巧妙轉化，化繁為簡

王錦萍

［摘? 要］ 基于培養學生解題能力的需要，在初中數學解題教學中，最需要重視的數學思想方法之一就是轉化思想. 轉化思想有助于學生更好地把握解題過程，尋找反思解題過程的抓手. 轉化思想在初中數學教學中有著重要的理論價值，要把這種理論價值變成真正的實踐價值，關鍵還在于組織解題教學. 解題教學的重點是想方設法讓學生體驗轉化思想的過程，并且養成反思的學習習慣. 轉化思想，是初中數學解題教學的主要線索，也是學生體驗解題過程的主要線索. 轉化思想一旦成為解題教學的線索，那解題教學就會變得高效，學生也會收獲滿滿. 這種收獲既體現在解題能力上，又體現在數學學科核心素養上. 數學課堂從知識教學走向數學思想方法滲透，最終落實核心素養.

［關鍵詞］ 初中數學；轉化思想；解題教學

解題教學是初中數學教學的重要環節，無論是基于現實的應試需要，還是基于數學學科核心素養培養的需要，都繞不開解題教學這一重要環節. 解題教學使得學生所學得的數學知識具有較強的應用性，有助于發展學生的思維. 從現實情況來看，初中學生在數學解題中所遇到的挑戰是多方面的. 學生對傳統題目的解答效率上不去，新型習題的解答方向難以明確，同一習題出現多種方法時難以做出選擇……這些是學生迫切想要解決的問題，但是由于種種客觀條件的限制，學生在嘗試解決這些問題的時候，所采用的方法就是進行更多的習題訓練，這實際上是路徑依賴的產物. 對絕大多數學生而言，他們提升解題能力的唯一方法，就是增加習題的訓練類型與訓練量，如此形成的解題能力，通常體現為迅速識別熟悉題型以及一定程度上提高解題速度等，而這些都不能算是根本的突破.

那么怎樣才算是根本的突破呢？當然是指解題思想方法的提煉. 解題思想方法，實際上就是解決數學問題的思想方法，與數學知識學習過程中表現出來的思想方法并沒有質的區別，如果非要說有區別的話，那區別就在于這些思想方法運用的場合不同，學生最終形成的直覺不同. 不過這種不同不會產生質的影響，這是因為數學思想方法原本就具有遷移性，數學思想方法的生命力就體現在其能夠在多個場合得到應用. 本著這樣的思路，并基于培養學生解題能力的需要，筆者認為在初中數學解題教學過程中，最需要重視的數學思想方法之一就是轉化思想.

顧名思義，轉化思想貴在轉化. 轉化的目的在于化繁為簡、化難為易. 轉化的過程也是有技巧的，如果能夠讓學生在轉化的過程中掌握相關的技巧，就可以讓學生對轉化思想產生認同感，當然也就會有更良好的體驗. 近年來筆者在初中數學解題教學中，一直注意轉化思想的滲透，摸索出了轉化思想的教學方法，現總結出來與同行分享，并期待同行的點評.

轉化思想在初中數學解題教學中的理論價值

通常一線教師的教學研究會有兩種價值取向. 一種是滿足應試的需要，只要能夠讓學生獲得解題能力，在中考中獲得分數就行. 在這樣的價值取向之下，解題教學的研究重心，一定會放在題型的收集上，以使學生能夠高效解答多種類型的題目. 但是這種解題教學有一個缺陷，那就是學生無法形成系統性認識，而且教師難以摸索出一條行之有效的教學途徑. 另一種是從理論與實踐的角度建立起關于解題教學的系統認識，既關注學生的解題直覺，又重視對學生進行思想方法的滲透. 這樣的研究價值取向的缺點在于花費的時間較多、必須進行相對系統的理論學習，還要通過總結與反思來提煉思想方法. 但是其優點也是顯而易見的，可以讓解題教學變得可持續. 在新課改的背景下，當代教師應關注第二種價值取向.

帶著這樣的思路來看轉化思想，可以發現轉化思想是常用的數學思想之一，是指在研究新問題或復雜問題時，把其轉化為已知的或比較簡單的問題來解決. 因此，從這個角度來看，轉化思想在初中數學解題教學中的理論價值，至少應當體現在以下兩個方面.

第一個方面，轉化思想有助于學生更好地把握解題過程. 對相當一部分初中生而言，數學解題的過程是非常繁雜的. 很多學生在成功解題之后，讓他們說出自己是如何成功解題的，他們都會吞吞吐吐、語焉不詳. 這倒不是學生不想說，而是他們確實說不出來. 會做卻說不出來，為什么會出現這種情況呢？答案很簡單，這是因為學生在日復一日的習題訓練當中，所形成的是關于熟練題型的解題直覺，通常都處于“知其然，卻不知其所以然”的狀態，解題方法更多地以默會的形式存在. 轉化思想作為最常見的解題思想方法，其優點就在于可以讓學生在解題的時候，梳理自身的解題思路. 解題的過程就是從已知走向未知的過程，化解難題的過程就是想方設法化繁為簡的過程，無論采用怎樣的方法，都可以稱之為“轉化”. 當“轉化”成為學生大腦中的一個明確概念時，無論解什么樣的題，他們都會想到“轉化”.

第二個方面，轉化思想有助于學生尋找反思解題過程的抓手. 很多教師認為解題能力是在學生解題過程中養成的，實際上解題能力更多的是在反思過程中形成的. 有經驗的教師，在解題教學中會強調解題要能夠從“一道題”走向“一類題”，只可惜這種經驗卻沒有轉化為學生的解題智慧. 那么真正的解題智慧是什么呢？應當是讓學生在成功解題之后去進行深刻反思. 最簡單且最有效的驅動性問題就是：我（指學生）是怎樣成功解決這道習題的？只要學生緊扣這個問題進行反思，那么他反思的對象就一定蘊含轉化思想. 這時，轉化思想就成為學生解題反思的一個重要抓手.

轉化思想在初中數學解題教學中的應用分析

通過以上分析可知，轉化思想在初中數學教學中有著重要的理論價值. 轉化思想的核心在于從未知轉化為已知，化繁為簡，提高解題效率，發展思維能力. 要把這種理論價值轉化為真正的實踐價值，關鍵還在于組織解題教學. 基于上述分析，可以得出的一個初步結論：解題教學的重點就是想方設法讓學生體驗轉化思想，并且形成反思轉化思想方法運用的學習習慣.

人教版初中數學教材特別注意對習題的精心選擇與編制，其中的大部分例題都能夠起到促進學生解題能力提升的作用，還有相當多的例題可以成為轉化思想的教學載體. 在人教版初中數學七年級上冊“整式的加減”章節最后的綜合運用中，有這樣一道題：

例題呈現 某公園計劃砌一個形狀如圖1所示的噴水池（圖中長度單位：m），后來有人建議改為圖2的形狀，且外圓的直徑保持不變. 請你比較兩種方案，確定哪一種方案砌出的圓形水池所需要的材料多. （提示：比較兩種方案中各圓形水池周長的和.）

很顯然，這道題目具有一定的現實意義，其運用了公園砌噴水池這樣來自生活的事例. 考慮到初中生的理解能力，這道題目有兩個臺階：一是直接給出了圖形，而沒有用文字來描述這些圖形的特征；二是給出了“提示”，告訴學生比較砌水池所用的材料，實際上就是比較周長.

如果意識到這兩個臺階的存在，那么在這道題的解題教學過程中，轉化思想的體現就有了很大的空間；反之，如果意識不到這兩個臺階的存在，那么在這道題的解題教學中，就不容易體現解題過程中的轉化思想. 這也提醒一線教師，要想落實轉化思想的教學，很多時候就要研究教材題目，發現解題過程中隱含的轉化思想，通過對題目的優化與改變，讓學生擁有體驗轉化思想的機會. 在本題的解題教學中，筆者所做的優化與改變，就是將這兩個臺階撤掉. 這樣的題目對學生來說有一定的難度. 當學生就更容易進入攻堅克難的狀態，這個時候再用圖形和提示來幫助他們化解難度，學生就會發現圖形和提示具有重要的價值，而圖形和提示本質上就是轉化思想的載體. 因此，筆者在教學中先向學生提供的是這樣一個題干：

例題變形 某公園計劃砌兩個半徑為r且外接的圓形的噴水池；后來有人建議將這兩個水池改為藝術形狀的造型，即在保留一個圓形水池的情況下，在這個圓形噴水池的一條直徑上并排砌三個較小的圓形噴水池，半徑分別為r/2，r/3，r/6. 請你比較兩種方案，確定哪一種方案砌出的噴水池所需要的材料多.

從文字表述的角度來看，該題的含義與原題是一致的，但很顯然這樣表述抽象很多，學生必須根據文字的表述，在大腦當中構建相應的表象. 這會讓學生遇到第一個困難——理解題意的困難. 這并不是為學生刻意制造困難，實際上是為了培養學生的表象建構能力（本質上就是轉換能力）. 很多題目無圖且文字極少，學生解決時面臨巨大的困難，說到底都是轉化能力薄弱所導致的. 因此，設計這種較難理解的題目，可以有效培養學生的轉化能力. 當學生在解題過程中感覺到抽象時，教師可以引導學生在草稿紙上畫圖. 畫圖的時候允許學生出錯，鼓勵學生交流，只要學生在體驗轉化的過程即可. 同樣，在學生畫出正確的圖形之后，也可以交由學生自己去完成問題中從“比較材料多少”向“比較周長大小”的轉化.

在學生體驗轉化思想在解題中的應用之后，教師必須重視后面的反思環節，使學生在反思中發現，通過畫圖，可以降低題目的難度. 將生活素材轉化為數學素材，然后再用數學知識去解答，是學生必須掌握的思想方法. 當學生認識到這些的時候，就是他們認同轉化思想、獲得轉化能力的時候.

轉化思想在初中數學解題教學中的應用反思

如果說學生在反思當中可以獲得對轉化思想的感悟的話，那么教師同樣也可以在反思中獲得解題教學能力的提升. 美國學者波斯納特別重視教學反思的作用，他認為反思是促進教師專業成長最重要的動力之一. 那么在反思轉化思想在初中解題教學中的作用時，又能得出哪些有益的啟發呢？對此筆者進行了認真細致的梳理，形成了如下兩點認識.

一是轉化思想必須成為初中數學解題教學的主要線索. 教師的教學一定是受教學線索牽引的，很多教師在教學設計的時候，都會有意無意地尋找一條線索貫穿教學的始終. 習題教學尤其如此，只有明確了教學線索，課堂上出現的各種習題才不會像一盤散沙一樣毫無章法，學生才能從一道題目自然地過渡到另一道題目. 如果教師將包括轉化思想在內的數學思想方法作為解題教學的線索，那么解題教學的過程也會十分清晰.

二是轉化思想應當成為學生體驗解題過程的主要線索. 這是站在學生的角度進一步強調轉化思想的線索價值，這一點實際上更加重要. 因為當學生在若干個題目的解答過程中，能夠體驗到轉化思想的作用時，才會形成累積效應，才會在一點點積累中，提升對轉化思想的認知. 學生對轉化思想的認識不是一朝一夕就能形成的，只能在一題又一題的體驗中慢慢積累，只能在一次又一次的反思中鞏固.

以上兩點認識，實際上指向教學的兩個方面，當這兩個方面結合起來成為教學過程的一體兩面時，轉化思想在初中數學解題教學中就能真正落地生根. 大量的教學實踐表明，轉化思想一旦成為解題教學的線索，解題教學就會變得高效，學生也會收獲滿滿. 這種收獲既體現在解題能力上，又體現在數學學科核心素養上. 畢竟，從知識教學走向數學思想方法滲透，核心素養就能得以落實.