學生的困惑 教師的引導

作者簡介：朱元榮（1970～），女，漢族，安徽合肥人，江蘇省南通市通州區川港中學，研究方向：初中數學教學。

摘 要：眾所周知，幾何是數學知識大廈中的一個重要組成部分，而平面幾何則是幾何知識的入門內容。在初中階段，學生初步接觸幾何知識，這一階段學生學習質量的好壞以及所打下的知識基礎會在一定程度上決定學生在未來的學習水平。核心素養是近年來我們提倡的一種教學關注角度，通過核心素養的培養，學生能夠獲得更多學習知識和運用知識的能力，在未來獲得更好的發展。文章中，筆者就自身的經驗來談一談如何在初中數學的平面幾何教學中貫徹核心素養的思想。

關鍵詞：核心素養；初中數學；平面幾何

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1673-8918（2023）08-0063-05

隨著課程改革的不斷深入，動態幾何問題已經成為初中數學教學中的重點內容之一，不僅考查學生對數學知識的掌握情況，也考查學生對數學的探究能力。動態幾何問題要求學生利用運動與變化觀點對幾何圖形的變化規律展開探討，常常包含幾何問題、函數問題、方程問題等多項內容，是綜合性極強的一類數學問題，需要學生充分發揮數學想象能力，利用化歸與轉化、特殊與一般、數形結合、方程與函數、分類討論等思想找到解決問題的有效方式。

一、 初中數學幾何推理與圖形證明的解題原則

（一）明晰題意

幾何推理和圖形證明題型包含的知識點多，且知識點抽象，所以要提升解題質量和解題效率，首先需要讓學生明晰題意，了解題目表達的含義，明確解題方向。這就需要學生遵循明晰題意的解題原則，針對幾何推理和圖形證明題目中涉及點、線、面的關系進行空間想象，在明晰三者關系的基礎上，通過題意推斷羅列出推理條件。

（二）簡化圖形

在解題過程中，應當注意簡化圖形原則。教師應當引導學生運用輔助線將已知條件和圖形進行聯系。這樣，原有復雜抽象的幾何圖形得到簡化，學生擁有一個明確清楚的數學判斷。

（三）研究題目

研究題目原則是基于明晰題意原則而來。這主要是因為題目中蘊含了大量的解題要素，而且還能培養初中生在幾何推理和圖形證明解題過程中良好學習觀念的形成，促進學生保持科學學習和認真觀察的態度，鍛煉學生的邏輯推理能力。

二、 平面幾何中所體現出的核心素養

（一）直觀想象與數學建模

所謂直觀想象，是學生在學習的過程中要能夠對自己學習的對象進行想象。從本質上來說，世界上的一切事物無論是抽象的還是具體的，無論是有實物的還是無實體的，都可以運用數學模型進行表示。比如，一個三角形，我們可以簡單地運用一些數據對其進行描述：三條邊的長度分別為三厘米、四厘米和五厘米。這樣一來，我們可以直接通過數據來構建出來一個具體的三角形?？墒?，這樣的思維過程是建立在我們已經擁有了大量的感官經驗和數學知識的基礎之上的。對出處于初中階段的學生來說，一個純粹的幾何圖形其實并不容易進行想象，學生能夠接受和理解的是三角板是三角形的、樓下的花壇是橢平行四邊形的、魔方的面是正方形的等等?；谶@樣的實際情況，我們的幾何教學其實是可以很好地讓學生完成由具象到抽象的思維過渡，經歷這樣的思維訓練，學生能夠擁有更好的直觀想象能力，同時也會擁有更好的數學建模能力，這既是解決幾何問題的必備能力，也是數學學科對學生的要求。

（二）數學運算與邏輯推理能力

數學運算能力在數學學科的任何一個領域中都是十分重要且基礎的能力，在解決幾何問題的過程中，基于上文中所提到的對幾何的數學建模的要求，學生也會接觸到很多的數字內容需要解決。同時，我們在數學學科的知識練習過程中常常使用的一種問題就是提供給學生一些關于幾何圖形的信息，讓學生通過想象與推理去計算出幾何圖形的未知信息。在這個過程中，主要結合數學運算能力和邏輯推理能力。所謂邏輯，就是要求學生能夠理解事物構成的要素是怎樣組合以及發揮作用的，在理解事物全貌的基礎上，通過事物的局部信息推理出整體的信息。數學推理其實就是這樣的過程，一般來說，學生會被告知一個幾何圖形邊、角等的數據，然后學生在了解幾何圖形屬性的前提下，根據現有的已知信息，通過計算來推導出全部信息。同時，我們也要注意計算能力也是十分重要的，通常來說，數學問題不會只有一種解決方式，如何在眾多解決方式中找到簡潔的一種，需要學生了解計算過程，明白計算的方式，為學生未來解決復雜數學問題省下很多的麻煩。

三、 在初中數學平面幾何教學中培養核心素養的策略

（一）因材實施幾何推理教學

在初中數學幾何推理教學過程中，數學教師要整體提高幾何推理教學效果，并確保全體學生可以在原有幾何基礎上得到最大限度的發展。但學生的認知水平和能力存在差異，因此，初中數學幾何推理教學過程中，數學教師應充分考慮學生的差異性和層次性。同時，為了讓學生在幾何推理知識學習中始終能夠保持主動，應讓學生認識到幾何推理的重要性和證明的必要性，讓學生在幾何推理學習中內化為自覺行為。在此過程中，數學教師應對學生的幾何推理給予一定的鼓勵和肯定，并可以在適當的時候為學生提供一定的指導，但是不可完整地將推理方法傳授給學生，而是在學生得出最終答案后引導學生進行優化和完善。在此過程中，傳授學生完整的幾何推理方法，以便學生學會舉一反三，從而有利于學生幾何推理能力的培養。

（二）“拆出”轉化手段的有效實施

轉化與化歸的數學思想是中學數學中重要的數學思想之一，可以說轉化與化歸思想幾乎貫穿數學解題教學的始終。利用轉化思想不僅是我們解決代數問題的重要手段，更是我們解決復雜幾何問題的有效手段。

【例1】 已知，如圖1，正方形ABCD的邊長為4，G為對角線BD上一點，且DG=DC，H是AG上的一個動點，過點H作HE⊥AD，HF⊥BD，垂足分別為E、F。

求證：HE+HF為一定值，并求出這一定值。

美國數學家布魯納說過：“探索是數學的生命線?！睂€段定值問題，我們可以引導學生將問題從特殊到一般進行轉化。首先，讓動點H與點A重合，即過點A作AO⊥BD（如圖3），得到AO=22。而四邊形問題常轉化為三角形問題來研究，此時將原圖形進行多次拆分（如圖2、圖3、圖4），連結對角線AC與BD相交于點O（如圖4），思路即馬上形成。所以HE+HF=AO（即為定值），這個定值就是22。最后順理成章地再連結輔助線DH（如圖3）利用面積法進行驗證，讓學生體會不同的解題方法和解題思路。在平面幾何的教學中經常引導學生運用轉化思想，將一般與特殊互化，巧解定值題型，促進學生的思維發展。

（三）以生活化教學激發學生興趣

開展興趣教學，營造良好課堂氛圍，有助于調動學生的求知欲，讓學生主動探索掌握新知。初中幾何教學中的圖形內容十分豐富，要求教師開展生活化教學，引導學生主動尋找并探索生活中的幾何圖形，并以此為前提開展知識學習。要求教師充分利用信息化技術手段，發揮信息技術優勢，為學生展現豐富的生活化幾何圖形，以廣泛吸引學生注意，保障后續教學活動的高效開展。

以“軸對稱”知識點為例，為了讓學生深刻把握軸對稱圖形的特征，學會繪制軸對稱圖形，要求教師結合生活實例開展教學活動，讓學生得以養成在生活中尋找數學學習切入點的習慣，培養其數學思維。教師可以以生活中常見的軸對稱圖形，如黑板、教室門、書本舉例，并引導學生自由發揮想象，尋找生活中的軸對稱圖形，以調動學生參與熱情。此外，教師可以利用多媒體設備進行教學呈現，以圖形或動畫的形式，向學生展示軸對稱圖形，從而加深學生對這一知識的理解，提升其知識掌握程度。教師需要充分利用幾何畫板工具進行講解，引導學生自由繪制軸對稱圖形，讓學生自行用紙筆繪制，也可以讓學生主動上臺，利用幾何畫板繪制軸對稱圖形，向同學展示，讓學生深刻理解掌握軸對稱圖形的特點，同時，提升其動手操作能力。

（四）以模型教學促進學生理解

初中數學幾何知識通常較為抽象，如果只是采取機械傳授的方式，則難以讓學生體會和把握相關知識，可能增加學生的知識理解負擔，影響其學習積極性。為此，要求教師積極融入幾何模型教學手段，加快學生的新知理解，使其借助直觀觀察的形式提升學習自信。應用模型教學的手段開展幾何教學，可以通過直觀的方式展現圖形的幾何及位置關系，以形象化的表現形式為依托，促進學生的知識理解，使其得以深刻明確不同已知量之間的關系。

以不規則圖形教學為例，初中幾何中經常涉及不規則圖形面積求解類問題，學生尚未掌握此類圖形的求解方式，若采取直接計算的形式，則在無形中增加了題目的難度，導致學生無法求解。為此，要求教師適時引導學生，帶領學生構建幾何模型，針對不規則圖形進行劃分，將其分成學生所熟知的規則圖形，通過加減計算，利用規則圖形的面積解答相關題目，以簡化題目。為了強化學生對此類問題的認知和理解，教師可以充分利用電子教具，引導學生進行圖形拆分，并在問題解答后還原圖形，讓學生深切體會圖形的拆分過程，培養其良好的拆分思維，使其學會用簡單、便捷的方式解答復雜題目，為后續數學學習打下良好的基礎。

（五）創設多媒體情境，激發學生求知欲

情境教學是初中數學教師慣用的教學手段之一，指的是在課堂中適當地引入一些形象色彩，轉變學生的學習態度，提高學生學習體驗，在情境中展開數學知識的學習。在多媒體情境中，學生的心情往往比較放松，課堂氛圍會得到有效的改善，還可以為學生建立與數學問題之間的橋梁，激發學生的求知欲，使學生更好地構建自己的知識體系。在傳統幾何教學中，教師大多都是利用板書和口授展開教學，但是很難體現出空間性，無法達到視覺效果，不能為學生留下深刻的學習印象。而在多媒體情境中，教師可以利用閃爍、變化、放大、定格、翻滾等動畫技術以及聲音、色彩，對學生的感官進行有效刺激，將抽象的幾何知識直觀形象地展示出來，有效激發學生的求知欲。

例如，在學習平行四邊形的有關性質時，教師可以收集網絡上應用平行四邊形的性質進行制作的視頻，這時還可以借助視頻進行旁白解說，通過生活中常見的事情為學生創設多媒體情境，導出平行四邊形的性質。觀看視頻結束后，教師利用多媒體動畫技術展示一個平行四邊形，再展示特殊的平行四邊形，通過直觀的動態演示讓學生理解該性質。在多媒體情境中，動態的課堂變得更加生動有趣，這是傳統幾何教學課堂無法企及的。

（六）巧妙設置有趣問題，激發學生學習動力

課堂上有趣的問題，可以讓吸引學生的注意力，拓寬學生的邏輯思維，激發學生各種各樣的想象。學生感受到知識源于生活，這樣學生對學習并不感到陌生。例如，在學生學習“軸對稱圖形”時，可以利用生活中的各種建筑物品，也可以通過多媒體、圖片、視頻等播放形式，讓學生從視覺上進行任職感受，然后找規律和特點。其實這是全等三角形也是軸對稱圖形，為學習全等三角形的性質做好鋪墊，這樣學生學習起來就游刃有余了。又如，在教學“勾股定理”這節課內容時，在數學課本中，就有畢達哥拉斯的一張肖像圖片，就是這張圖片來吸引學生的注意力，給學生講述一個關于這張圖片的小故事。設置疑問，把問題交給學生。其實這些知識并不是單純的圖案，而是由我們所學的“勾股定理”知識來引導組成的。這是正方形邊長之間的關系，他用手在地板上比畫了一下，選了其中一塊大理石瓷磚，以他的對角度AB為邊畫一個正方形。他覺得這個發現很有趣，于是他繼續進行研究，發現這個正方形面積等于這五塊瓷磚的面積之和，從而假設，推論，最終得出勾股定理。也就是在任何直角三角形，三角形斜邊的平方等于兩邊平方之和。這樣的問題既能吸引學生，又讓學生快樂地學到知識。

（七）合作探究集體論證建立幾何形象

俗話說，眾人拾柴火焰高。高效的合作可以使得事情變得更加順暢，在初中階段的數學學習過程當中更是如此。合作學習可以有效提升學生的學習進度，可以讓學生分享各自的學習心得，讓每一個學生都可以通過彼此了解更多的學習方式，也可以更快掌握其中的規律、性質以及聯系，讓學生在進行幾何與圖形學習的過程當中變得高效便捷。通過這樣的合作交流充分印證了課程標準所倡導的先進學習方式，在這樣的方式之下教師必須要進行一定的引導與示范，讓學生可以進行有效合理的合作學習，而不是在課堂上交頭接耳，相信通過教師不斷引導改善，課堂會變得更加高效，讓更多的學生感受合作學習的巨大魅力，同時也可以在這樣的過程當中體驗到數學模型的無窮變化，對今后的數學學習有著非常積極的影響。例如，在學習“軸對稱圖形”過程中學生可以采用小組合作探究的模式，可以讓學生之間相互交流提升學習效率；當然也可以在教師講解圖形時進行深入分析了解，分工合作之下讓學生可以在極短的時間內得出圖形的變化規律，讓學習更加快樂，使得學生體驗到團結和團隊意識的重要性，提升學生的綜合能力和人生價值。

（八）引導學生尋找圖形變化的本質

動態幾何問題之所以讓部分學生覺得無從下手，除了因為其圖形較為復雜，還由于其在解題過程中始終保持變化和運動，如果學生無法從動態幾何的變化中找到規律，就無法快速抓住解題的關鍵。因此，在指導學生解答動態幾何問題時，教師可引導學生觀察幾何圖形在運動過程中不變的本質特征，找準運動過程中的特殊位置，“動中取靜”“動靜結合”，從不動的圖形中找到動態圖形的本質屬性。

【例2】 如四邊形ABCD和四邊形AEFG均為正方形，連接BG與DE相交于點H。

（1）證明：△ABG≌△ADE；

（2）試猜想∠BHD的度數，并說明理由；

（3）將圖中正方形ABCD繞點A逆時針旋轉（0°＜∠BAE＜180°），設△ABE的面積為S1，△ADG的面積為S2，判斷S1與S2的大小關系，并給予證明。

上題中的第（3）小題是一道動態幾何問題，題目中讓正方形ABCD沿著點A進行逆時針旋轉，旋轉的角度范圍在0°～180°之間。當正方形ABCD旋轉時，△ABE和△ADG的位置、形狀也會不斷變化，兩個三角形的面積大小也會隨之出現變化，題目中要求學生探究△ABE和△ADG的面積關系。

在教學的過程中，教師可以引導學生讓旋轉的正方形處于特殊的靜態位置時對圖形進行特征分析，對可能出現的情況進行分類討論。教師在教授學生解答動態幾何問題的過程中，應該引導學生積極思考運動圖形瞬間的靜止狀態，研究這種靜態下幾何圖形的特征和性質，抓住變化中的不變量關系，可以幫助學生更好地把握動態幾何問題的本質，提高學生的解題效率和解題質量。

（九）引導學生探究圖形變量間關系

幾何圖形在進行運動變化的過程中，往往會導致不同幾何量發生變化。一般當一個量出現變化時，其他量也會隨之產生相應的變化，彼此之間存在相互聯系又相互制約的關系。因此，教師在引導學生解答動態幾何圖形問題時，應將空間形式與數量關系結合起來，引導學生發現線段、角、面積等幾何量之間的關系，從而找到解答問題的有效途徑。比如，運用函數觀點解決動態幾何問題，理解動態變化過程中有關數量關系。函數的核心是變化與對應，體現的是變量之間的相互關系，將幾何圖形與函數結合起來，通過動態幾何圖形變量關系構造函數模型，并通過函數解析式表示動態幾何問題的數量關系。

【例3】 如P是邊長為1的正方形ABCD對角線AC上一動點（P與A、C不重合），點E在線段BC上，且PE=PB。

（1）求證：①PE=PD；②PE⊥PD；

（2）設AP=x，△PBE的面積為y。

①求出y關于x的函數關系式，并寫出x的取值范圍；

②當x取何值時，y取得最大值，并求出這個最大值。

這道題目中的第二小題是考查學生求動態幾何中變量關系。當點P在線段AC上運動時，其他線段和圖形也會隨之發生相應的變化。因此，在推導時學生首先應該了解：當點P進行運動時，線段AP出現變化，引起線段PC，BE，CE的變化，隨后△PBE、△ABP、△APD、△CDP、△CEP也會隨之發生變化。教師在引導學生對問題進行分析時，要讓學生明白這些運動和變化是有規律可循的，不要被圖形中的變化所牽引，應該準確把握圖形中變化的量和不變的量，從而找到圖形中線段與面積的數量關系，這樣才能夠幫助學生更快地尋找到有效的問題解決路徑。教師可以引導學生對AP這個變量進行分析，從而找到AP變量與BE和PF之間的關系，就可以將△PBE的面積y與AP長度x之間的函數關系式列出來。運用函數思想能夠有效地解決動態幾何問題，因此教師需要引導學生找出其中的變量關系，并通過函數解析式的方式表達出圖形變化的規律。在構造函數關系式的過程中，教師可以有效地引導學生利用圖形面積、全等圖形、比例式、勾股定理等進行探索，找到變量之間的函數關系。

四、 結語

綜上所述，在今天的教學過程中，我們都十分重視核心素養的培養和教學。結合文章所述內容，筆者認為，我們在面對這一方面的教學時應該注重兩個方面的問題。一方面，我們必須要理解核心素養的教學是一個循序漸進且隱藏在知識教學之中的內容，因此這種培養需要我們的耐心，并且要有精密的布置。另一方面，我們要認清核心素養的本質，不做模糊的教學工作，這樣才能讓我們的教學更具有方向性。為學生聯系生活經驗、幫助學生構建知識體系，這樣才能夠讓學生獲得更好的學習體驗，真正提升數學的核心素養。

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