初中數學公式教學的基本過程

蒲大勇　楊玉敏

［摘? 要］ 數學公式教學的本質是概念的意義建構． 數學公式教學的基本過程為“問題提出—通例辨析—特征普適—公式形成—鞏固應用—內化表征”，這六個環節既環環相扣、層層遞進，又相互促進，形成閉合的回路. 在這個過程中，學生對數學公式的結構特征從表象到本質、從感知到認知、從感性到理性，逐步掌握數學公式的本質特征，進而建構新的知識結構．

［關鍵詞］ 初中數學；公式教學；基本過程；平方差公式

數學公式與數學公式教學

公式通常是指用符號語言表示不同量之間某種關系的式子． 公式是在實踐的基礎上，經過歸納、概括而得出的具有普遍性關系的式子． 數學公式是用數學符號表示各個量之間的一定數量關系的數學式子．數學公式具有“三性”：一是抽象性，數學公式不是客觀世界的直接表達，而是客觀世界中數量關系的高度概括；二是普遍性，數學公式揭示的是一類數量關系的基本規律；三是演繹性，數學公式是數學推理證明的重要依據［1］． 數學公式是數學的重要組成部分，是滲透數學思想方法的重要載體，對培養學生的數學思維、提升學生數學素養有著舉足輕重的作用． 數學公式與數學性質、法則、運算律等一起組成數學原理，而數學原理與數學概念構成數學知識的核心． 事實上，數學公式揭示的是數學概念的基本規律. 數學公式教學的本質是數學概念的意義建構，由此建立不同知識之間的有效聯系． 觀察當下數學課堂，針對數學公式的教學較多地存在與概念教學混為一談、“重公式結論輕，公式生成”、“教師講公式，學生背公式”、教學思路不清晰、教學結構比較混亂、數學公式本質揭示不夠等問題． 那么如何進行數學公式教學呢？認知理論認為，學生的學習和對客觀世界的認知具有循序發展規律． 建構主義也認為，知識的意義是由學習者自己建構起來的，知識的意義是無法通過直接傳遞而實現的． 因此，研究者歸納出建構初中數學公式教學的基本過程（如圖1所示）．

初中數學公式教學的基本過程為“問題提出—通例辨析—特征普適—公式形成—鞏固應用—內化表征”，這六個環節既環環相扣、層層遞進，又相互促進，形成閉合的回路. 在這個過程中，學生對數學公式的結構特征從表象到本質、從感知到認知、從感性到理性，逐步掌握數學公式的本質特征，進而建構新的知識結構． 那么，如何實施數學公式教學呢？為方便說明，文章以人教版數學教材八年級上冊“平方差公式”第一課時的教學為例，談談數學公式教學的基本過程，以饗讀者．

數學公式教學的基本過程與教學實踐

1. 問題提出

問題是數學的“心臟”，也是數學公式的“心臟”． 設置指向數學公式的問題，幫助學生認識為什么學習這個數學公式，引發學生的認知沖突，此時的問題起到先行組織的作用． 也就是說，通過適當的情境創設，在情境中提出問題，讓學生理解學習數學公式的必要性和重要性．這里的關鍵是創設適當的情境，由情境生發問題． 創設情境的例子一般來源于生活實際或數學知識內部，從生活實際中的例子讓學生明白數學公式來源于生活并能解決生活中的問題，數學公式是有用的；從數學知識內部的例子讓學生明白數學公式是基于數學知識不斷拓展的，數學知識的“邊界”不斷突破是必然的． 無論是哪種方式創設的情境，根本在于其具有所學公式的必要因素與必要形式，能啟動學生的思維齒輪（引發認知沖突），使得情境一提煉就是公式，公式一還原就有情境的基礎或原型［2］．

案例1

活動一：舊知回顧

1． 計算：（x+3）（x-1）．

追問：你是怎么計算的？

師生共同復習“多項式×多項式”的法則，并板書（a+b）（p+q）=ap+aq+bp+bq．

2． 變式計算：（x+1）（x-1）．

活動二：結構分析

師：觀察、比較（x+3）（x-1）和（x+1）（x-1）的異同點．

生：相同點在于兩者都是整式乘法，都可以用“多項式×多項式”的法則進行計算；不同點體現在式子（x+1）（x-1）與（x+3）（x-1）的結構不同，（x+1）（x-1）的兩個因式的第一項相同，第二項互為相反數，（x+3）·（x-1）則不是；運算結果的形式也不同，（x+1）（x-1）的運算結果為二項式，并且是“這兩個數的平方差”，而（x+3）（x-1）運算的結果為三項式．

活動三：問題討論

“兩個數的和與這兩個數的差的積”具有這種特殊結構的兩個因式相乘，還有簡便的方法進行計算嗎？

評析 “多項式×多項式”的法則是整式乘法的一般的、基本的形式，適用所有整式乘法．教學中采用“舊知回顧”，讓學生從熟悉的、已有的知識入手，在計算（x+3）（x-1）后，變式把“3”改成“1”，計算（x+1）（x-1）；“結構分析”環節引導學生觀察、比較前后兩個式子的結構特點；引出“還有簡便的方法進行計算嗎”的問題討論，指向本節課的教學重點． 上述教學環節就是從數學知識的內部結構出發，遵循數學知識“從一般到特殊”的發展規律和學生認知數學公式的“先一般再特殊”的學習規律，“要簡化計算”必須學習平方差公式，達到引發學生認知沖突的目的．

2. 通例辨析

通例是指普遍的、一般的、能夠體現數學公式本質特征的例子． 通例辨析就是對提供的通例進行辨別、分析，找出其本質，摒棄其非本質． 這是數學公式教學非常重要的一步，也是學生認識、感知數學公式的關鍵．充分、恰當的通例對數學公式教學起到舉足輕重的作用；同時，深入的辨析也是學生認識數學公式的基礎． 這里，涉及兩個關鍵問題，一是通例的選取． 通例集中體現在“通”字上，即例子要有代表性和典型性，既要能夠彰顯數學公式的本質特征，也要能夠展現數學公式的深層結構，例子要能夠代表一種類型，達到以一當十的效果． 一般說來，通例要有三個及以上的例子． 二是辨析的層次．辨析不僅要辨別、分析通例的表層現象，還要辨別、分析通例的深層本質，從現象到本質，揭示通例“共同”的本質特征．

案例2

活動一：問題探究

計算：

1． （m+2）（m-2）；

2． （2x+1）（2x-1）．

活動二：特征分析

1． （x+1）（x-1）=x²-1；

2． （m+2）（m-2）=m²-4；

3． （2x+1）（2x-1）=4x²-1．

觀察上述三個算式，小組合作回答下面三個問題：

1． 以上算式左邊有什么共同結構特點？右邊呢？

2． 你發現了什么規律？

3． 請用你的方式表示發現的規律．

評析 上述教學過程，“問題探究”在前面“問題提出”的基礎上，通過學生再次計算兩個類似例子，感知平方差公式的結構特征；通過小組合作進行“特征分析”，學生運用觀察、比較、分析等方法揭示了通例蘊含的數學規律，透過現象看本質，在“特征分析”的過程中認識了平方差公式的本質． 實際上，（x+1）（x-1），（m+2）（m-2），（2x+1）（2x-1）三個例子在多項式乘法的結構形式上都是“通”的——兩個數的和與這兩個數的差的積，即都是形如多項式（a+b）與（a-b）相乘的形式；運算結果的結構形式也是“通”的——都是這兩個數的平方差，即都屬于特殊的“多項式×多項式”，結果的中間兩項合并為0，只剩兩項的平方差．在對三個通例的辨析過程中，學生自然摒棄了字母、數字、位置等不同的表層東西，明白了平方差公式需要滿足的條件——“兩個數的和”與“這兩個數的差”的“積”． 運用通例真實、客觀地揭示了平方差公式的本質特征，讓學生初步感知數學公式的意蘊．

3. 特征普適

特征是指一種事物可供識別的特殊的象征或標志． 普適是指由“特殊”到“一般”或由“通例”到“一般”的過程．特征普適就是從已有的通例中提煉出數學公式的結構特征或概括出其本質特征推演到“一般性”的過程．這個過程就是要在辨析通例的基礎上，遵循“從特殊到一般”的歷程，逐步提高例子的一般性，通過做數學化進一步提煉，從幾個通例中找到相同的結構特征，再到一般性式子提煉出本質特征． 在這個過程中自然會用到觀察、比較、分析、綜合、抽象、歸納等方法，學生在對通例進行觀察、比較的基礎上清晰地分析“從通例到一般性例子”的數學公式的非本質特征與本質特征；綜合與抽象則是抽取出最基本的、本質的特征，擺脫了“通例”的局限，得到更為“一般性”的數學公式的本質特征；歸納則是用簡潔的數學語言表達數學公式的本質．

案例3

活動一：公式推導

（a+b）（a-b）=________.

活動二：特征普適

1． （x+1）（x-1）=x²-1；

2． （m+2）（m-2）=m²-4；

3． （2x+1）（2x-1）=4x²-1；

4． （a+b）（a-b）=a²-b²．

觀察、比較上述四個式子，用自己的語言表達相關規律．

評析 上述教學過程，從具體的三個“通例”再到“一般性”的式子，在前面通例辨析的基礎上，學生認識到三個“通例”左邊分別是x與1的和乘以x與1的差，m與2的和乘以m與2的差，2x與1的和與2x與1的差，表示的都是兩個數的和乘這兩個數的差；右邊分別可以表示成x2-12，m2-22，（2x）2-12，都是左邊兩個數的平方差．由“特殊”例子的結構特征到“一般”式子的結構特征，進一步認識到平方差公式的本質——式子左邊要滿足“兩個數的和”與“這兩個數的差”的“積”這些基本條件，右邊就是“這兩個數的平方差”．在經歷觀察、比較、分析、綜合、抽象、歸納等數學過程后，學生對平方差公式的一般性結構特征認識較為深刻：兩個數的和乘這兩個數的差等于這兩個數的平方差．

4. 公式形成

公式形成就是在通例辨析、特征普適的基礎上，歸納數學公式的本質特征，用語言文字或數學符號或其他形式表達出來，形成正式的數學公式的過程． 這個過程是數學公式表征的過程，表征方式應體現多元化，既可以是語言文字表征，也可以是數學符號表征，還可以是數學圖形表征，總之，通過多元表征讓學生理解、掌握數學公式的本質特征．這個過程也是對通例辨析、特征普適的進一步深化，匡正認識，高度凝練，形成對數學公式本質的最核心的認識，這個過程也是學生體驗的過程，讓學生在充分的過程性體驗中，升華成為一種高級的“數學化”過程，會用數學思維思考，會用數學語言表達，進而把新輸入的數學公式納入原有的認知結構中，并與相關知識經驗建立起聯系．

案例4

符號表征：（a+b）（a-b）=a2-b2.

文字表征：兩個數的和與這兩個數的差的積，等于這兩個數的平方差．

評析 上述教學過程運用符號表征、文字表征、圖形表征、模型表征、圖示表征等多種方式表征平方差公式． 學生經歷了“猜想—推導—得到公式—多元表征—再識別”等數學活動，整個數學活動層層深入、步步為營，學生對平方差公式的形成經歷了由經驗感知到推導驗證、由感性認識到理性認知等過程；再通過符號語言、文字語言、圖形語言等多種表征方式，不斷強化學生對平方差公式“標準形式”的認識. 整個過程，學生充分運用觀察、比較、分析、綜合、推理、抽象、歸納等方法，深刻地認識到了平方差公式這個數學公式的本質特征，并固化了對平方差公式的認識．

5. 鞏固應用

鞏固應用就是把學生剛剛學到的數學公式加以鞏固，應用到實際中去，及時梳理新舊知識的初步聯系，在新知識與原認知結構中的相關知識間建立起非人為的、實質性的聯系，形成新的認知結構［3］． 這個環節需要做到“三題一結”. “三題”指的是基礎題、變式題、反例題. 一是基礎題，即做一定數量的、按照數學公式“標準形式”的練習題，其目的是進一步理解、掌握數學公式的結構特征，達到鞏固基礎的作用． 二是變式題，即做一定數量的基于數學公式“標準變式”的練習題，通過練習題的形式變化，增加其干擾性，其目的是進行操作性活動實現數學公式的初步應用． 三是反例題，即做反例題，從反面的練習題的聯系中鞏固數學公式，這里一般通過反例辨識來實現，通過與前面數學公式提煉過程中正例的比較分析，讓學生更清楚地認識到數學公式的本質特征． “一結”，即總結，引導學生歸納總結解題步驟，通過解題步驟的小結，把數學公式分解為具有可操作的、程序化的知識，增強學生對數學公式本身的理解．

案例5

活動一：填一填

活動二：算一算

例題：運用平方差公式計算

（1）（3x+2）（3x-2）；

（2）（-x+2y）（-x-2y）．

引導學生總結運用平方差公式計算的步驟：一看（式子的結構特征）；二找（平方差公式中的a與b）；三套（套用平方差公式）；四算（算出結果）．

鞏固練習

運用平方差公式計算：

（1）（a+3b）（a-3b）；

（2）（3+2a）（-3+2a）；

（3）（-2x2-y）（-2x2+y）．

活動三：找一找

下面各式的計算對不對？如果不對，應當怎樣改正？

1． （x+2）（x-2）=x²-2；

2． （-3a-2）（3a-2）=9a²-4．

評析 教學中教師緊扣平方差公式精心設計基礎題、變式題，并歸納總結了運用平方差公式進行計算的步驟，讓學生通過填空、計算、歸納的方式去進行操作性活動與公式的初步應用． 一方面通過平方差公式的“標準形式”和“標準變式”的練習方式鞏固記憶、熟練技能、掌握原理，另一方面是通過“看、找、套、算”解題步驟的總結，從解題步驟來理解平方差公式的結構特征，從而積累理解所需要的操作數量、活動強度和經驗體會． 同時，通過反例題的辨識，從反面鞏固學生對數學原理本質特征的認知，避免學生在學習過程中的思維定式產生負遷移，導致錯誤的出現．

6. 內化表征

內化是在思想觀點上與他人的思想觀點相一致，自己所認同的新的思想和自己原有的觀點、信念，結合在一起，構成一個統一的態度體系． 表征是指客觀事物在人的心理上的感知反映． 內化表征是指把新事物、新觀點等納入原有的認知體系，構建新的認知體系，并通過一定方式表征外顯． 數學公式的內化表征則指人們在認知的基礎上將數學公式納入原有的認知體系，形成新的認知體系，并通過符號語言、文字語言、圖形語言等方式表征外顯． 學生對數學公式認識、理解、掌握及熟練應用的過程是數學公式的“本質特征”在心理上的內化表征及特征外顯的過程，內化得越深，理解得越好，掌握得越牢．學生對數學公式的內化過程實質上是數學公式在人腦中的“模仿、整合→再認、轉化→存貯、再現”的心理表征過程，也是數學公式內化表征形式及特征外顯形式相互間的作用過程． 這需要強化“非標準變式”和反思的作用，進一步深化對數學公式本質屬性的認識，讓學生內化數學公式的表征．

案例6

活動一：變一變

（n+m）（-n+m）；（-x-y）（x-y）；（2a+b）（2a-b）；（x²+y²）（x²- y²）．

活動二：辨一辨

判斷下列各題能否用平方差公式計算，并說明理由．

（a²-5）（a²+5），（-a+b）（b-a），（a+b）（-a-b），（n+m）（-n+m），（a+2）（a-3），（2xy+3）（2xy-3）．

活動三：說一說

通過這堂課，你在數學知識、數學方法、數學思想等方面有什么收獲和體會？

評析 上述教學過程的“變一變”通過對平方差公式的非標準變式，即位置變化、符號變化、系數變化和指數變化，內化學生對平方差公式的表征；“辨一辨”綜合運用平方差公式的“標準變式”與“非標準變式”，內化學生對平方差公式的表征；“說一說”通過反思，內化平方差公式的本質特征，把新知識納入已有認知結構中建構新的認知結構，深化對數學方法和數學思想的理解． 教學中教師在“標準變式”的基礎上發揮“非標準變式”的功能，讓學生在“變”中認識、理解、掌握平方差公式的“不變”，這樣不僅使得學生理解了平方差公式的內涵，而且豐富了平方差公式的外延，更為重要的是讓學生深層次去理解和掌握數學公式的真正含義并能實際運用． 最后通過總結、反思數學活動，不僅使學生掌握數學公式，還深化了對數學方法與數學思想的認識．

教學啟示

1．清楚數學公式教學的本質要求

數學公式教學的本質就是以數學公式教學為載體，運用適當的數學方法，實現學生數學思維的發展和數學素養的提升． 作為數學原理內容之一的數學公式體現的是數學普遍意義、一般性規律，它與數學概念既有區別又有聯系． 簡單說，概念是人們對事物的本質認識，公式是事物之間的普遍規律，公式學習是建立在概念學習的基礎之上的［4］． 數學公式總是基于數學概念的，是對概念屬性的深層表征，也是聯系概念的紐帶，沒有數學概念，就不存在與概念相關的數學公式［5］． 公式教學主要由“從特殊到一般”的歸納推理，在對通例觀察、實踐的基礎上，經過歸納、概括而得到普遍規律． 概念教學的核心是概括，將凝結在數學概念中的數學家的思維打開，以典型豐富的實例為載體，引導學生展開觀察、分析各事例的屬性、抽象概括共同本質屬性，歸納得出數學概念［6］．

2．遵循數學公式教學的基本過程

實踐證明，“問題提出—通例辨析—特征普適—公式形成—鞏固應用—內化表征”是數學公式教學的基本過程． 問題提出是基礎環節，解決“為什么學”的問題；通例辨析是重要環節，解決即將呈現的數學公式“從哪兒來”的問題；特征普適是關鍵環節，解決數學公式的結構特征從“特殊”到“一般”的問題；公式形成是難點環節，解決“是什么”的問題；鞏固應用是拓展環節，解決“學了有什么用”的問題；內化表征是提升環節，解決“是否深入理解、掌握”的問題. 這六個基本過程承載不同的功能，構成了數學公式教學的六大環節，這六大環節構成了一個封閉的教學流程，也就是數學公式教學的基本套路，教師在教學中要深入理解、靈活運用． 當然，我們說的基本過程，這里的“基本”是指一般的、普遍的，基本并不代表不重要，基本也不是拘于這些步驟或過程，要根據不同數學公式本身的特點創新使用．

3． 揭示數學公式的本質特征

《義務教育數學課程標準（2022年版）》指出：教師要幫助學生感悟解決現實問題不僅要關注數學的知識，更要關注問題的背景知識，發現問題的本質與規律，然后用數學的概念、定理或公式予以表達［7］． 這就是說，數學公式教學要在揭示公式的本質上下功夫． 數學公式屬于數學原理的范疇，對其教學不僅要重視“原”，即開始的、最初的、本源的，也就是數學公式的最根本的東西，而且要重視“理”，即道理、事理，也就是數學公式的合理性、科學性． 這就要求數學公式教學要注重公式的發生、發展過程，讓學生理解所學數學公式“從哪兒來”“是什么”“有什么用”． 要精心設計教學，從具體實例出發，從學生實際經驗的肯定例證中，以歸納的方法概括出數學公式．遵循從整體到部分，從直觀到理性的原則，讓學生充分經歷“特例—發現問題—猜想—推導—得出公式—應用—變式”的數學活動，在這些數學活動中用數學的眼光去發現數學公式、理解數學公式、掌握數學公式、應用數學公式． 教師要充分發揮學生的主體作用，培養學生推理、歸納能力以及發現問題、解決問題的能力，從而滲透“從特殊到一般思想”“數形結合思想”“方程思想”“類比思想”“轉化思想”等數學思想，讓學生理解數學公式的真正含義及其作用，體現數學公式在數學學習中的地位和價值意義．

教無定法，但貴在得法．在數學公式教學中，教師只要靈活采用數學教學方法，讓學生經歷“問題提出、通例辨析、特征普適、公式形成、鞏固應用、內化表征”的基本過程，他們就會理解、掌握數學公式的本質特征，感悟其中蘊含的數學思想，從而發展數學思維，提升數學素養．

參考文獻：

［1］ 王震． 聚焦引入環節 啟迪學生思維：以數學公式教學為例［J］． 高中數學教與學，2021（02）：4-6．

［2］［3］［4］ 羅增儒． “兩個基本計數原理”的教學分析：“2016高中數學特色課堂案例分析研修會”發言稿（節選整理之二）［J］． 中學數學教學參考，2016（16）：25-29．

［5］吳增生． 3B教育理念下的高效率數學原理教學［J］． 中國數學教育，2011（Z3）：3-9．

［6］ 章建躍． 數學概念教學中培養創造能力［J］． 中小學數學（高中版），2009（11）：50．

［7］ 中華人民共和國教育部． 義務教育數學課程標準（2022年版）［M］． 北京：北京師范大學出版社，2022．