn)象的原因是由“數(shù)”到“數(shù)”的分析并沒有讓學(xué)生形成深刻的印象。可見，少了“形”的支撐，難以讓學(xué)生對(duì)質(zhì)數(shù)和合數(shù)概念的本質(zhì)形成清晰、深刻的認(rèn)識(shí)?；谝陨辖虒W(xué)環(huán)節(jié)，教師可以進(jìn)行一些教學(xué)改進(jìn)，讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)形結(jié)合建立概念的過程，從而通過“數(shù)”與“形”的結(jié)合來揭示概念的本質(zhì)。

改進(jìn)后的教學(xué)過程：

師：課前老師為大家準(zhǔn)備了一些小方塊，請(qǐng)你們用這些小方塊擺出長(zhǎng)方形或正方形，看看你們能得到幾種設(shè)計(jì)方案？

采用分組實(shí)驗(yàn)，七個(gè)小組分別領(lǐng)取的小方塊數(shù)量為4、5、7、9、11、12、24。

師：請(qǐng)各組將設(shè)計(jì)好的方案記錄到表1中。

各小組完成實(shí)驗(yàn)后，教師讓各小組匯報(bào)研究的成果。

第一組：4=4×1=2×2。

第二組：5=5×1。

第三組：7=7×1。

第四組：9=9×1=3×3。

第五組：11=11×1。

第六組：12=12×1=6×2=4×3。

第七組：24=24×1=12×2=8×3=6×4。

師：看來第七組最厲害，設(shè)計(jì)的方案最多，真了不起。（教師故意引發(fā)沖突）

生6：老師，這樣不公平，他們的小方塊的數(shù)量最多，當(dāng)然設(shè)計(jì)的方案也就最多了。

師：是嗎？小方塊的數(shù)量越多，設(shè)計(jì)的方案?jìng)€(gè)數(shù)也就越多嗎？

接下來學(xué)生進(jìn)行辯論，有的學(xué)生從奇數(shù)、偶數(shù)的角度去分析，有的學(xué)生從因數(shù)的個(gè)數(shù)角度去分析，課堂氣氛活躍。

師：大家所說的都有一定的道理，不過方案的多少到底和什么有關(guān)呢？如果讓你從46、59、36、32中任選一個(gè)數(shù)，你會(huì)選擇哪個(gè)呢？

在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生積極交流，最終發(fā)現(xiàn)影響設(shè)計(jì)方案多少的決定性因素是因數(shù)的個(gè)數(shù)。教師讓學(xué)生再通過對(duì)比觀察，引導(dǎo)學(xué)生歸納總結(jié)出質(zhì)數(shù)和合數(shù)的特點(diǎn)，由此引出質(zhì)數(shù)和合數(shù)的概念自然水到渠成了。

改進(jìn)后，教師先是引導(dǎo)學(xué)生通過動(dòng)手“擺”經(jīng)歷一系列的認(rèn)知沖突，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)設(shè)計(jì)方案的多少與塊數(shù)的多少并無直接的關(guān)聯(lián)，決定性因素是因數(shù)的個(gè)數(shù)。如果所給出的塊數(shù)只有1和它本身2個(gè)因數(shù)，只能擺出1個(gè)長(zhǎng)方形;如果有3個(gè)或3個(gè)以上的因數(shù)，則可以擺出2個(gè)或2個(gè)以上的長(zhǎng)方形。借助“形”學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)了質(zhì)數(shù)和合數(shù)的特點(diǎn)，對(duì)兩個(gè)概念的理解不僅有抽象的語言表述，而且還有圖形表征，這樣即使文字概念遺忘了，學(xué)生還可以借助“形”進(jìn)行判斷：若數(shù)量是質(zhì)數(shù)，則只能擺出一種長(zhǎng)方形;若數(shù)量為合數(shù)，則可以擺出兩種或兩種以上的不同的長(zhǎng)方形。由此通過“數(shù)”與“形”的結(jié)合和轉(zhuǎn)換，讓學(xué)生更好地理解了質(zhì)數(shù)和合數(shù)概念的本質(zhì)，有效地避免了遺忘。同時(shí)，通過動(dòng)手實(shí)踐、對(duì)比觀察、對(duì)比歸納，讓學(xué)生經(jīng)歷了由圖形操作到抽象建構(gòu)的過程，有助于培養(yǎng)學(xué)生邏輯分析和抽象概括的能力，有助于提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

二、借助數(shù)形結(jié)合，建立豐富的概念表征

對(duì)于同一概念，從不同的角度出發(fā)，往往可以獲得不同的表征。表征豐富代表學(xué)生對(duì)概念的理解越透徹，反之則代表學(xué)生對(duì)概念的理解不透徹，甚至可能還停留在一個(gè)較低的水平。如果學(xué)生在表征概念時(shí)不能想到各種情況，可能會(huì)影響概念的應(yīng)用，因此教師教學(xué)時(shí)有必要采取一些有效的手段幫助學(xué)生建立豐富多樣的心理表征。數(shù)與形有機(jī)結(jié)合起來，通過數(shù)與形的角色轉(zhuǎn)換，往往可以使學(xué)生的認(rèn)知更加豐富化、多樣化，有助于學(xué)生形成豐富多樣的心理表征。

比如，對(duì)于分?jǐn)?shù)有四種定義：①份數(shù)定義;②商定義;③比定義;④公理化定義。初學(xué)分?jǐn)?shù)時(shí)，對(duì)于份數(shù)的理解是理解分?jǐn)?shù)的意義的關(guān)鍵。但是隨著學(xué)生認(rèn)知水平的不斷提升，分?jǐn)?shù)有了更深層的內(nèi)容。不過學(xué)生對(duì)“份數(shù)定義”的理解根深蒂固，因?yàn)槿狈Ρ匾倪w移和拓展，使得學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)意義的理解不夠深入、全面。在實(shí)際教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，學(xué)生已經(jīng)學(xué)過比和比例，但是學(xué)生卻很少用比和比例的眼光去審視分?jǐn)?shù)。對(duì)于圖1，大多數(shù)學(xué)生能看到是，極少學(xué)生能看到是;大多數(shù)學(xué)生將圖1看成是一個(gè)圓分為4份，其中一份為;極少有學(xué)生能看到圖1中1塊黑、3塊白，其比值正是。為什么學(xué)生會(huì)對(duì)視而不見呢？究其原因就是學(xué)生已經(jīng)習(xí)慣將一個(gè)大餅看作單位“1”。其實(shí)高年級(jí)學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)的意義時(shí)，教師應(yīng)該在分?jǐn)?shù)定義的基礎(chǔ)上進(jìn)行拓展和延伸，讓學(xué)生知道一個(gè)整體可以看成單位“1”，一個(gè)部分也可以看成單位“1”，分?jǐn)?shù)既可以表示整體與部分的關(guān)系，也可以表示部分與部分的關(guān)系。這樣，學(xué)生在看待時(shí)，就不會(huì)局限于部分與整體，可能會(huì)得到不同的圖形，如圖2、圖3等。

比如，在教學(xué)1立方分米的概念時(shí)，教師總是強(qiáng)調(diào)棱長(zhǎng)為1分米的正方體體積是1立方分米。因此一旦談到1立方分米，學(xué)生腦海里能夠想到的模型就是棱長(zhǎng)為1分米的正方體，可見這樣的概念教學(xué)固化了學(xué)生的思維，影響了學(xué)生數(shù)學(xué)想象能力的發(fā)展。其實(shí)教學(xué)時(shí)，教師可以先讓學(xué)生列舉一些體積可能為1立方分米的長(zhǎng)方體，學(xué)生會(huì)列舉許多，比如長(zhǎng)2分米、寬1分米、高0.5分米的長(zhǎng)方體等;然后在教學(xué)1立方分米時(shí)，學(xué)生眼前不再是那個(gè)單一的棱長(zhǎng)為1分米的正方體，還有其他多種多樣的長(zhǎng)方體，使其心理表征更加豐富化。

在教學(xué)中，教師通過以形思數(shù)，以數(shù)思形，合理地進(jìn)行拓展和延伸，使學(xué)生對(duì)相關(guān)概念的理解更加豐富化，這對(duì)發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)思維、提升數(shù)學(xué)應(yīng)用能力尤為重要。

三、在數(shù)形結(jié)合的對(duì)比中，實(shí)現(xiàn)概念的鞏固

對(duì)比既是一種思維方式，又是一種常用的教學(xué)手段，其在數(shù)學(xué)教學(xué)中發(fā)揮著積極的作用。比如，在概念教學(xué)中應(yīng)用有助于揭示概念的本質(zhì);在解題教學(xué)中進(jìn)行解法對(duì)比，有助于豐富學(xué)生解題的經(jīng)驗(yàn)，優(yōu)化學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，提升解題效率;在新知教學(xué)中應(yīng)用，通過新舊對(duì)比，有助于形成完善的知識(shí)體系。數(shù)學(xué)知識(shí)雖然是抽象的、復(fù)雜的，但是許多數(shù)學(xué)知識(shí)之間存在著密切的聯(lián)系;如果教師在教學(xué)中能夠充分運(yùn)用對(duì)比，會(huì)使學(xué)生理解起來更容易，運(yùn)用起來更自然。

比如，“普通計(jì)時(shí)法”和“24小時(shí)計(jì)時(shí)法”的轉(zhuǎn)換一直是教學(xué)的難點(diǎn)，為了化解這一難點(diǎn)，教師在教學(xué)中引入了時(shí)間尺（如圖4所示）。

通過這樣的對(duì)比，“普通計(jì)時(shí)法”和“24時(shí)計(jì)時(shí)法”之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系一目了然，在此基礎(chǔ)上學(xué)生可以熟練地進(jìn)行轉(zhuǎn)換。如果平時(shí)學(xué)生發(fā)生了遺忘，或者解題時(shí)遇到了困難，學(xué)生可以自己繪制時(shí)間尺，以此降低思維的難度。久而久之，學(xué)生的腦海中會(huì)自然地形成一把時(shí)間尺，可以靈活讀取?？梢姡瑢ⅰ皵?shù)”與“形”有機(jī)地結(jié)合在一起，不僅能順利地完成轉(zhuǎn)換，而且讓學(xué)生掌握了數(shù)學(xué)的研究方法，有助于數(shù)學(xué)能力的提升。

四、在數(shù)形結(jié)合的運(yùn)用中，實(shí)現(xiàn)概念的深化

數(shù)形結(jié)合在數(shù)學(xué)教學(xué)中的價(jià)值是不言而喻的，除了建構(gòu)概念的價(jià)值外，教師也要重視其在解決實(shí)際問題中的價(jià)值。對(duì)于一些抽象的、復(fù)雜的問題，如果從數(shù)形結(jié)合的角度去分析，往往可以獲得“柳暗花明”的效果。

比如，在學(xué)習(xí)了近似數(shù)的概念后，教師給出了這樣一個(gè)問題：若一個(gè)數(shù)精確到萬位后是1萬，那么這個(gè)數(shù)最大是多少？問題給出后，很多學(xué)生給出的答案為9999。分析錯(cuò)因發(fā)現(xiàn)，學(xué)生之所以出現(xiàn)了錯(cuò)誤，是因?yàn)椴焕斫狻八纳帷痹诒绢}中的價(jià)值，認(rèn)為最大的數(shù)一定是形如99、999這樣數(shù)，由此引發(fā)了錯(cuò)誤。其實(shí)對(duì)于本題所求的近似數(shù)，“四舍”的原數(shù)要比“五入”的大，因此應(yīng)在“四舍”中尋找最大數(shù)。為了讓學(xué)生能夠理解、吃透，教師采用數(shù)形結(jié)合的方式幫助學(xué)生突破思維誤區(qū)。

師：如圖5所示，如果讓這些數(shù)寶寶就近回家，你知道哪些數(shù)寶寶會(huì)回到40這個(gè)家嗎？

生7：根據(jù)“五入”的原則，36～39這4個(gè)數(shù)會(huì)回到40這個(gè)家。

生8：根據(jù)“四舍”的原則，41～44這4個(gè)數(shù)也會(huì)回到40這個(gè)家。

師：說得很好，你們還有其他要補(bǔ)充的嗎？（生表示無補(bǔ)充）

師：那么根據(jù)“五入”的原則，原數(shù)比40大還是比40小呢？

生（齊聲答）：比40小。

師：那么根據(jù)“四舍”的原則，原數(shù)比40大還是比40小呢？

生（齊聲答）：比40大。

師：很好，說一說這是為什么呢？

生9：如圖5所示，若用“四舍法”，要得到近似數(shù)需要舍棄一些數(shù)，這樣所得的近似數(shù)自然比原數(shù)小。

師：很好，那么對(duì)于剛剛的問題，我們?cè)谇蠼茢?shù)時(shí)，若求最大需要用“四舍法”還是“五入法”呢？

生（齊聲答）：四舍法。

由此，學(xué)生通過一步步的分析，得到了最大數(shù)為14999。這樣通過數(shù)形結(jié)合的方式，自然地化解了思維的難點(diǎn)，深化了學(xué)生對(duì)用“四舍五入法”求近似數(shù)的理解。

綜上，數(shù)形結(jié)合在概念教學(xué)中有著重要的應(yīng)用價(jià)值，其有助于學(xué)生建立、豐富、鞏固、深化概念心理表征。教師在教學(xué)中合理開展數(shù)形結(jié)合教學(xué)，有助于學(xué)生形成完整的、結(jié)構(gòu)優(yōu)良的“概念系”。