綜合題的解題要旨：兩種思維比翼，多種方法并用

徐佳麗

摘 要：綜合題中含有多個知識點，具有重要的教學價值.本文提出了解數學綜合題的要旨，即兩種思維比翼和多種方法并用.以2023年高考數學新課標全國Ⅱ卷中一道解三角形綜合題為例，從代數思維和幾何思維出發探究它的多種解法，并提出若干教學啟示.

關鍵詞：解三角形；綜合題；解題方法；教學啟示

綜合題具有重要的教學價值，因為它涉及到多個知識點，解決時會用到多種方法，因而解綜合題對于學生的基礎知識和基本技能的掌握、數學思想方法的運用、數學能力甚至情感態度都有較高的要求，解綜合題對于學生多種核心素養有著重要的促進作用.教學中應注重培養學生解綜合題的能力，要讓學生做到在解題中兩種思維比翼和多種方法并用，本文將以2023年高考新課標全國Ⅱ卷解三角形一題為例，說明這種解綜合題的要旨.

《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》^［1］指出：學生要能借助向量的運算，探索三角形邊長與角度的關系，掌握余弦定理、正弦定理.2023年高考數學新課標全國Ⅱ卷第18題是解三角形綜合題，該試題考查解三角形的基礎知識和基本技能，解題的本質在于將正弦定理、余弦定理、平面向量、三角形面積公式以及勾股定理相融合，尋求其中的聯系，最終實現對問題的解決，考查學生數學運算、邏輯推理、直觀想象的核心素養.

1?真題呈現

2?題目分析

這是一道解三角形綜合題，通過給出三角形面積和中線長的相應數據，并在兩個小題中分別給出一角度數及三角形兩邊長之間的關系，重點考查了解三角形中的基本要素問題.該題主要涉及到的知識點有：三角形面積公式、三角形中線、正弦定理、余弦定理、平面向量等；本題滲透的數學思想方法有：數形結合思想、轉化與化歸思想以及方程思想；本題包含的數學學科核心素養有：數學運算、邏輯推理、直觀想象.

3?解法探究

3.1?基于代數思維的解題

代數思維是指通過一般化操作得到一般化結論，用符號表征數量關系，發現數學規律，解決實際問題的思維方式.

對于解三角形綜合題來說，代數思維是最基本的解法，它是在正余弦定理、三角形內角和定理的基礎上，將試題中的已知條件與所要求的三角形要素建立起聯系，從而達到求解三角形未知要素的結果.真題題干中首先給出了三角形的面積和一條中線長，在第（1） 問中又給了附加條件，只需要從角和邊的關系出發，借助正弦定理、余弦定理進行求解；在第（2）問中，給出了三角形其中兩邊的代數關系式，可以利用余弦定理，通過“兩個互補相鄰角的余弦值相反”得到方程.

根據題意，畫出草圖.

3.2?基于幾何思維的解法

幾何思維是指通過對幾何圖形和空間結構的觀察和分析，發現其中的規律和特點，從而解決實際問題的思維方式.

通過觀察根據題意畫出的圖形，可以發現是“爪”形圖，即連接已知三角的一個頂點與其對邊的任一點所構成的圖形^［2］.特殊的是，此題中所取的對邊上的點是對邊上的中點，因此，可以使用中線性質定理，并對該圖添加輔助線使之成為平行四邊形，由此將中線性質定理變形為平行四邊形對角線長定理，從而想到使用向量法來解決問題.此外，單純的幾何即利用平面幾何的三角形、四邊形的性質也可以解決該問題.

4?教學啟示

4.1?培養學生靈活的思維方式

首先，教師應充分挖掘教材中的信息，引導學生思考教材中的定理以及課后習題蘊含的數學思想方法，從而使學生更容易理解和掌握，培養學生的數學思維.教材在學生學習數學中扮演著重要角色，它是學生進行數學學習的重要工具，高考真題中蘊含的數學思維與數學思想方法最終可以在教材中找到來源.該試題第（2）問基于代數思維的解法正是來源于人教版《普通高中教科書數學》必修第二冊A版（2019年版）第53頁第15題，根據兩個互補相鄰角的余弦值相反，兩次活用余弦定理來證明結論，證明出的結論正是中線性質定理.同時，學生在學習《平面向量》這一章時，頻繁接觸到“爪形”三角形，知道“爪形”三角形常與三角形的角平分線、中線、高、三等分點相結合，而且教材中用向量法來推導了余弦定理，教師可以因勢利導，將平面向量與解三角形綜合題相結合，幫助學生從幾何思維來分析看待解三角形問題.

其次，在教學中，教師可以利用波利亞解題思想，問題呈現方式應當盡可能地培養學生靈活的思維方式.美國數學家波利亞在他的著作《怎樣解題》中，給出了著名的“怎樣解題表”，在怎樣解題表中，又給出了理解題意的提示語：“未知量是什么”“已知數據是什么”“條件是什么”，還給出了“盯住目標”“回到定義中去”“你以前見過它嗎”“有什么方法可以利用”等等常見的解題提示語^［4］.在該類試題中，教師應引導學生，首先理解題意，明確題中所給的條件與需求的未知量分別是什么；教師再進行引導性提問：從三角形面積中可以得到怎樣的數量關系？角與邊的關系一般利用什么知識和方法來解決？根據角和邊的大小可以列出怎樣的代數式？你以前在哪見過這種圖形？三角形的中線有什么幾何性質？你還可以利用什么方法來解決？對于這些問題，學生可能給出的結論多種多樣，但都是基于代數思維和幾何思維進行思考，探究如何通過這兩種思維解決問題，同時關注到解三角形既是函數和代數的，又是幾何的.

最后，教師要加強解三角形專題模塊復習，在實際的問題解決中，幫助學生形成解三角形綜合題的解題思路，提升學生知識遷移應用能力，培養學生的代數思維和幾何思維.通過梳理近幾年高考真題中解三角形綜合題，不難發現，重點考查正余弦定理的直接應用；求三角形的邊、角；三角形邊長、周長、面積的取值范圍；嵌套三角形求解問題等^［3］.教師在進行專題模塊復習時，應首先將與解三角形相關的知識進行復習，如函數、三角函數、向量等基礎知識；其次，讓學生在解題時養成兩種思維比翼的習慣，做到多種方法并用.弄清楚有什么條件，要求什么問題，先考慮正余弦定理是否能解決問題，有中點就聯想到中線、中位線，有特殊角就構造含特殊角的直角三角形；最后，根據學生自身情況布置相應的習題，鼓勵學生結合實際情況選擇合適的定理進行解題，最終使學生形成解三角形綜合題的解題思路.

4.2?使得學生養成一題多解的習慣

一題多解本質上就是學生從條件出發找到聯系條件和結論的不同的路徑，使得學生養成一題多解的習慣，對于提升學生包括創造性思維在內的思維能力具有積極的意義.當學生面對解綜合題時，找到解決問題的不同解法，能有效培養學生多種思維能力.因此，教師應在教學中加強一題多解訓練，引導學生基于條件進行合理的聯想，尋找解題的突破口.

以此試題為例，上述的幾種解法都是基于對試題條件的分析，從代數和幾何思維出發探尋破解路徑.第（1）問中，注意到角B既是△ABC的內角，又是△ABD的內角，所以tanB可以在這兩個三角形中求解.第（2）問中，給出了b，c的代數關系，要求b，c，就將問題轉化為再找一個有關b，c的關系式.

從代數思維切入，第（1）問，中線將△ABC一分為二，為兩個面積相同的三角形，由其中一個三角形面積求出a，再由中點與∠ADC的值，將BD與∠BDA放到△ABD中，已知三角形的兩邊長與一個內角，自然想到解法一；中線將△ABC一分為二，已知公共邊長和相鄰角的值，自然聯想到分別在兩個小三角形中使用余弦定理求出b，c，進而在△ABC中，已知三角形三邊長，得到tanB，即解法二；a的值除了能在小三角形中求得，還能借助正弦定理與三角形面積公式求出，在△ABD中，利用余弦定理得到tanB，即解法三.第（2）問中，通過“兩個互補相鄰角的余弦值相反”的結論得到方程，求出a，再由已知條件發現AD既是中線又是高線，由三線合一求解，即解法一.

從幾何思維切入，第（1）問中，tanB可以直接在直角三角形中求得，因此聯想到通過作高構造直角三角形，即解法四.第（2）問中，根據前面學過的平面向量知識，利用向量法將∠BAC的余弦值用b，c表示出來，又利用三角形面積公式，用b，c表示∠BAC的正弦值，由同角三角函數的基本關系得到b，c關系式，即解法二；已知三角形兩邊長的平方和以及中線長，又聯想到構造平行四邊形，得到三角形另一邊長a，由余弦定理與三角形面積公式得到b，c關系，即解法三；由b²與c²聯想到構造直角三角形，利用勾股定理得到b，c關系，即解法四.

在解三角形綜合題中，除了借助三角形的中線來構建對應邊長之間的關系，還可以借助三角形的角平分線、三角形的高來構建對應線段的比例關系.教師可以通過改變題目的條件、問題呈現方式，但不改變題目的本質，引導學生獨立思考，利用代數思維和幾何思維來處理解三角形問題.實際上，對于高中許多綜合題來說，都會涉及到這兩種思維.在教學中，教師可以將這兩種思維滲透到日常教學中，啟發學生積極思考，借助典型例題，探求一題多解的方法，在培養學生思維廣闊性的同時，培養學生數學核心素養，開拓并發展學生的代數與幾何思維.

參考文獻：

［1］ 中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）［M］.北京：人民教育出版社，2020.

［2］ 劉海濤，張大偉.活躍在2023年高考卷中的“爪形”三角形［J］.中學數學研究（華南師范大學版），2023（17）：1-3+53.

［3］ 黃春霜，彭永婷.2021年數學新高考Ⅰ卷解三角形綜合題的特點與教學啟示［J］.中學理科園地，2023，19（5）：94-96.

［4］ （美）G.波利亞.怎樣解題［M］.上海：上海科技教育出版社，2011.

［5］ 韋道田.巧思維解題，妙方式推廣——對一道解三角形題的應用的研究［J］.數理天地（高中版），2023（23）：25-27.

［6］ 計春玲，吳慶龍，許雪蓮.高中數學新教材人教A版與B版“解三角形”內容的比較研究［J］.理科考試研究，2023，30（19）：20-22.