靈動(dòng)思維 創(chuàng)新突破

黃紅

【摘要】初中數(shù)學(xué)課程以創(chuàng)新、靈活為突出特征，要求教師打破教學(xué)慣性思維，開拓創(chuàng)新空間，培養(yǎng)學(xué)生的綜合能力.與之相對(duì)應(yīng)的，逆向思維在理論與實(shí)踐中的靈活運(yùn)用便更具重要意義.文章聚焦初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的逆向思維核心問(wèn)題，從概念解析入手，分析培養(yǎng)學(xué)生逆向思維能力的可行性與必行性，進(jìn)而就教學(xué)實(shí)例多維度探討其具體培養(yǎng)策略，層層深入，以期為廣大教學(xué)工作者提供經(jīng)驗(yàn)借鑒.

【關(guān)鍵詞】逆向思維；初中數(shù)學(xué)；創(chuàng)新思維；策略分析

【基金項(xiàng)目】本文系2020年度廣東省教育研究院教育教研課題《通過(guò)專業(yè)閱讀提升初中數(shù)學(xué)教師專業(yè)素養(yǎng)的實(shí)踐研究》（課題批準(zhǔn)號(hào)：GDJY-2020-A-s079）的階段性研究成果.

隨著新課改的不斷深入以及“雙減”政策的持續(xù)貫徹落實(shí)，初中數(shù)學(xué)教學(xué)面貌已煥然一新.作為一項(xiàng)創(chuàng)新性教學(xué)策略，“逆向思維”的引入與實(shí)施是落實(shí)新教育觀念與教學(xué)方法的重要途徑.因此，數(shù)學(xué)教師應(yīng)明確逆向思維的重要性，并將其融入具體的題目分析之中，于潛移默化間培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維能力，從而靈活應(yīng)對(duì)各類題目.

一、逆向思維概述

逆向思維，又名求異思維.顧名思義，是與正向思維相對(duì)立的概念，指的是針對(duì)某一具體問(wèn)題，選擇從反方向?qū)ふ宜季S的突破口，進(jìn)而找到解決問(wèn)題的方法或者發(fā)現(xiàn)事物本質(zhì)的思維方式.從表面上看，逆向思維打破了慣性思維，以一種非常規(guī)的方式分析問(wèn)題，似乎比正向思維更難以掌握和理解.但事實(shí)上，逆向思維恰恰可以簡(jiǎn)化問(wèn)題、激發(fā)學(xué)生創(chuàng)新創(chuàng)造能力，并幫助他們突破解題瓶頸，為學(xué)生攻克難題提供了另一條路徑.

二、逆向思維能力培養(yǎng)之可行與必行

（一）學(xué)情分析

初中生無(wú)論在生理上還是心理上都已經(jīng)具備了接受更高難度知識(shí)的能力.初中生的各項(xiàng)生理機(jī)能已基本發(fā)育成熟，且腦部“邊緣系統(tǒng)”在此階段也最為活躍，具有極高的可塑性.在實(shí)際的教學(xué)過(guò)程中，教師會(huì)發(fā)現(xiàn)單純教授學(xué)生基礎(chǔ)知識(shí)是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，更重要的在于利用科學(xué)的方法將理論與實(shí)踐、知識(shí)與題目融合起來(lái)，如此才能應(yīng)對(duì)日趨靈活的數(shù)學(xué)知識(shí)運(yùn)用.因此，逆向思維能力的培養(yǎng)便尤為重要.于學(xué)生而言，形成逆向思維不僅意味著以往的學(xué)習(xí)方法得到了更新和優(yōu)化，而且有助于開發(fā)腦部智力，拓寬創(chuàng)新思路，從而進(jìn)一步鞏固強(qiáng)化所學(xué)知識(shí).一方面，學(xué)生遇到高難度問(wèn)題時(shí)不再局限于一種解題思路，能夠發(fā)現(xiàn)解決問(wèn)題的突破口，進(jìn)行反向推理，找到全新且有效的解題模式，大大提升學(xué)習(xí)效率.另一方面，學(xué)生在初步掌握數(shù)學(xué)公式及定理時(shí)，也可以從反向推導(dǎo)的角度尋找定理與定理、公式與公式之間的某種邏輯聯(lián)系，強(qiáng)化自身記憶，為接下來(lái)的題目解答奠定扎實(shí)穩(wěn)固的理論基礎(chǔ).

（二）教情分析

事實(shí)上，學(xué)生的逆向思維能力培養(yǎng)并非在初中階段才備受關(guān)注.自義務(wù)教育伊始，大部分學(xué)生就已經(jīng)掌握了“答案檢驗(yàn)”這一能力，即在初步得到答案后從所得答案入手，逆向推導(dǎo)驗(yàn)證題目，若雙向證明都成立，便可以驗(yàn)證為正確答案，這是較為初級(jí)的逆向思維的運(yùn)用.而隨著學(xué)齡段的提升，逆向思維的表現(xiàn)形式也發(fā)生了變化，初中數(shù)學(xué)教材中定理、公式內(nèi)容占比較大，且大部分知識(shí)都帶有雙向性的特征，例如勾股定理及其逆定理，幾何分析題目中的“反證法”“反比例函數(shù)”等，都鮮明地體現(xiàn)出正向思維與逆向思維之間的相關(guān)性.由此可見(jiàn)，逆向思維運(yùn)用在數(shù)學(xué)教學(xué)中有著悠久的根源，潛移默化地影響著不同階段學(xué)生的思維能力，為激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新能力創(chuàng)造條件.

從長(zhǎng)遠(yuǎn)來(lái)看，逆向思維在數(shù)學(xué)教學(xué)中的滲透只會(huì)日趨增多，顯示出培養(yǎng)學(xué)生逆向思維能力的必行性.初高中數(shù)學(xué)知識(shí)之間的顯著差別之一便是由抽象變得更加抽象，例如初中數(shù)學(xué)在函數(shù)知識(shí)方面主要介紹一些基本概念和運(yùn)算，如簡(jiǎn)單的一次函數(shù)、二次函數(shù)等.而高中數(shù)學(xué)教材中則包含了更多的函數(shù)內(nèi)容，如冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)等.這些函數(shù)在定義域、值域、單調(diào)性等方面有很大差異.顯而易見(jiàn)，高中知識(shí)深度和廣度都進(jìn)一步提升，為應(yīng)對(duì)這一變化，學(xué)生在初中階段就應(yīng)及時(shí)打好思維基礎(chǔ)，熟練掌握運(yùn)用逆向思維解決問(wèn)題的方法，為迎接未來(lái)挑戰(zhàn)夯實(shí)基礎(chǔ).

（三）課標(biāo)分析

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（簡(jiǎn)稱“新課標(biāo)”）中對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的要求有三點(diǎn)，即用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界、用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界、用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界.這三點(diǎn)緊緊圍繞著“現(xiàn)實(shí)世界”從眼光、思維、語(yǔ)言的角度闡明了新時(shí)代數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)要求，而“思維”作為三者之一，建立起了不同數(shù)學(xué)對(duì)象之間、數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界之間的緊密聯(lián)系，起著上聯(lián)下達(dá)、溝通前后的重要作用.逆向思維雖然僅是眾多思維方式中的一類，但在推理和運(yùn)算方面的應(yīng)用與新課標(biāo)對(duì)學(xué)生運(yùn)算能力、推理能力所提出的要求相呼應(yīng)，涵蓋范圍廣、應(yīng)用頻率高，有助于教師在教學(xué)過(guò)程中的靈活運(yùn)用，使其貫穿課堂始終，顯示出逆向思維能力培養(yǎng)的現(xiàn)實(shí)可行性.

三、培養(yǎng)學(xué)生逆向思維能力的策略

（一）反向推導(dǎo)理論，夯實(shí)知識(shí)基礎(chǔ)

初中數(shù)學(xué)涉及的計(jì)算與推理需要以豐富的理論知識(shí)作為基礎(chǔ)，正如幾何證明題的推導(dǎo)不僅要求學(xué)生具備邏輯、判斷、推理等各種能力，還需要熟練掌握有關(guān)幾何證明的理論知識(shí).只有搭建起穩(wěn)固的理論框架，學(xué)生才能夠靈活運(yùn)用各類定理、公式解決實(shí)際問(wèn)題.然而在實(shí)際學(xué)習(xí)過(guò)程中，學(xué)生又往往難以找到扎實(shí)記憶理論知識(shí)的方法，記錯(cuò)、記混、遺忘等各類問(wèn)題層出不窮.究其根本便在于學(xué)生常常死記硬背數(shù)學(xué)定理與公式，很難維持長(zhǎng)久記憶，且學(xué)生對(duì)理論的理解也僅僅停留于表層，未能摸清理論的推導(dǎo)過(guò)程，因此出現(xiàn)了基礎(chǔ)不扎實(shí)問(wèn)題.對(duì)此，教師可以采用反向推理的方式向?qū)W生展示相關(guān)定理與公式的推導(dǎo)過(guò)程，引導(dǎo)學(xué)生摸清理論背后的邏輯和規(guī)律，并將其融入具體的題目當(dāng)中，多做多練，不斷加深記憶.

以“圓的切線性質(zhì)定理：圓的切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑”的證明為例.教師可以用反證法對(duì)這一定理進(jìn)行證明，啟迪學(xué)生學(xué)習(xí)方法，夯實(shí)記憶.具體來(lái)說(shuō)，一條直線l是圓O的切線且切點(diǎn)為A，假設(shè)直線l不垂直于OA.若過(guò)點(diǎn)O作OM垂直l于點(diǎn)M，則OM等于半徑.因?yàn)榇咕€段最短，所以O(shè)A的長(zhǎng)度大于OM，即半徑大于半徑，矛盾，由此可得這一假設(shè)并不成立，故直線l與OA垂直，“圓的切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑”得證.

（二）突破常規(guī)思維，創(chuàng)新題解思路

又如下題：

在△ABC中，∠B=45°，D為BC上一點(diǎn)，DC=2BD，且∠ADC=60°，求∠C的度數(shù).

首先教師應(yīng)先根據(jù)已知條件畫出較為精確的草圖（如右圖），將文字轉(zhuǎn)化為直觀的幾何圖形，并把能夠直接推導(dǎo)出來(lái)的角度、邊長(zhǎng)等信息添加到圖形中，比如根據(jù)“三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和”可得出∠BAD=15°.但在準(zhǔn)備工作完成后便會(huì)發(fā)現(xiàn)以現(xiàn)有的已知條件很難直接推導(dǎo)出∠C的度數(shù).在正向思維受阻的情況下，教師可以啟發(fā)學(xué)生轉(zhuǎn)換思路自己創(chuàng)造條件，利用已知推未知，即過(guò)C點(diǎn)作輔助線CE⊥AD于點(diǎn)E，如此便得到了∠DCE=30°.由于新構(gòu)建出來(lái)的△CDE是一個(gè)直角三角形，且三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)分別為90°，60°，30°，所以這一直角三角形的三邊比例為1∶3∶2，即DC=2DE，又因?yàn)橐阎狣C=2BD，所以BD=DE，此時(shí)連接BE，就構(gòu)建出了一個(gè)等腰三角形BDE，由此得出∠EBD=∠BED=30°，所以∠ABE=15°，再加上之前推算出的∠BAD=15°就可以發(fā)現(xiàn)△ABE同樣是一個(gè)等腰三角形，所以BE=AE.又因?yàn)椤螮BC=∠ECB=30°，所以△BEC也是等腰三角形，且BE=EC，綜合起來(lái)便可得知BE=EC=AE，△AEC是等腰三角形，所以∠EAC=∠ACE=45°，則∠ACB=30°+45°=75°.

（三）設(shè)置開放性問(wèn)題，打破思維桎梏

數(shù)學(xué)知識(shí)源于現(xiàn)實(shí)生活，并以解決實(shí)際問(wèn)題為最終目標(biāo)，體現(xiàn)在教學(xué)之中便產(chǎn)生了開放性較強(qiáng)的數(shù)學(xué)應(yīng)用類題目.所謂的“開放性”并非一定沒(méi)有準(zhǔn)確、唯一的答案，而是解決同一問(wèn)題的思路可以多種多樣，這就為開拓學(xué)生思維提供了良好的機(jī)會(huì).因此，為更高效地培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維能力，教師可以從開放性問(wèn)題著手，引導(dǎo)學(xué)生探索不同的解題思路，打破思維桎梏.

以“解一元一次方程”為例：某公司連續(xù)三年一共購(gòu)買28臺(tái)打印機(jī)，第二年購(gòu)買打印機(jī)的數(shù)量是第一年的2倍，第三年購(gòu)買的數(shù)量又是第二年的2倍，則該公司第一年購(gòu)買的打印機(jī)數(shù)量是多少？

結(jié) 語(yǔ)

綜上所述，逆向思維能力的培養(yǎng)為學(xué)生核心素養(yǎng)的提升提供了更多可能.學(xué)生在掌握逆向思考方法后不僅能使思維更加靈動(dòng)，設(shè)想更多解題的可能性，還可以利用它快速檢驗(yàn)自己所得結(jié)論的正確與否，養(yǎng)成檢查的良好做題習(xí)慣.于教師而言，合理選擇教學(xué)方法，在教學(xué)過(guò)程中靈活融入逆向思維能力培養(yǎng)，為學(xué)生示范解題思路有助于改善學(xué)生的思維習(xí)慣、提升其創(chuàng)新能力.因此，無(wú)論是課堂教學(xué)還是家庭作業(yè)，教師都應(yīng)為逆向推理訓(xùn)練留有一席之地，在潛移默化中培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維能力.

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