數學建模在高中課堂教學中的意義探究與路徑形成

［摘 ?要］ 數學建模的地位至關重要，可以說數學建模無論是在學生知識建構的過程中，還是在數學學科核心素養培育的過程中，都起著承上啟下的作用. 對于日常的高中數學課堂教學來說，數學建模的意義在于，其可以促進學生對數學知識的整合，可以讓學生更好地發現數學知識間的聯系，可以讓學生更好地建立起數學知識的認知體系，可以讓學生擁有一個更好地運用數學思想方法的空間，可以讓學生形成更為高階的思維能力，還可以促進學生學習品質的提升. 數學模型建立的過程，實際上就是學生運用數學思維，實現自身數學認知發展，進而用數學語言表達數學認知的過程. 因此可以說，數學知識發生的過程越豐富，學生在數學模型形成過程中的體驗感越強，數學建模的路徑越清晰.

［關鍵詞］ 高中數學；數學建模；課堂教學；意義探究；教學路徑

基金項目：福建省2021年常規課題“新高考背景下高中數學建模教學的實踐研究”（FJJKZX21-096）.

作者簡介：陳鐘洪（1982—），本科學歷，高級教師，從事高中數學教學工作.

高中數學學科核心素養所明確的六個要素當中，數學建模的地位至關重要，可以說數學建模無論是在學生知識建構的過程中，還是在數學學科核心素養培育的過程中，都起著承上啟下的作用. 之所以這么說，是因為從知識建構的角度來看，學生要想建立一個數學概念或數學規律，必然要將相關的數學知識綜合起來，必要的時候還會借助生活經驗的支撐，這個時候很容易涉及數學抽象與邏輯推理，當然也會涉及知識的綜合運用. 因此一個數學模型的建立，肯定會帶動數學學科核心素養其他要素的落地，既然數學建模能夠起到這樣的作用，那么在日常的教學當中，就必須高度重視.

事實上，高中數學教學歷來有重視數學建模的傳統，在20世紀90年代，曾經有關于學科建模的研究之風，數學學科作為基礎性學科，其建模研究起到了一定的引領作用，至今仍然為基礎教育研究界所稱贊. 今天的高中數學教學面臨著雙重任務——培養學生的應試能力與發展學生的數學學科核心素養，前一任務關系學生當下的生存，后一任務關系學生未來的發展，兩者都很重要. 這對于教師來說，也意味著挑戰，如何在教學中協調好兩者間的關系，考驗著教師的教學智慧. 很顯然，要讓這兩個任務協調完成，最好的辦法就是能夠設計一個科學的學習過程，而學生在這樣的學習過程中，既能夠讓自己的應試能力得到培養，又能夠讓數學學科核心素養得到自然的培育.

分析到這里可以發現，數學建模可以很好地承擔這一任務，其原因就在于：一旦學生形成了較強的數學建模能力，那么就意味著學生有了較強的數學知識整合能力；一旦學生形成了較強的數學模型運用能力，自然就意味著學生運用模型解答習題就有了很大的可能性. 更為可貴的是，一旦學生形成了較強的建模能力與模型運用能力，那么學生面對新的題型時，會因為數學建模過程中所形成的能力的有效遷移，而具有較強的解決新題的能力. 這對于傳統的數學教學來說是一個突破，其有效避免了“講什么才會什么”的尷尬情形. 所以從這個角度來看，發展學生的數學建模能力就是發展學生的應試能力！與此同時，數學建模本身就是數學學科核心素養的組成要素，而且其綜合性極強，因此以數學建模作為突破口，數學學科核心素養落地的可能性更大.

數學建模在高中課堂教學中的意義探究

考慮到傳統教學中，發展學生的應試能力是教學的主流，因此本文側重闡述的是如何通過數學建模來帶動數學學科核心素養要素的發展. 對于這一點，首先要闡述的問題就是：面向當下的高中數學一線教師，如何真正形成關于數學建模的理念認同？

這是一個非常實際的問題，盡管從理論的角度來看，數學建模的意義重大，比如李明振、喻平等人明確提出，解析高中數學建模課程實施的背景，揭示實施中存在的問題，探求解決問題的有效對策，對改進高中數學建模課程實施的效果具有重要現實意義［1］. 但是在教學實際當中，一個尷尬的情況就是：絕大多數課堂上教師仍然忽略了數學建模的努力，而是將教學的重心直接落在學生的刷題能力培養上. 有人說這是一個實際問題，是高考的必然走向，在筆者看來，這樣的判斷固然有道理，但并沒有觸及實質. 正如前面所分析的那樣，即使只考慮學生應試能力的培養，數學建模也能夠發揮重要作用，因此與其說這是一個高考評價導向的問題，倒不如說這是一個教師教學理念與教學認識的問題. 換句話說，如果教師真正從理念上認同數學建模的豐富價值，那么其自然就會出現在日常的課堂上. 所以說，探究數學建模在高中數學課堂教學中的意義，進而認同這一意義，是至關重要的一個前提.

筆者以為，對于日常的高中數學課堂教學來說，數學建模的意義在于，其可以促進學生對數學知識的整合，可以讓學生更好地發現數學知識間的聯系，可以更好地讓學生建立起數學知識的認知體系，可以讓學生擁有一個更好地運用數學思想方法的空間，可以讓學生形成更為高階的思維能力，還可以促進學生學習品質的提升.

以上六個“可以”，從知識的建構、數學知識之間聯系的發現、認知體系的建構、數學思想方法的體驗、思維能力的培養、學習品質的提升等角度，闡述了數學建模的意義. 更具體一點說，正是因為數學建模的過程必然涉及已有知識的激活與重組，必然涉及新的知識的生成且最終要以數學語言（文字、圖形、圖象、公式等）加以陳述，因此思維能力與學習品質會自然得到培養. 由此可見數學建模的綜合性之強，功能之強，意義之顯著. 由此認識數學建模的意義，自然也就意味著在日常教學當中數學建模具有更強的生命力.

數學建模在高中課堂教學中的路徑形成

對于一線教師來說，認同數學建模的意義只是教學實踐的第一步，作為最關注“可操作性”的群體，如何尋找到數學建模在高中數學課堂上的有效路徑，是一個更為實際的問題. 從學生思維的角度來看，筆者注意到數學模型建立的過程，實際上就是學生運用數學思維，實現自身數學認知發展，進而用數學語言表達數學認知的過程. 因此可以說，數學知識發生的過程越豐富，學生在數學模型形成的過程中體驗感越強，那么數學建模的路徑就越清晰.

有數學同行嘗試通過數學實驗來培養學生的數學建模能力，取得了較好的效果. 相關的研究認為，數學實驗的核心就是學生主動學數學、用數學，積極參與數學建模中的動手實驗，在實驗中感知并發現問題、提出問題、分析問題，在建立模型與求解模型中自主獨立思考、解決問題，給學生運用所學的數學知識、方法、思想解決問題的鍛煉機會. 數學實驗可以給學生提供一個更加真實的、能夠激活思維的學習情境，而事實上數學建模也確實需要依賴真實情境. 只有在真實的情境當中，才能讓學生體驗到數學源于生活，認識到知識和技能在未來的學習和生活中的價值，從而在數學知識與問題情境的有效互動中激發學生學習數學的興趣，提升學生的數學核心素養，培養學生用數學建模解決實際問題的能力［2］. 這里來看一個教學案例：

人教A版高一數學必修一中，有“指數函數”這一內容. 對于這一內容的教學，可以采用數學建模的思路去進行，這是因為函數本身是一個模型，作為函數下位概念的指數函數，既有函數的模型特征，又有屬于自身的模型特征. 如果能夠讓學生體驗數學建模的過程，形成關于指數函數的全面認識，那么這樣的一個數學建模過程，就可以讓學生對指數函數有更加深刻的理解，也可以讓學生在數學建模的過程中，更好地體驗數學學科核心素養的其他要素. 基于這樣的目的，筆者重點設計了這樣幾個教學環節：

環節一：借助實際問題，讓學生在解決問題的過程中初步感知指數函數.

這里可以借助教材上的A，B兩個景區，面對旅游人數不斷增加，采取不同措施的實際問題，來讓學生分析某一時間段內A，B兩個景區的游客人次、逐年增加量（具體數據略），發現其中的變化規律.

這些問題來自現實生活，同時又與數學密切相關，學生通過問題的介紹，自然可以發現A，B兩個景區采用不同措施后，游客人次（單位：萬次）、年增加量（單位：萬次）以及時間（單位：年）之間存在著一定的關系，但具體是什么關系，學生不可能一目了然，需要通過這一實際例子的分析，來得出指數函數模型，這必須在下一個教學環節做出努力.

環節二：基于問題解決的思路，通過對已有數學知識尤其函數知識的激活，尋找到發現變化規律的方法.

既然上述實際問題已經指出了游客人次、逐年增加量以及時間之間存在著變化關系，那么要讓這些關系凸顯出來，學生面前的選擇無非是解析式與圖象. 很顯然，當只有數據時，解析式的發現是很困難的，而借助圖象來初步判斷變化關系，這是比較常用的方法. 于是多數學生就會想到用描點法作圖，也就是以時間為橫軸，以游客人次、逐年增加量為縱軸，然后將給出的數據通過找點的方法，在平面直角坐標系上體現出來，最后用平滑的曲線將它們連接起來，就可以發現變量間的函數關系.

由于實際問題所給出的數據的特殊性，學生可以發現A景區的游客人次與時間是線性增長的關系，這是因為畫出來的圖象是一條直線；而B景區的游客人次與時間則是非線性增長的關系.

當學生有了這一認識后，還有一個重要的問題就是更加精確地發現變化規律，這意味著解析式的探究. 這里仍然要借助數據的分析來進行——此時主要分析的對象是B景區. 這個過程需要學生的高階思維，需要學生發現相鄰年份間的游客人次之比接近于定值. 對于多數學生而言，這一發現是存在困難的，這些困難實際上也就是數學建模的困難. 要突破這一難點，可以讓學生同時觀察數據以及圖象，尤其是從圖象的變化趨勢上，去猜想數據間可能存在的關系. 只要學生發現“相鄰年份間的游客人次之比接近于定值”，那就可以進一步發現：如果經過x年后的游客人次為y，那么y與x之間的關系就是y=ax. 當這一關系被發現，指數函數的圖形就出現了.

環節三：用數學語言進一步完善指數函數.

很顯然，當學生發現y=ax這一關系式的時候，一方面會意識到y與x之間存在著函數關系，另一方面會發現這一函數關系與此前所學過的函數并不相同. 既然是一個新的函數，那么就要從解析式、定義域、值域、圖象等方面去描述. 這對于絕大多數學生而言，已經形成了模式化的認識，因此其后的教學就是引導學生完成這些任務，建立起關于指數函數的全面理解. 如此指數函數這一模型也就建立起來了.

數學建模在高中課堂教學中的教學前景

通過上述案例可以發現，在高中數學教學中，讓學生經歷一個數學建模的過程，可以最大程度上激活學生已有的數學知識，并且讓學生擁有一個整合原有數學知識、獲得新的數學知識的體驗過程. 這種過程對于學生的數學學習來說，既是學習自主性的充分發揮，又可能獲得良好的溝通體驗，從而在發展知識理解與運用能力的同時，保證數學學科核心素養的順利落地.

既然數學建模在高中數學教學中的地位如此重要，那么在日常的教學當中，就應當讓學生擁有更多的數學建模的體驗. 很顯然，這一教學進程的主導權在于教師，教師能否認同數學建模的意義與價值，是否愿意解放學生，并且讓學生去體驗數學建模的過程，決定著數學建模能否在日常的課堂教學當中順利落地. 如同前面所闡述的那樣，最關鍵的一點就是教師要解放思想，要形成關于數學建模的普遍認同，要認識到數學建模是解決生活問題的重要手段，掌握有效的數學建模方法，提升學生數學建模素養，是高中數學課程的基本目標［3］. 只有有了這些認識，數學建模的落地才有保證.

此時進一步展望數學建模，筆者認為，未來的高中數學教學一定是圍繞數學建模而展開的，數學建模也一定會因為其綜合性、承上啟下性，而成為高中數學教學的核心要素. 總而言之，數學建模是高中數學學科核心素養之一［4］. 未來的高中數學教學，可以數學建模為核心，去帶動其他數學學科核心素養組成要素的落地，從而讓學生體驗一個從知識走向素養的學習過程.

參考文獻：

［1］ 李明振，喻平. 高中數學建模課程實施的背景、問題與對策［J］. 數學通報，2008，47（11）：8-10+14.

［2］ 黃高湧. 通過數學實驗教學落實高中數學建模核心素養［J］. 數學通報，2021，60（06）：40-44.

［3］ 湯曉春. 高中數學教學培養學生數學建模素養的實踐［J］. 教育理論與實踐，2017，37（26）：62-64.

［4］ 高玉珊，凌中華. 高中數學建模教學實踐探究——以“線性回歸”為例［J］. 中學教學參考，2020（35）：4-5.