基于高中數學建模素養下TPACK模式的實踐研究

吳文濤 張毅

【摘要】數學建模是高中數學教學的重要形式，TPACK模式能夠帶領學生從教學技術的角度對數學建模進行認識.為了保障學生對TPACK模式的接受效果，教師需要從數學建模活動的方案設計出發，融合數學學科特點為學生帶來更為全面的教學體驗.在此基礎上，教師需要結合高中課程內容，以保障TPACK模式能夠切實有效地發揮出教學優勢，以此推動數學建模的實踐應用，使之能夠形成良性的教學體系，融入教師的日常教學活動中來.

【關鍵詞】高中數學；建模；TPACK模式；實踐應用

【基金項目】本文系馬鞍山市教育科學規劃2022年度立項課題“基于高中數學建模素養TPACK模式的實踐研究”（課題編號MJG22041）的研究成果.

在TPACK理論中，強調技術知識、教學知識以及內容知識三者之間的作用關系與三者之間的有機整合，并且強調這種有機整合是教師對學生開展有效教學的根本與基礎.從實際來看，TPACK模式注重教學技術與學科特點的有機融合，這與當下的教學基礎設施的建設與信息化教學技術的進步相契合.在過去的高中數學教學中，數學建模通常會采用建立具體實物模型的方式進行，因此教學過程會受到教學場地與教學時間的限制，不能跟隨教師的教學進程進行靈活應用.教師可以從TPACK模式的出發，采用教學技術進行數學模型的構建，使教學模式能夠在數學知識展示與實施方式上進行突破，進而實現高中數學教學模式的整體優化.

一、高中數學中TPACK理論對數學建模教學的影響

在高中數學的教學過程中，數學模型的構建在于將抽象的數學知識轉換為具體的模型案例，使學生可以通過模型中的數學語言進行學習.但對于學生來說，他們還需要經過教師的教學展示才能對數學模型進行有效認識，單薄的展示方式則會制約數學模型的應用效果，這正是TPACK理論的方向所在.在TPACK理論下，教師不僅可以通過教學技術進行數學模型的構建，還可以通過多元化的教學方式對數學模型進行展示，使數學語言表達更為簡便，進而促進學生對數學模型的理解.

二、高中數學對于TPACK理論與數學建模的融合應用

高中階段的數學教學是以培養學生的數學核心素養為導向開展的綜合性教學，對于數學建模的應用也是為了促進整體的教學進程.因此，TPACK理論與數學建模的融合應用服務于學生對數學教學過程的參與.這不僅體現在TPACK理論對數學模型的構建方向上，也體現在TPACK理論下數學模型的設計原則上，而不是簡單地將TPACK理論在數學建模中的應用理解為在數學模型中堆砌各類教學技術.

（一）TPACK理論對于數學模型的構建方向

在高中數學教學中，TPACK理論對于數學模型的構建方向需要教師能夠從宏觀的角度進行認識.這就需要教師將數學建模看作數學教學過程中的有機組成部分，使數學建模能夠根據學生的認知需求實現靈活應用，使之成為教師進行數學教學的常用工具，進而引申出從TPACK理論的角度對數學模型的構建方向進行明確，即采用教學技術的形式使數學模型的構建與高中數學教學過程深度融合，并由此形成以教學技術支持數學建模為表皮，以促進學生掌握知識為內核的教學形式.

（二）TPACK視野下的數學建模設計原則

數學建模是教師對學生進行知識傳遞的工具，其本身就是對高中數學教材中不易直接理解的知識的加工.因此，TPACK視野下的數學建模設計原則是提高學生對數學模型的學習效率，使數學建模通過教學技術的優化更加符合高中學生的認知習慣.在此基礎上，進行數學建模的設計時，教師需要有針對性地選取合適的教學技術，使所用教學技術的優勢得到發揮.如利用信息技術進行數學建模的優勢在于知識承載力高、靈活性強，利用物理技術進行數學建模的優勢在于邏輯性強、直觀性強.

三、結合高中數學課程內容，TPACK理論下的數學建模

對于TPACK理論下的數學建模來說，有效地結合高中數學課程內容并根據相關知識特點設計合適的數學模型，是在TPACK理論下進行教學技術應用的重點.因此，準確地把握高中數學課程內容，設計出針對學生認知需求的數學模型，構成了數學教學的核心環節.在高中數學教學中，教師要考慮到學生之間的學科核心素養差異以及關注學生學業狀況的動態變化，實現對數學模型構建的動態調整，使數學模型的設計內容與方式跟隨學生的變化去適應，而不是學生去適應TPACK教學模式.

（一）在函數教學中的實踐應用

函數教學是高中數學的重要構成，不僅僅是因為函數是高考數學的重要考點，是聯系多個數學知識點的重要橋梁，更是因為函數自身的數學魅力，它是學生認識數學學科的有效途徑.在TPACK理論下，數學建模不應該只服務于單一函數知識，而應該帶領學生通過函數的視角進行關聯性認知，這也是在函數教學中引入數學建模的重要原因.函數本身與TPACK模式的契合為教師開展相關主題的數學建模提供了便利的條件，使函數教學活動為學生帶來了更加豐富的參與體驗.

例如，高中數學教師在開展指數函數教學時，為了引導學生探究指數函數的數學特點，幫助學生更好地認知函數公式與函數圖像的關系，可以從TPACK模式出發進行數學模型的構建.數學教師設計數學模型時可以采用“GGB”數學學科工具進行模型構建.學生在進行指數函數的數學建模時，可采用圖像模型對比的方式進行學習.數學模型對比可以是“y=ax（a>1）的圖像模型”“y=logax（a>1）的圖像模型”“y=xn（n>0）的圖像模型”，一系列模型對比的展示，可引發學生的數學思考，進而幫助學生完成指數函數的數學解析，梳理關聯函數的知識網絡.

（二）在圓錐曲線教學中的實踐應用

TPACK教學模式的一個重要目的就是促進學生對知識的理解，提高學習效率.在高中數學的圓錐曲線教學中，數學建模的知識解析能夠立體地展示圓錐曲線的特點，加深學生對數學概念、知識點的理解.因此，數學建模在圓錐曲線中的設計與應用研究也是非常有必要的.TPACK理論下的數學建模，一方面可以有效激發學生學習數學知識和技能的興趣，另一方面可以實現師生間教學互動與知識遷移，同時能培養學生自主學習能力，為高中階段數學教學提供新方向，實現從學生自身出發的知識理解方式的應用.

例如，高中數學教師在開展橢圓相關的教學時，可以在這堂課中做出數學建模展示，首先講解雙曲線的概念、特點以及標準方程，通過這些內容使學生對雙曲線有一個初步的認識和了解；然后講解雙曲線的標準方程中的“a，b，焦點”等構成要素，在TPACK模式中可以利用動態的雙曲線模型進行演示，幫助學生進行理解.例如，教師利用幾何畫板構建雙曲線模型，通過調整方程中“a”“b”的值改變雙曲線圖形，使學生從圖形出發對雙曲線的數學意義進行理解.這樣的數學建模不僅能夠使學生掌握相關內容，還能降低知識的理解門檻.

（三）在空間向量教學中的實踐應用

在開展空間向量相關的數學建模時，教師需要對空間向量的模型展示方式進行分析.基于空間向量自身的特殊性，教師一方面需要認識到空間向量相較于其他的平面圖形有明顯的空間特性，會促使學生發揮一定的想象力，另一方面需要認識到空間向量自身往往是結合其他類型的知識點綜合出現的.教師在此基礎上思考什么樣的TPACK模式才能體現數學建模的空間性，進而設計出具有空間向量知識特點的數學模型，有針對性地引導學生按照正確的方式去學習空間向量內容.

例如，在開展空間向量相關的教學時，幫助學生對空間向量的數學概念進行認識并不困難，困難的是以空間向量為方法進行解析幾何的處理.教師在進行相關的數學建模時可以融合高考題目中常見的立體幾何進行設計，如三棱柱、三棱錐、四棱錐等，同時從TPACK模式的角度對教學技術進行引入.教師可以采用3D模擬的方式進行空間向量的數學建模，在數學建模中除了進行空間直角坐標系的解析之外，重要的是各類輔助向量的引用.數學建模可以發揮出3D模型的技術優勢，通過旋轉視角、拉伸視野等方式為學生更為直觀地展示空間向量的數學應用.

（四）在概率教學中的實踐應用

概率知識是數學學科的重要研究內容，通過TPACK模式的應用，教師可以將教學技術融入具體的模型解析過程中，讓學生通過模型的展示完成對概率知識的掌握.在概率模型中，隨著直觀導向教學思路的提出，TPACK模式的重要性得到了進一步體現，學生需要通過概率模型的構建轉化抽象的數學概念.而為了進行有效的TPACK融合，教師需要從概率模型的概率演示、概率統計和概率分析等方面入手進行分析，盡可能地發揮教學技術的實用價值，提升學生建模的興趣.

例如，高中數學教師在開展概率相關的教學時，根據本課內容的需要讓學生對概率的數學意義進行理解，這就需要學生能夠將對概率數學模型的分析轉化為對抽象概念的分析.在TPACK模式的教學視野中，教師需要實現數學模型簡便易操作的要求.例如，教師可以采用高爾頓釘板的數學模型進行概率的演示，并通過視頻模擬的形式設計.為此教師可以通過多次演示的方式為學生解析概率的數學原理，而不采用實物建模的形式.之后，教師引導學生按照數學建模的設計要求進行概率分析，對不同小球下落的分布狀況進行驗證，并詳細記錄演示數據，學生由此對概率進行認識.

四、探索信息技術，助力數學教學

首先，從TPACK模式的角度出發，在數學建模中引入信息技術基于當下學生對于以信息技術為主導的互聯網的熟悉，這使學生可以容易地接受TPACK模式的數學建模，無論是對線上學習方式的應用還是對各類電子設備的使用，高中學生都有自身優勢.其次，學生作為高中數學的直接教學對象，需要發揮出教學的主體作用.信息技術的應用可以為學生提供更加自主的選擇，使學生能夠根據自身對數學模型的認識參與教學過程，從而提高高中數學教學的整體效率.

例如，高中數學教師在對數學建模進行使用時，幾何圖形、電子表格等是數學模型構建過程中必不可少的數學元素，教師可以引導學生通過幾何視角對信息技術中關于圖畫繪制方面的功能進行認識.教師可以引入相應的信息技術，幫助學生在TPACK模式中完成對數學建模內容的學習.教師可以選擇幾何繪圖軟件，將其作為數學建模的設計途徑，為學生進行模型繪制的實時演示.在數學建模過程中，教師還可以將幾何繪圖軟件交給學生，引導學生認識軟件的操作，使學生能夠在具體的圖形繪制、表格制作中自由發揮，進而加深學生對數學模型的理解.

五、形成教學體系，融入日常活動

數學建模素養下的TPACK模式的實踐應用，對于高中數學教學來說需要的不是教師的一時興起，而教師是能夠將TPACK模式與數學建模聯系起來，形成屬于自己的教學體系，并將其融入對學生的日常教學活動中.從學生發展的角度出發，教學體系的形成對于學生來說不僅意味著獲取知識方式的增加，還意味著學科觀念的塑造，是獨具魅力的.這都不是教師進行一次兩次的教學實踐能夠達成的目標，都需要教師在長期的教學過程中進行教學體系化的建設.

例如，高中數學教師從建立教學體系的角度對數學建模素養下的TPACK模式的實踐應用進行解析，可以從兩個方面出發，分別是數學建模的應用形式與學生的認知方式.其中數學建模的應用形式，主要是指數學模型的在日常教學中的應用方式，如采用教師演示學生聽講的方式還是設置模型學生自主探究的方式，其核心在于有效地將學生組織起來并使之參與到數學模型學習中.學生的認知方式主要是指學生自身在數學學習過程中表現出來的認知能力的變化，如教師在教學過程中不難發現學生天然地對抽象知識內容表現出明顯的排斥，更喜歡直接且具體的知識形式.

綜上所述，基于高中數學建模素養下TPACK模式的實踐研究，是高中數學教學的重要組成.為了滿足數學建模素養的要求，教師需要圍繞TPACK理論對自己的教學方式進行分析，以此在數學模型的構建與展示過程中有效地應用教學技術.

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