指向數學核心素養的單元教學設計

王進 于濤

［摘? 要］ 文章以“立體幾何初步”中的“角的度量”教學設計為例，呈現了單元教學設計的完整流程，從數學分析、課標分析、教材分析、學情分析、評價分析等五個方面進行教學要素分析，從課時教學內容、單元教學目標、單元重點難點等三個方面進行單元框架設計，以具體課時的教學過程為例呈現出課時教學設計.單元教學設計主要有“橫向遷移”和“縱向發展”兩種類型，以及從“四基”“四能”到“三會”的主線.

［關鍵詞］ 核心素養；單元教學；立體幾何；角的度量；二面角

基金項目：廣東省基礎教育學科教研基地項目，廣東省教育研究院中小學數學專項課題“基于大觀念的高中數學單元教學實踐研究”（GDJY-2022-M-b124），東莞市教育科研“十四五”規劃課題“培養學生‘四能的數學探究活動校本課程研究”（2021GH165）.

作者簡介：王進（1983—），本科學歷，中學高級教師，廣東省基礎教育學科教研基地成員，主要從事高中數學教育教學研究工作，東莞市學科帶頭人、東莞市教學能手，曾獲東莞市品質課堂教學能力大賽一等獎.

引言

單元教學設計是以教材為基礎，用系統論的方法對教材中“具有某種內在關聯性”的內容進行分析、重組、整合并形成相對完整的教學單元，在教學整體觀的指導下將教學諸要素有序規劃，以優化教學效果的教學設計［1］. 單元教學設計倡導把教學內容置于單元整體內容中去把控，更多關注教學內容的本質、蘊含的思想以及學生素養的培養，對改變教學過分關注具體知識點的傾向，拓展教學視野以及提高教學效率等有重要作用［2］.

鐘啟泉指出“核心素養—課程標準（學科素養/跨學科素養）—單元設計—課時計劃”是環環相扣的教師教育活動的基本環節，要理解單元設計的價值和作用，它是撬動課堂轉型的一個支點［3］. 在新課程改革的背景下，倡導教師關注發展學生核心素養的單元教學設計，從更為上位的視角開展整體教學，是一個重要的研究課題.下面筆者以“立體幾何初步”中的“角的度量”教學設計為例，與讀者共同探討單元教學設計.

教學要素分析

教學要素分析是單元教學設計的關鍵環節，關系著單元教學何以構成一個“單元”. 教學要素分析包括數學分析、課標分析、教材分析、學情分析、評價分析等五個方面.

數學分析：“角的度量”是繼空間中點、直線、平面之間的位置關系定性研究后的定量研究，是“異面直線所成的角（線線角）”“直線與平面所成的角（線面角）”“二面角”等基礎知識學習后的基本技能學習.“角的度量”包括作角、證角、求角等環節，其中“作角”將空間角轉化為平面角，體現了轉化與化歸思想.不論是位置關系的研究，還是度量關系的計算，教學往往更關注如何證明平行、垂直，如何求角（包括三角函數值）等顯性知識的學習，而忽視借助位置關系、度量關系深入認識空間幾何圖形等隱性知識的學習. 因此，“角的度量”教學需要關注“根據幾何圖形研究角的問題”和“根據角的研究過程與結果認識幾何圖形”的雙向教學視角.

課標分析：立體幾何教學內容隸屬于幾何與代數主線，課標中有關“立體幾何初步”的教學內容要求重點關注空間中點、直線、平面之間的“位置關系”，以及關系中的兩類特殊情形——平行與垂直，對關系中的一般情形的“度量關系（距離、角）”未有表述；在空間向量與立體幾何的教學內容要求中提出能用向量方法解決有關距離問題和夾角問題的“度量問題”. 顯然，立體幾何初步的教學對“角的度量”問題要求不高，三類“角”的概念教學重在服務于“位置關系”教學. 此外，課標中多次提出“借助長方體”來學習立體幾何的相關知識內容，這一教學策略的高頻次出現，實際上是在強調模型思想，以“基本立體圖形——長方體”為模型載體，貫穿立體幾何的教學.

教材分析：“角的度量”教學作為基本技能的教學，需要一定數量的數學題目進行講授與訓練. 人教A版教材（2019年版）必修第二冊中有關“角”的例習題不多——共有7道例習題.其中，“線線角”有1道例題、1道習題；“線面角”有1道例題、1道習題；“二面角”有3道習題. 教材的編寫與課標中的教學內容要求基本一致. 分析有關“角的度量”的例習題背景，不難發現“立體幾何初步”教學的例習題背景設置主要是正方體（3題〈三類“角”各1題〉）、長方體（1題）、三棱錐（2題）、四棱錐（1題）等常見的基本立體圖形，同樣強調對基本立體圖形的學習與認識. 事實上，三棱錐、四棱錐都可以視作正方體或長方體的一部分.

學情分析：“角的度量”的認知基礎是各類“角”的概念，以及平行、垂直的判定與性質定理等，“角的度量”方法的學習是綜合運用概念與定理的過程. 在解決具體問題時，學生需要從基本立體圖形中抽象出“角”的問題，對空間想象能力要求較高，不同的觀察視角都可能引起對圖形理解的困難. 從“整體”的視角來認識“局部”的線線、線面、面面關系的意識有待學生進一步加強.

評價分析：高考對立體幾何的考查不局限于用向量方法研究立體幾何問題，幾何方法和向量方法都是立體幾何思維方法的重要考向.從評價的角度來看，應用向量方法研究立體幾何問題前，有必要加強幾何方法的教學，培養學生構建“幾何”“向量”兩條路的思維方法體系，避免學生解決“角的度量”問題時，只見“向量”不見“幾何”.

基于上述分析，筆者將“角的度量”定為一個學習單元. 該單元以“模型”思想為教學核心，以“線串式”單元為教學組織形式，以期在牢固學生基礎知識、基本技能的同時，發展數學核心素養.

單元框架設計

單元框架設計是單元教學設計的重要環節，關系著單元教學如何實施的問題.單元框架設計包括課時教學內容、單元教學目標、單元重點難點等內容.

課時教學內容：本單元教學內容分為3個課時，內容分別是線線角的求法、線面角的求法、二面角的求法.具體課時教學內容如表1所示.

單元教學目標：單元教學目標不是課時目標的累加，需要突出課時教學內容的聯系性，避免課時教學的碎片化和隨意性.根據課堂教學內容的共性，本單元的教學目標如下：

（1）“四基”層面的教學目標.①基礎知識：深入理解基本立體圖形——正方體，了解正方體中特殊位置的線線、線面、面面的位置關系；②基本技能：掌握求解三類“角”的基本方法，掌握“作角、證角、求角”的基本步驟；③基本思想：感悟模型思想、轉化與化歸思想；④基本活動經驗：積累正方體中的線線、線面、面面位置關系的研究經驗，為遷移至其他基本立體圖形中的線線、線面、面面位置關系的研究做好類比基礎.

（2）“四能”層面的教學目標.①能從“元素（線、面）”之間關系的微觀角度來認識宏觀的幾何圖形，發現并提出有關線線、線面、面面位置關系的度量計算問題；②能應用各類“角”的概念及相關知識，分析并解決各類“角”的度量計算問題.

（3）素養層面的教學目標. ①關鍵能力：借助正方體研究有關角的度量計算問題，發展學生直觀想象素養；通過學習“作角、證角、求角”的方法，發展學生邏輯推理素養；②必備品格：通過探究活動，引導學生經歷發現和提出問題，分析和解決問題的全過程，培養學生善于思考、嚴謹求實的科學精神，激發學生學習數學的興趣.

單元重點難點：重點是應用各類“角”的概念及相關知識求解角的度量計算問題，結合各類“角”的求解過程與結果深入認識正方體模型；難點是各類“角”的作角方法的學習與掌握.

課時教學設計

本單元3個課時的教學內容聯系緊密，教學模式與流程幾乎一致，每個課時都可以為下一個課時積累學習經驗，實現從學會到會學的單元教學價值. 下面以第3課時“二面角的求法”為例，呈現單元教學設計.

1. 發現問題

情境：如圖1所示，正方體ABCD－ABCD的各個面能構成二面角嗎？如果能，大小是多少？如果不能，請說明理由.

學生活動：學生獨立思考，分類討論，發現并解決問題.

教師活動：教師觀察、交流，適時提出引導性問題.

活動結果：①相鄰的兩面能組成二面角，如二面角D－AD－C，二面角A－DD－C等，均為90°；②相對的面互相平行，不能組成二面角，因為二面角的定義為：從一條直線出發的兩個半平面所組成的圖形.

設計意圖 以正方體為教學載體，引導學生運用二面角知識觀察模型，明確模型中各個面的關系.同時，幫助學生復習二面角、二面角平面角的概念以及二面角的表示等基礎知識.

問題1：如圖2所示，已知正方體ABCD－ABCD的對角面ABCD，該對角面與正方體各個面所組成的二面角的大小分別是多少？

學生活動：學生獨立思考，分類討論，發現并解決問題.

教師活動：教師觀察、交流，適時提出引導性問題.

活動結果：①平面AADD和平面BBCC與對角面ABCD構成的二面角均為90°；②平面AABB、平面ABCD、平面ABCD、平面CCDD與對角面ABCD構成的銳二面角均為45°.

設計意圖 引導學生發現以正方體的各頂點構成的線與面，多視角觀察正方體，學會用二面角的知識去研究它們之間的關系，會用數學的眼光觀察基本模型，發現問題.

2. 提出問題

問題2：在正方體ABCD－ABCD中，你還可以提出一些有關二面角的問題嗎？

學生活動：學生獨立思考，發現、提出問題.

教師引導：為了使研究對象較為簡單且集中，教師適時引導學生思考“正方體的各頂點能確定哪些特殊的平面？從這些平面間的關系能提出哪些有關二面角的問題？”

活動結果：①明確三類研究對象，分別為表面、對角面、三角面；②提出四類研究問題，分別為三角面與表面構成的二面角、三角面與對角面構成的二面角、三角面與三角面構成的二面角、對角面與對角面構成的二面角.在此基礎上引導學生從直觀、易于辨識的角度寫出每類問題中的一個有關二面角的題目，比如以下四個題目.

題目1：（三角面與表面）如圖3所示，在正方體ABCD－ABCD中，求二面角C－BD－C的大小.

題目2：（三角面與對角面）如圖4所示，在正方體ABCD－ABCD中，求二面角D－BD－C的大小.？搖

題目3：（三角面與三角面）如圖5所示，在正方體ABCD－ABCD中，求二面角A－BD－C的大小.

模型抽象：在題目3的基礎上，連接AC，從正方體中抽象出正四面體（如圖6所示），問題可以轉化為“正四面體相鄰兩面所構成的銳二面角的大小是多少？”

題目4：（對角面與對角面）如圖7所示，在正方體ABCD－ABCD中，求二面角A－BD－C的大小.

模型抽象：在題目4的基礎上，從正方體中抽象出四棱錐（如圖8所示），問題可以轉化為“在底面是正方形的四棱錐D1-ABCD中，DD1⊥平面ABCD，且DD1=DC，求二面角A-BD1-C的大小”.

設計意圖 引導學生學會用關系的眼光觀察數學對象，多視角觀察、認識正方體模型，建立正方體模型與正四面體模型、特殊四棱錐模型之間的關系，強化模型思想，增強載體化意識.引導學生在立體幾何一般觀念的引領下，從“元素（平面）”關系的角度感悟研究立體幾何問題的一般思路和方法，培養學生發現、提出問題的能力，積累基本活動經驗.

3. 分析問題

問題3：如何求二面角的大小？

學生：作出二面角的平面角.

教師：如何作二面角的平面角？

師生活動：教師借助題目1，分析作二面角平面角的本質和關鍵，建立作二面角平面角的一般模型（如圖9所示），進而明確作圖思路：在兩個半平面中各探尋一點A，B，使得兩點的連線AB與二面角的棱l相互垂直，再過點B作BH⊥l交l于H，連接AH.與題目1不同，題目2需要引導學生在作圖的過程中，通過添加輔助線，構建出如圖9所示的模型，作出二面角的平面角.題目1和題目2以教師講授為主，題目3和題目4以學生實踐為主，題目3和題目4的研究思路可以分別類比題目1和題目2.

設計意圖 “作角”與“證角”“求角”分環節教學，意在分散教學難點，突破“作角”難點.通過四個題目的講授與練習，引導學生經歷學習方法、構建模型、轉化應用等過程，建立模型意識，理解構建二面角作圖模型的價值，掌握一種最為基礎的作圖方法，強化基本技能. 四個題目呈現了正方體、正四面體、特殊四棱錐等三種基本立體圖形，通過“作角”，引導學生深入理解常見的基本立體圖形的特征及性質.

4. 解決問題

問題4：如何表述二面角平面角的整個求解過程？

師生活動：引導學生結合具體問題，準確表述輔助線的作法，以及“證角”和“求角”過程.板書題目1的解答過程，做好教學示范；展示題目2的解答過程，形成對比，強調“作角”中的轉化思想，體現“證角”和“求角”的共通性.學生自主練習題目3和題目4.

完成四個題目規范求解后，教師在題目4的基礎上，提出思考題.

思考題：如圖8所示，題目4的條件不變，求平面ADD與平面BCD所成的銳二面角的大小.

師生活動：引導學生思考并發現特殊四棱錐與正方體之間的關系，將問題轉化為相應正方體的對角面與側面構成的銳二面角問題.

設計意圖 完善“作角”的表達，規范“證角”“求角”的書寫，培養學生邏輯推理能力；提出“無棱二面角”的變式思考題，引導學生發現不同模型間的關系，體會模型思想，感悟模型價值.

單元教學思考

單元教學設計以整體教學功能為設計起點，從更高層次的視角觀察、提取教學內容的共性，綜合考慮共性要素間的關系，使得教學產生整體效益.

從單元教學設計類型來看，“橫向遷移”和“縱向發展”是兩個基本的設計類型. 本文呈現的“角的度量”單元教學設計是“橫向遷移”的典型案例，第1課時的學習經驗可以遷移到第2、第3課時，有助于學習過程中類比遷移的發生，促進學生由被動接受的“學會”轉變為主動積極的“會學”. 對于“縱向發展”的單元教學設計，以“函數零點問題”為例，教材將函數零點問題編寫為“函數的零點與方程的解”和“用二分法求方程的近似解”兩個小節，“合二為一”方能構成研究函數零點（或方程的根）問題解決方法的全過程——先判斷函數是否有零點，再估算零點的大小（或求出對應方程的根）.

從單元教學設計的教學目標來看，不妨以從“四基”“四能”到“三會”為設計主線，形成“宏觀（課程目標）—中觀（單元教學目標）—微觀（課時教學目標）”的“課程—教學”目標鏈條，填補課程目標與課時教學目標之間的“溝壑”. “四基”以打好數學學習為基礎，體現出基礎性、整合性、結構性；“四能”立足問題解決活動，體現出情境性、過程性、探索性；“三會”立足行為養成，體現出實踐性、創新性、發展性［4］. 這一設計主線能有效引導教師關注“雙基”外的其他課程目標，通過單元教學實現更高層次的教學目標，有助于學生發展數學關鍵能力和核心素養.

單元教學設計需要一線教師有意識地發展、提高自身單元教學意識，通過將教學內容放置于單元中進行整體教學考量，助力教師教學行為和學生學習方式的轉變.

參考文獻：

［1］ 呂世虎，吳振英，楊婷，王尚志． 單元教學設計及其對促進數學教師專業發展的作用［J］. 數學教育學報，2016，25（05）：16-21.

［2］ 呂世虎，楊婷，吳振英. 數學單元教學設計的內涵、特征以及基本操作步驟［J］. 當代教育與文化，2016， 8（04）：41-46.

［3］ 陳彩虹，趙琴，汪茂華，汪曉慧，吁思敏，向榮． 基于核心素養的單元教學設計——全國第十屆有效教學理論與實踐研討會綜述［J］. 全球教育展望，2016，45（01）：121-128．

［4］ 黃翔，童莉，李明振，沈林. 從“四基”“四能”到“三會”——一條培養學生數學核心素養的主線［J］. 數學教育學報，2019，28（05）：37-40.