淺析數形結合思想在中考試題中的應用

丁秀珍

［摘? 要］ 數學原本是研究數與形的學科，而且數與形是密不可分的，可以用數去高度概括規律，用形使抽象的數學研究對象或規律變得直觀形象. 數與形的結合可以激發數學學習者與研究者的形象思維與抽象思維，可以體現數學學科的抽象性與簡潔性等特點，因此數形結合思想必然會成為最基本的數學思想. 教師應當認識到數形結合在中考試題中的應用價值，還應體現在學生的數學思維、數學思想，乃至當下強調的數學學科核心素養上. 數學教師要扎實研究好數形結合，思考其在中考試題中的應用，思考其對數學學科核心素養評價的應用.

［關鍵詞］ 初中數學；數形結合思想；中考試題

隨著課程改革越來越深入，數學思想在日常的初中數學教學中也越來越受到重視. 所謂數學思想，就是人們對數學活動經驗的概括和總結，并在此基礎上概括出來的思想與方法. 數學思想是解決數學問題的靈魂，對它的提煉、概括和應用，有利于提高學生的思維水平. 一般來說，初中數學中常用的數學思想有數形結合思想、整體思想、轉化思想、建模思想、分類討論思想、類比思想等［1］. 在這么多的數學思想當中，數形結合思想是最為常見的數學思想之一，可以說它伴隨著學生數學學習的始終. 一個直接的原因，就是數學原本是研究數與形的學科，而且數與形是密不可分的，可以用數去高度概括規律，用形使抽象的數學研究對象或規律變得直觀形象，數與形的結合可以激發數學學習者與研究者的形象思維與抽象思維，可以體現數學學科的抽象性與簡潔性等特點，因此數形結合思想必然會成為最基本的數學思想.

日常的教學總是受考試評價影響的，考試的指揮棒對于數學思想的學習與應用來說也有著決定性作用. 日常的數形結合思想研究都是基于數學知識或者規律的教學進行的，目前，對于中考視域下的數形結合思想研究相對偏少，筆者認為應引起大家的重視. 思考并分析數形結合思想在中考試題中的應用，應當成為每一個初中數學教師的基本功，應當是日常的數形結合思想教學的出發點與落腳點. 基于這樣的認識，筆者以蘇科版中學數學試題的分析為例，略談數形結合思想在中考試題中的應用.

數形結合思想在中考試題中的應用價值

中考最基本的功能就是對學生的評價，中考試題直接評價的是學生的解題能力，這一點容易為教師所感知，因此在教學中教師的直接努力方向就是學生的應試能力. 然而，中題實際上還有一個更為基本的功能與價值，就是對數學思想的評價價值. 數形結合作為最基本的數學思想，在中考試題中有著普遍的體現與應用，其最直觀的表現就是一道題目當中往往會出現圖形，學生在理解題目信息的時候會同時借助題目文字與圖形來進行，當學生看到相關的中考題時，就會借助日常學習過程中形成的數形結合思路，來解析題目，建構意義. 值得一提的是，有一些中考試題只有文字信息，而沒有圖形，學生在面對此類題目的時候，往往會有兩種分析思路：一種是直接基于文字進行分析，另一種是借助圖形進行分析（當然需要學生根據題目的文字信息進行圖形的構造），這兩種分析思路對應的思維方式是不一樣的，其反映著同樣的一道中考試題對不同的學生，能夠考查出來的能力也是不一樣的. 這也就提醒初中數學教師，必須認真研究數形結合在中考試題中的應用價值.

那么，數形結合在中考試題中的應用價值是怎樣的呢？

分析表明，數形結合思想在數學考試評價（也就是中考試題）中的應用，實際上就是引導學生借助圖形和數量的關系以及二者之間的數學思想的轉化，去找到符合邏輯關系的解題方法. 數形結合思想涉及的知識面很廣，它可以把抽象、復雜的文字數學題轉化為生動容易理解的圖形數學題，便于學生掌握，幫助學生培養數學思維能力和訓練數學解題能力，提高學習效果［2］. 這樣的分析代表著當前初中數學教學中，對數形結合思想的共性認識.

在此基礎上，教師還應當認識到數形結合在中考試題中的應用價值，還應體現在對學生的數學思維、數學思想，乃至當下強調的數學學科核心素養的評價上. 分析可以發現絕大多數數形結合的中考試題的求解，其實就是通過數與形來提供信息，要求學生基于一定的數學關系，利用邏輯推理去實現問題解決的過程. 這個過程當中數形結合的運用是數學思想的直接體現，邏輯推理作為數學學科核心素養的要素之一是數學思維的體現. 在日常的教學中教師借助中考試題（也就是所謂的中考真題）去實施教學，一個很重要的目的就是超越應試能力的培養，去實現對學生數學思維、數學思想、數學核心素養的綜合判斷，并在此基礎上尋找到新的培育思路.

基于數學中考試題的數形結合分析

初中數學教師最擅長的工作是實踐研究和案例研究，在研究數學中考試題中的數形結合時，通常也需要借助具體的中考試題解析過程來進行. 值得注意的是，受應試習慣的影響，教師對中考試題的分析都是在知識點分類的基礎上進行的，往往會從考點把握、解題技巧的角度去解析試題，而數形結合實際上強調的是學生的數學思想的運用，因此要切實有效培養學生的數形結合能力，就必須從這一角度切入，讓學生有一個清晰的感知數形結合的過程. 其中，最需要強調的就是在學生已有的認知基礎上，讓學生發現采用數形結合思路后，解題都會有一個新的突破.

從初中數學知識體系的角度來看，函數是中考命題的重要考點，其既關注函數基礎知識和基本技能，又兼顧基本思想和基本活動經驗. 具體的中考試題形式多樣，既考查學生對函數變化與對應思想、數形結合思想、模型思想的感悟和理解，又考查學生運用函數知識解決問題的能力，對學生的探究能力、分析能力、問題解決能力等數學素養提出了更高的要求. 由于函數知識具有高度的綜合性與概括性，故對中考函數試題的分析具有一定的代表性.

例如，有這樣一道中考試題：若二次函數y＝ax²+bx+c的圖象與x軸有兩個交點M（x₁，0），N（x₂，0）（0＜x₁＜x₂），且經過點A（0，2）． 過點A的直線l與x軸相交于點C，與該函數的圖象相交于點B（異于點A）． 滿足△ACN是等腰直角三角形，記△AMN的面積為S₁，△BMN的面積為S₂，且S₂=5/2S₂．

（1）拋物線的開口方向_____（填“上”或“下”）；

（2）求直線l相應的函數表達式；

（3）求該二次函數的表達式.

分析 這是一道考查二次函數知識點的中考試題. 從命題的角度來看，是一道典型的數形結合的試題，其通過對二次函數圖象信息的提供，給出了圖象與x軸的兩個交點的坐標，但坐標值未知；同時明確函數圖象經過一個已知坐標的點. 就這部分信息而言，對于大多數初中生來說并不陌生，但是題目考查的角度比較巧妙：一方面給出的圖形上面雖然有三個點的坐標，但沒有拋物線的圖象；另一方面明確了有一條過已知點的直線，這條直線與函數的圖象相交于異于A點的B點. 尤其巧妙的是，在這些條件的基礎上構建了一個等腰直角三角形，以及與之相關的另外兩個三角形.

有了這些條件疊加的限制，這道中考試題的難度就直線上升了. 學生在解題的過程中，必然要同時對數與形的信息進行思考，而這樣一個同時思考的過程，實際上就是數形結合思想得以體現的過程. 盡管學生自己未必意識到這就是數形結合思想的體現與運用，但是在實實在在的解題過程中，數形結合已真正發生了. 盡管從宏觀層面來看，數形結合是一個高度概括的描述，但是從學生思維的角度來看，他們必然要借助圖形，結合題目給出的數字信息，去運用邏輯推理的方法，建構出二次函數在平面直角坐標系上的基本圖形. 首先就是對第一個問題的回答，也就是拋物線的開口向上還是向下；其后對形成的三角形的判斷，尤其是根據題目告知的“△ACN是等腰直角三角形”，去建構對△AMN與△BMN的認識，因為只有形成了這樣的認識，才能借助題目給出的面積關系，去求解另外兩個問題. 其中涉及表象的想象與建構——與學生的形象思維能力、表象建構能力、直觀想象能力密切相關，也涉及數學關系的建立——與數學模型（二次函數）、邏輯推理密切相關.

核心素養視角下審視數形結合應用

很顯然這么一道中考試題，是通過數形結合的方式來評價學生的多項能力. 這對于初中數學教師日常教學的啟發來說，就應以數形結合為教學的線索，將學生的能力考查統一到試題的分析與解答中來. 事實證明，通過這樣的思路可以明確教學的方向，并且對未來的中考形成一定的判斷.

如同上面提及的，數形結合一方面是數學教學的優秀傳統，表征數學學科的基本特征，另一方面對當下所強調的數學學科核心素養的培育，具有一定的指導與啟發作用. 在核心素養的視角下審視數形結合，意味著教師要在繼承初中數學教學傳統的同時，應更多地從數學學科核心素養落地的角度，去尋找有效的教學途徑. 今后的中考數學試題必然也會更加明確地指向核心素養，教師就要從現在開始真正扎實研究好數形結合，思考其在中考試題中的應用，思考其對數學學科核心素養評價的應用.

數形結合既是一種數學思想，又是一個重要的解題工具，其能夠幫助學生更好地理解數學課程的價值，同時能夠幫助學生打開問題解決的空間. 學生接納數形結合思想后，很重要的一點就是能夠將數與形有機地結合在一起，能夠在看到數的時候自然想到形，在看到形的時候自然想到數——這里所說的“自然想到”，其實就是一種良好的數學直覺，是一種下意識. 對于絕大多數初中生而言，通過必要的訓練與反思，是能夠達到這一水平的. 因此，數學教師要堅定數形結合的教學思路，真正讓其成為教師教學和學生學習的主要線索之一.

總而言之，數形結合在初中數學教學中的地位是基礎性的，同時也是極其重要的. 人們常說，數形結合百般好，隔離分家萬事休，幾何代數統一體，永遠聯系莫分離. 數學教師要認識到通過數與形的有機結合，可以使學生的思維完成從“形象”到“抽象”的概括，從“抽象”到“形象”的再現. 通過數形結合去理解數學思想方法，可以發現其既是數學的基礎知識，是知識的精髓，又是將知識轉化為能力的橋梁，用好了就是能力（自然也就是素養以及核心素養）. 因此數學教師在教學中要注重數學思想方法的滲透、概括和總結，要重視包括數形結合在內的數學思想方法在解題尤其是中考試題的解答應用. 只有做到這一點，學生才能在面對中考的時候做到知己知彼而百戰不殆.

參考文獻：

［1］ 徐杰忠，竹繼安. 數學思想在中考解題中的運用［J］. 中學數學，2010（12）：44-47.

［2］ 孫維. 數形結合思想在初中數學中的應用［J］. 數學學習與研究（教研版），2009（01）：74-75.

［3］ 胡玲君. 2019年中考“函數”專題解題分析［J］. 中國數學教育，2020（Z1）：63-71.