微專題：初中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué)的新模式

錢馮良

［摘? 要］ 微專題復(fù)習(xí)教學(xué)將零散的知識點進(jìn)行整理，使數(shù)學(xué)知識呈現(xiàn)整體化和系統(tǒng)化，能夠使學(xué)生形成完整知識框架，從結(jié)構(gòu)上整體把握. 教師通過專題設(shè)計，以問題為載體，激發(fā)學(xué)生主動參與學(xué)習(xí)的熱情，培養(yǎng)學(xué)生的動手實踐能力，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率.

［關(guān)鍵詞］ 微專題；初中數(shù)學(xué)；復(fù)習(xí)教學(xué)；整體化；系統(tǒng)化

微專題教學(xué)是以一定的主題將相關(guān)知識進(jìn)行整合，并通過問題進(jìn)行復(fù)習(xí)的一種教學(xué)方式. 長期以來單純的復(fù)習(xí)教學(xué)容易陷入“炒冷飯”或者習(xí)題講評的誤區(qū)，影響了復(fù)習(xí)的效果，也導(dǎo)致學(xué)生對復(fù)習(xí)課提不起興趣. 新課程改革對于數(shù)學(xué)課堂提出了具體的要求，要求在課堂上開展教學(xué)活動，落實學(xué)生的主體地位，引導(dǎo)學(xué)生積極主動地參與學(xué)習(xí)和獲取新的知識，培養(yǎng)學(xué)生交流合作及自主學(xué)習(xí)的能力. 因此數(shù)學(xué)課堂應(yīng)該具有整體性和系統(tǒng)性，將教材內(nèi)容有機整合，使其符合學(xué)生的認(rèn)知特點. 倘若在復(fù)習(xí)課中還是按照書本的章節(jié)進(jìn)行按部就班、形式單一的復(fù)習(xí)，不利于學(xué)生建構(gòu)完整的知識體系. 部分學(xué)生為了提高自己的考試成績，常常采用“題海”戰(zhàn)術(shù)，耗費大量的時間和精力做題，不僅沒能體會數(shù)學(xué)核心思想，學(xué)會用數(shù)學(xué)的眼光看待世界，還導(dǎo)致缺乏創(chuàng)新意識. 微專題復(fù)習(xí)能彌補復(fù)習(xí)課中的上述不足，能從一個較小的切入點帶領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行深入研究，同時又能擺脫零散的知識點教學(xué)，構(gòu)建完整的知識體系，由于微專題的切口小，還能避免因過大的專題導(dǎo)致思維太過跳躍，使學(xué)生學(xué)得太過吃力的問題［1］. 筆者進(jìn)行一些微專題的復(fù)習(xí)教學(xué)嘗試，取得了不錯的效果. 下面以“數(shù)軸上的動點問題”為例，談一談微專題復(fù)習(xí)教學(xué)的具體實踐，與同行交流探討.

研究背景

初一數(shù)學(xué)中有一個比較困擾學(xué)生的難點就是“數(shù)軸上的動點問題”，它是點在數(shù)軸上運動而形成的各種問題，相關(guān)題型綜合考查學(xué)生對知識的掌握情況以及運用知識的能力，因此一般以試卷中的壓軸題的形式出現(xiàn)，常常讓許多學(xué)生望而生畏，大約一半以上的學(xué)生不能順利解決這類問題. 其原因主要是學(xué)生對這類問題沒有完整而清晰的認(rèn)識，對題目考查的本質(zhì)意圖沒有理解，導(dǎo)致學(xué)生每次遇到這類問題雖然能聽懂教師的講解，但是自己獨立完成時又找不到解題的思路. 筆者嘗試?yán)梦ｎ}進(jìn)行專項復(fù)習(xí)，利用預(yù)習(xí)單進(jìn)行有針對性的復(fù)習(xí)，獲得了不錯的成效.

教學(xué)過程

1. 課前導(dǎo)學(xué)——有效預(yù)習(xí)

課前教師精心設(shè)計了“預(yù)習(xí)單”（如表1），提前發(fā)給學(xué)生，并要求學(xué)生在獨立學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上，在組內(nèi)進(jìn)行適當(dāng)?shù)难杏? 教師可以有意識地對小組的組長進(jìn)行適當(dāng)培訓(xùn)，對研討的內(nèi)容和目的進(jìn)行說明.

2. 課堂展示——匯報交流

課堂教學(xué)開始，教師利用多媒體出示“預(yù)習(xí)單”，并指出其中的問題，讓學(xué)生以小組為單位進(jìn)行匯報交流. 教師在聽取小組匯報的過程中進(jìn)行追問和評價，并組織學(xué)生之間和小組之間進(jìn)行互評，提出建議，最后教師進(jìn)行總結(jié).

（1）數(shù)軸上的動點問題，不僅有數(shù)量關(guān)系，還有圖形關(guān)系，因此數(shù)軸上的動點問題可以通過數(shù)量的加減進(jìn)行計算. 本課主要通過數(shù)形結(jié)合的方式來研究數(shù)軸上的動點問題的解決方法. （明確本課主題）

（2）通過絕對值來表示兩點之間的距離可以實現(xiàn)多種不同的情況采用統(tǒng)一的表達(dá)方式.

（3）使用含有字母的代數(shù)式來表示數(shù)軸上的動點P的位置，其依據(jù)是加法運算中的幾何意義、利用含有字母t的代數(shù)式表示M點的位置的依據(jù)是根據(jù)題目中線段之間的數(shù)量關(guān)系，并且可以通過列方程進(jìn)行表達(dá).

設(shè)計說明 通過檢查學(xué)生的“預(yù)習(xí)單”，發(fā)現(xiàn)學(xué)生在預(yù)習(xí)之后基本會模仿樣例對加法計算的幾何意義進(jìn)行描述，并且會使用絕對值表示兩點之間的距離，對于“預(yù)習(xí)單”中數(shù)軸上的動點問題也能基本解決，但是部分學(xué)生還不能解答“預(yù)習(xí)單”上“拓展思考”的問題. 因此，在課堂教學(xué)中，對于學(xué)生已經(jīng)學(xué)會的問題教師不需要再進(jìn)行重復(fù)教學(xué)，只要在學(xué)生展示過程中加以指導(dǎo)，引導(dǎo)學(xué)生解答疑難問題即可，這樣達(dá)到突出重點、詳略得當(dāng)?shù)哪康模?］.

3. 探究活動——解決問題

問題1? 已知，如圖3，數(shù)軸上的點A和點B分別表示－15和9，點P和點Q分別從點A和點B同時開始沿著數(shù)軸正方向移動，點P的速度是每秒3個單位長度，點Q的速度是每秒1個單位長度. 設(shè)運動時間為t秒，請問：

（1）在運動過程中，你可以用含有t的代數(shù)式來表示點P的位置嗎？

（2）在運動過程中，若點P，點Q和原點這三個點中的一點恰好是以另外兩點為端點的線段的中點時，t等于多少？

教學(xué)設(shè)計：

第一步，請一個學(xué)生回答問題（1），并進(jìn)行追問，用含有t的代數(shù)式來表示點P的位置的依據(jù)是什么？

第二步，引導(dǎo)學(xué)生分析解決問題（2）可以分為幾種情況.

第三步，請學(xué)生自主思考并小組合作計算，同時教師進(jìn)行巡視指導(dǎo).

第四步，組織學(xué)生進(jìn)行成果展示，教師進(jìn)行指導(dǎo)評價，并組織學(xué)生和小組之間進(jìn)行互評.

第五步，教師講解規(guī)范的答題過程：

①當(dāng)點P在點O的左邊時，點O是中點，因此可以列式－15+3t=－（9+t），解得t的值為3/2.

②當(dāng)點P在點O的右邊，在點Q的左邊，并且是中點時，可以列式1/2（9+t）=－15+3t，解得t的值為39/5.

③當(dāng)點P在點O、點Q的右邊，點Q是中點時，可以列式2（9+t）=－15+3t，解得t的值為33.

最后，教師總結(jié)本題的基本解答思路：首先用含有t的代數(shù)式表示動點的位置，再通過分類的辦法，分情況進(jìn)行討論分析，利用和線段有關(guān)的數(shù)量關(guān)系列方程進(jìn)行求解.

問題2? 已知，如圖4，數(shù)軸上點A、點B和點C分別表示－24、－10和10，兩只小甲蟲分別從點A和點C同時出發(fā)相向而行，甲的速度是每秒4個單位長度，乙的速度是每秒6個單位長度. 請問：

（1）若甲分別到點A，B，C的距離的和為40個單位長度，那么它們運動了多長時間？

（2）甲、乙會在哪個點相遇？請你在數(shù)軸上表示出來.

（3）當(dāng)甲分別到點A，B，C的距離的和為40個單位長度時，立即掉頭返回，請問：甲、乙還會在數(shù)軸上相遇嗎？如果能，請你求出它們相遇的點. 如果不能，請你說明理由.

教學(xué)設(shè)計：

第一步，引導(dǎo)學(xué)生分析問題（1）的解題方法：

①如果甲分別到點A，B，C的距離的和為40個單位長度，那么甲會在點C的右邊嗎？

②假設(shè)它們運動的時間為t秒，請你用含有t的代數(shù)式表示甲的位置.

③請問怎么表示甲分別到點A、B、C的距離？

④若甲分別到點A，B，C的距離的和為40個單位長度，請你列出相應(yīng)的方程.

⑤你能求出上題所列方程的解嗎？

第二步，引導(dǎo)學(xué)生分析問題（2）的解題方法：

①設(shè)運動時間為t秒，請你分別用含有t的代數(shù)式表示甲和乙的位置.

②根據(jù)已知條件，可以列出哪些方程？

③所列的方程的解是什么？它們相遇的點在哪里？

第三步，引導(dǎo)學(xué)生分析問題（3）的解題方法：

①當(dāng)t的值為2時，請問甲、乙分別在哪里？甲、乙它們能相遇嗎？為什么？

②當(dāng)t的值為5時，請問甲、乙分別在哪里？甲、乙它們能相遇嗎？為什么？

最后，教師呈現(xiàn)規(guī)范解題過程：

①設(shè)運動時間為t秒，那么甲的位置為（－24+4t），根據(jù)題意可以列式：（－24+4t）－（－24）+（－24+4t）－（－10）+10－（－24+4t）=40，解得t的值為2或者5.

②設(shè)運動時間為t秒，那么甲的位置為（－24+4t），乙的位置為（10－6t），根據(jù)已知條件可以列式：（－24+4t）－（－24）+10－（10－6t）=10－（－24）. 經(jīng)過計算，可以得到t的值為3.4，因此相遇的點可以表示為－24+4×3.4= －10.4.

③當(dāng)t的值為2時，甲的位置表示的數(shù)為－16，乙的位置表示的數(shù)為－2. 因為乙比甲的速度快，所以乙可以追上甲. 根據(jù)題意可以列式：－2－（－2－6t）－［－16－（－16－4t）］=－2－（－16）. 經(jīng)過計算可以得到t的值為7，即相遇的點可以表示為－2－6×7=－44.

當(dāng)t的值為5時，甲位置表示的數(shù)是－4，乙位置表示的數(shù)是－20，因為甲比乙的速度慢，所以甲和乙不能相遇.

問題3? 已知，如圖5，點A、B和線段CD都在數(shù)軸上，點A表示－2，點C表示0，點D表示3，點B表示12，線段CD以每秒1個單位長度的速度向正方向移動. 設(shè)運動時間為t秒，回答下列問題：

（1）當(dāng)t的值分別為0和2時，線段AC的長度分別是多少？

（2）請用含有t的代數(shù)式表示線段AC的長.

（3）若AC與BD的差為5，那么t的值是多少？若AC與BD的和為15，那么t的值是多少？

（4）如果點A與線段CD同時出發(fā)沿數(shù)軸的正方向移動，點A的速度為每秒2個單位長度，在移動過程中，能使AC的長度等于BD的2倍嗎？如果可以，請求出t的值；如果不可以，請說明理由.

教學(xué)過程：

第一步，請學(xué)生回答問題（1）.

第二步，再請一位學(xué)生回答問題（2）.

第三步，引導(dǎo)學(xué)生對問題（3）的解題方法進(jìn)行分析：

①在移動過程中，點D在點B的左邊還是右邊？

②設(shè)移動的時間為t秒，你能用含有t的代數(shù)式分別表示動點C和動點D的位置嗎？

③AC與BD的差為5，可以列出哪些方程，求出t的值是多少？

④AC與BD的和為5，可以列出哪些方程，求出t的值是多少？

第四步，引導(dǎo)學(xué)生對問題（4）的解題方法進(jìn)行分析：

①在移動過程中，點D在點B的左邊還是右邊？點A在點C的左邊還是右邊？

②設(shè)移動的時間為t秒，那么動點A的位置為（－2+2t），動點C的位置為（0+t），動點D的位置為（3+t），你能用含有t的代數(shù)式分別表示AC與BD的長度嗎？

③假設(shè)AC是BD長度的2倍，那么可以列出哪些方程？這些方程的解是什么？

④請你根據(jù)方程的解來回答問題.

最后，教師呈現(xiàn)問題（4）的規(guī)范解題過程：

設(shè)運動時間為t秒，那么點A的位置為（－2+2t），點C的位置為（0+t），點D的位置為（3+t）. 假設(shè)AC的長度是BD長度的2倍，那么可以列式：（－2+2t）－（0+t）=2（3+t）－12，經(jīng)過計算可以得到t的值為16或者20/3，因此，當(dāng)t等于16秒或者20/3秒時，AC的長度是BD的長度的2倍.

總結(jié) 數(shù)軸上的動點問題的基本解題思路是：首先用含有字母的代數(shù)式將動點的位置表示出來，接著通過分類討論結(jié)合已知條件列方程進(jìn)行計算. 學(xué)生的錯誤或者解題的困難主要表現(xiàn)在：不會有效利用代數(shù)式表示動點的位置，缺少分類討論的思維能力，缺少利用絕對值對線段的長度進(jìn)行表示并列出方程的經(jīng)驗［3］. 因此在教學(xué)時還應(yīng)著重引導(dǎo)學(xué)生利用已學(xué)知識進(jìn)行方法的建構(gòu).

4. 回顧反思——認(rèn)識內(nèi)化

首先，教師列出一系列問題，引導(dǎo)學(xué)生對這些問題進(jìn)行思考和總結(jié).

（1）解決數(shù)軸上的動點問題一般有哪些步驟？

（2）為什么要用含有字母的代數(shù)式表示動點的位置？

（3）運用絕對值表示線段的長度有哪些好處？

（4）通過今天的學(xué)習(xí)你有哪些收獲？

其次，在學(xué)生進(jìn)行交流討論時，教師適當(dāng)指導(dǎo).

最后，教師進(jìn)行課堂總結(jié). ？搖

教后反思

微專題的數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué)方式體現(xiàn)了以過程為核心、以學(xué)生為主體的教育理念，對于問題中涉及的知識技能、解題思路、數(shù)學(xué)思想等通過分類討論、引導(dǎo)探究、逐步總結(jié)的方式一一呈現(xiàn)，條理清晰，教學(xué)過程層層遞進(jìn). 在教學(xué)活動中，學(xué)生的觀察能力、思維能力、數(shù)學(xué)猜想能力和分類討論能力得到了有效的提升. 本課例的成功關(guān)鍵在于：第一，為學(xué)生提供了有效的“預(yù)習(xí)單”，學(xué)生在課前做了充分的準(zhǔn)備，使課堂教學(xué)重點更加突出和具有針對性；第二，教師對專題進(jìn)行了深入研究和理解，精心設(shè)計了環(huán)環(huán)相扣的問題，引導(dǎo)學(xué)生由淺入深地進(jìn)行學(xué)習(xí)，提高了課堂教學(xué)效率.

參考文獻(xiàn)：

［1］ 王煒煜. 基于核心素養(yǎng)下中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)學(xué)思想方法的滲透［J］. 中學(xué)數(shù)學(xué)研究（華南師范大學(xué)版），2020（06）：13-15.

［2］ 李樹臣，曹繼生. 加強思想方法教學(xué)提高學(xué)生整體素養(yǎng)［J］. 中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2017（10）：3-7.

［3］ 劉岳，康翠. 初中數(shù)學(xué)簡約課堂教學(xué)的探索與實踐［J］. 教學(xué)與管理，2015（25）：41-44.