老題再現,生成初中數學課堂新智慧

[摘? 要] 數學試題千變萬化，在習題訓練的過程中不僅要做新題還要關注老題，熟悉的試題重新再做會有意想不到的新收獲. 教學中關注老題重做，隨著學習階段的深入，知識融合程度的提高，老題重做會出現新的思路，解題方法也會多樣化，可以拓寬學生的視野，提升學生的解題能力.

[關鍵詞] 老題新做;解題方法;拓展思路

作者簡介：秦晨熹（1997—），本科學歷，中學二級教師，從事初中數學教學工作.

數學知識的應用體現在習題中，因此許多學生在學習數學時容易陷入“題?！睉鹦g，教師也常常不斷地給學生新的習題進行訓練，但是效果卻與預想的相差甚遠. 事實上，題目千變萬化，新的習題層出不窮，這就需要教師引導學生從變化多端的習題中尋找考查點，發現命題意圖，從原有的老題中探尋新的解題思路，真正提升學生運用知識的能力，發現數學的本質. 筆者將從教學實踐中談一談如何進行老題新做，促使新的習題教學方式生成，供各位同行分析討論.

老題再現，拓寬視野

學生在數學學習的過程中會接觸到許多習題，不同的階段會產生不同的思路，教師要嘗試結合學情適當改編老題，使學生在老題重做的過程中生成新的智慧，拓寬視野. 初三中考復習時，筆者給學生提供了一道八年級習題的改編題——老題新做[1].

案例1? （1）在一次習題課上，王老師給同學們提出了以下問題：如圖1所示，正方形ABCD的邊BC上有中點E，∠AEF為直角，∠DCP的平分線為CF，與EF相交于點F. 求證：AE與EF相等.

經過思考，小華同學提出了一種正確的解答思路：取AB的中點M，連接ME，那么AM與EC相等，可以得到△AME與△ECF全等，因此AE與EF相等.

（2）在這一基礎上，同學們進一步探究，有同學提出了其他看法. 小明提出：如圖2所示，假設將“邊BC上的中點E”改為“點E為BC邊上除點B，C外的任意一點”，其他條件不變，那么AE與EF仍然相等. 請大家思考一下，小明提出的想法正確嗎？你能不能說出理由？

（3）小麗提出：如圖3所示，邊BC的延長線上有一點E是除C點外的任意一點，其他條件不變，那么AE與EF仍然相等. 你認為小麗的想法正確嗎？你能不能說出理由？

面對這樣一道老題，講解過程中筆者提出了一個常用的解法，即如圖4所示，作FG垂直于BC，并與BC的延長線相交于點G，由此證明△ABE與△EGF全等. 在學習正方形時也做過這道題，當時這樣添加輔助線是無法解決的.

生1：老師，我覺得這個方法現在可以證明了.

師：是嗎？那你說一說你的想法.

生1：△ABE與△EGF相似，要進一步證明它們是全等的，只要證明它們的一條邊相等就可以了.

（面對證明兩條邊相等，經過一番推理，仍然無法解決）

師：這個問題我們原來也研究過，但是這條路似乎走不通，不能這樣構造全等三角形，但是從題目已知的條件來看這兩個三角形應該是全等的，關鍵是如何進行證明.

這樣看來這道題要轉換成證明三角形全等，如圖5所示，取邊AB的中點H，連接HE，可以證明△AHE和△ECF全等.

問題探討到這里似乎已經可以結束了，這時突然有學生打斷了教學.

生2：老師，前面的方法也可以證明三角形全等.

（生2剛才一直低頭在思考，原來一直沒有放棄前面的做法）

師：好的，那你說說怎么證明.

生2：如圖4所示，通過△ABE與△EGF相似，可以證明==，因此EG是FG的兩倍. 因為∠DCG被CF平分，所以∠FCG等于45°，所以CG與FG相等，EG等于CG的兩倍，EG也等于EC的兩倍. 因為BC的中點為E，所以BC是EC的兩部，所以EG=BC=AB，于是△ABE與△EGF全等，可以得到AE與EF相等.

（生2的闡述使得學生都投來了欣賞的眼光，紛紛表示贊同，筆者抓住時機表揚了生2敢于質疑的創新精神以及積極思考的探究精神）

筆者繼續問道：這個方法非常好，那么是不是后面的情況都適用呢？有興趣的同學可以嘗試一下.

學生在筆者的激勵下，被點燃了學習的熱情，教室里的學習氣氛更加濃烈了，直到下課，學生還意猶未盡，一下課生2馬上找到了筆者.

生2：老師，我用這種方法也能證明剛才題目中的第（2）問，只是較麻煩一點. 方法是這樣的：如圖6所示，過點F作FG與BC垂直，垂足為G，設FG與CG相等且都為x，BE等于y，EC等于z. 由第（1）問知道△ABE與△EGF相似，可得=，即=，所以x與y相等，即BE與FG相等. 又△ABE與△EGF相似，所以兩個三角形全等，由此可以得到AE與EF相等.

這名學生的精神和想法也深深地影響到了筆者，驅使筆者也嘗試用生2的方法去探究第（3）問，順利地證明了點E在BC的延長線上的情況. 就是課堂上一個不經意的生成引發了一種新的解法，使學生的學習興趣被激發了出來，產生了主動學習的熱情，對數學充滿了濃厚的學習興趣，這將對其長期發展產生巨大的推動力.

學生的潛力是無限的，需要教師創設平等交流的氛圍，提供有效的問題引導，在充分的思考空間和時間中激發學生巨大的潛力，實現新的發展. 學生多樣的思維角度也會促進教師教學，為教學提供更加豐富的素材，使課堂教學更加精彩.

這一例題還可以通過圓的知識進行解決，方法更加簡捷和巧妙，是一種新的思路，下面以點E為BC邊上的任意一點為例進行介紹.

如圖7所示，連接AC，AE，點E無論怎樣移動，∠AEF都是90°，容易想到點E在直徑為AF的圓上，這樣作一個輔助圓. 因為∠AEF與∠ACF相等且都是90°，所以點A，E，C，F四點都在同一個圓上，得到∠AFE和∠ACB相等且都是45°，所以△AEF是等腰直角三角形，所以AE=EF. 當點E在BC的延長線上也同樣可以這樣證明. 由此，大家可以得到一個結論：在一個動態變化的過程中，如果有一個角是不變的，就像這道題中的∠AEF，那么這個角的頂點（如本題中的點E）通常都會在一個圓上，這時將這個圓作出來，利用圓的知識就可以發現一種解題的途徑. 可見，如果師生善于發現，一些看似和圓無關的問題，當能作出輔助圓時，便可以獲得巧妙的解答方法.

變式練習以一題多變、一題多解的方式引導學生以更加豐富的角度看待問題，尋求更多的集體方法，學生能夠充分調動思維活動，在體驗、探究中發現數學，培養學生的發散思維. 在復習教學中注重老題新做可以通過一道習題涵蓋更多的知識點. 通過一題多解的方式，培養學生思維的靈活性，當然也要注意具體情況的分析，思維靈活性仍然建立在夯實基礎的情況下，要進行合理分配，才能全面發展.

老題再現指導命題

命題是教師需要具備的一項重要技能，只有研究命題才能在教學中更有針對性地對學生進行指導，提高學生的解題能力. 筆者受到生2的啟發，將上述例題進行了改編，并呈現以下幾道具有探究性的問題.

改編1：

（1）如圖8所示，正方形ABCD的邊BC上的中點為E，∠AEF為直角，∠DCG的平分線CF與EF相交于點F. 求證：AE與EF相等.

學生小剛提出了一種解題方法：過點F作FG與BC垂直，垂足為G，因為∠AEB與∠FEG的和是90°，∠AEB與∠BAE的和是90°，所以∠FEG與∠BAE相等. 又∠B與∠EGF都等于90°，所以△ABE與△EGF相似，因此==. 請你將后面的證明過程補充完整.

類比探究：

（2）在這個基礎上，同學們進一步進行探究，小麗又提出了一個新想法：如圖9所示，若將“邊BC上的中點E”改為“點E為BC邊上除點B，C外的任意一點”，其他條件不變，AE與EF仍然相等，而且可以用第（1）問中的方法進行證明，你覺得小麗的說法正確嗎？你能不能說出理由？

拓展延伸：

（3）邊BC的延長線上有一點E是除C點外的任意一點，其他條件不變，那么AE與EF仍然相等嗎？請你在圖10中將圖形補充完整，并進行證明，證明的方法不限.

中考題中幾何探究題是必考點，主要考查學生圖形的綜合推理能力，涉及圖形的移動、翻轉、旋轉、折疊等，經常需要通過添加輔助線實現圖形轉換. 筆者進行了上述試題的改編后，覺得還不夠完善，畢竟在中考題中考查學生一種不經常使用的證明方法不是特別合適，大部分學生在考試中運用新的證明方法來解答的可能性是很小的，因此這道題目就失去了區分度，體現不出選拔的功能，但是對提升學生的思維能力還是非常有益的，可以作為課后的拓展和提優. 命制試題的過程是一個不斷完善的過程，在教師的教研活動中，幾位同行與筆者共同探討了這道試題，再次進行了改編，更加貼近中考的要求. （改編后的試題如下）

改編2：

已知正方形ABCD的邊BC射線上有一點E，點E不與點B重合，連接AE. 如圖11所示，當點E是線段BC的中點時，將線段AE繞著點E順時針旋轉90°，得到線段EF，連接CF，發現∠FCB等于135°.

（1）如圖12所示，當點E是線段BC上的任意一點時，將線段AE繞著點E順時針旋轉90°，得到線段EF，連接CF，∠FCB的度數會發生變化嗎？請說明理由.

（2）如圖13所示，當點E是線段BC延長線上的任意一點時，將線段AE繞著點E順時針旋轉90°，得到線段EF，連接CF，請你說一說線段AE，CF和CE之間的數量關系，寫出你的結論和理由.

（3）假設BE等于AB，請你直接寫出∠CFE的度數.

這道題經過這樣的改編后變得更容易入手，解題方法更加多樣化，可以通過不同的方法添加輔助線從而構造全等三角形，多種解題方法也符合中考題的考查特點，能夠考查學生思維的靈活性和邏輯推理的能力. 第（2）問求證三條邊間的數量關系，提高了難度，具有較強的區分度，也體現出了問題間層層遞進的梯度，在注重基礎知識考查的情況下，兼顧中考的選拔功能[2].

教學實踐與反思

復習教學中通過老題新做和老題新編能夠不斷發掘試題蘊含的價值，能夠充分調動學生運用知識從多個角度思考問題. 復習教學中的老題新做的價值不止于此，教學中還可以通過基礎圖形的不斷豐富，構建知識系統，提升解題能力.

案例2? 一般三角形.

（1）從圖14的△ABC中，你發現了三角形的三條邊和三個角之間有什么關系嗎？請你說一說你判斷的理由.

（2）從圖14的△ABC中，猜想一下它的邊之間與角之間的大小關系，并證明你的猜想.

案例3? 特殊三角形.

等腰三角形：

（3）在圖14的基礎上，假設CA與CB相等，△ABC就成了等腰三角形，那么圖15中的等腰三角形ABC的邊、角以及邊和角之間有著什么關系呢？請你說一說你判斷的理由.

（4）在圖15的基礎上，若∠A等于60°，△ABC就成了等邊三角形，如圖16所示，請你仿照第（3）問，研究等邊三角形的性質.

直角三角形：

（5）在圖14的基礎上，若∠C是直角，△ABC就成了直角三角形，如圖17所示，請問直角三角形ABC的邊之間和角之間有著什么數量關系呢？

（6）如圖17所示的直角三角形ABC的邊和角之間有著什么樣的函數關系呢？

（7）在圖17的基礎上，若∠A等于30°，你又有什么新的發現呢？

以上這些都是學生非常熟悉的基本圖形和基礎題、老題，在復習過程中如何更好地利用它們進而發揮試題的功能呢？在該例中教師可將一個基本圖形的邊和角根據考查的知識點不斷進行推理和演化，形成一個新的“圖形鏈”，演繹思維由一般到特殊的進程，再通過“圖形鏈”讓學生進行專題復習，以實現更加系統化的復習，在老題新做中生成新的課堂智慧.

在教學的過程中教師還可以通過在基礎圖形上添加新的元素使基礎圖形更加豐富，呈現出多樣的變化，引導學生產生新的結論，再通過證明結論獲得新的發現. 從圖16來說，如果添加條件“CD與AB垂直，垂足為D”，如圖19所示，你會有什么新的發現呢？

在這些基礎圖形上教師還可以通過添加輔助線的辦法使圖形更加豐富，生成更多新的試題，發展學生的思維. 在進行老題改編前，教師要非常明確考查的知識點，用知識點來連接，以使知識更加系統化;同時要明確通過什么樣的方式將知識呈現給學生，讓學生學得更加有效. 在老題新做和老題改編的過程中，教師要引導學生不斷深入交流和探討，培養他們追求真理的科學精神，領悟數學的本質.

隨著學生學習的知識不斷積累，研究的方法更加豐富，在老題新做的過程中會出現新的思路和方法，使學生的解題能力不斷提升，對于知識的理解更加深刻. 教學中教師要不斷鉆研，理清知識之間的聯系，研究命題技術，不斷突破傳統思維，實現數學教學的新跨越.

參考文獻：

[1]陳向明. 質的教育研究中研究問題的界定[J]. 教育評論，1999（01）：28-31.

[2]喻平. 數學學科核心素養要素析取的實證研究[J]. 數學教育學報，2016，25（06）：1-6.