反向思考，探尋解題新途徑

張潔

摘?要：逆向思維是數學思維的重要組成，屬于一種間接思考的方式，即站在問題的對立面進行思考，最終尋求一條全新的解題思路.鑒于數學學科的特點，在正向解題思維受限時，應敢于“反其道而行之”，打破傳統解題思維的束縛，站在問題的對立面思考問題、解答問題.本論文以此為切入點，結合大量的練習題目，針對逆向思維在解題中的應用進行了詳細的探究，具備一定的教學參考價值.

關鍵詞：初中數學；解題教學；數學思維；逆向思維；培養路徑

數學是一門思維性的學科，既抽象，難度又大，尤其是在解題環節中，各種各樣的難題層出不窮.無論是對于數學教師，還是學生來說，都是嚴峻的挑戰.初中生在解題時，常常受到固定思維的束縛，導致其逐漸進入到解題“黑洞”中.鑒于此，在日常的解題教學中，教師應結合實際情況，大力培養學生逆向思維，使其在面臨復雜數學問題時，能夠反其道而行之，站在問題的對立面進行倒推，最終找到一種新的解題思路.經過課堂教學實踐證明，通過一段時間的逆向思維訓練之后，學生的解題能力、思維能力也隨之提升，極大地促進了數學核心素養的落實，具備極強的教育價值.

1?逆向思維在初中數學解題中的具體應用

逆向思維又被稱為求異思維，主要是對已經成為定論，或者司空見慣的觀點、事物等，從相反的視角進行思考、觀察，最終產生新的思路和想法.在初中數學學習中，逆向思維就是從反方向思考和分析數學問題，并對其進行解釋和解答.鑒于數學學科的特點，逆向思維在數學學習中得到了廣泛的應用，儼然已經成為一種有力的“解題工具”.

1.1?在幾何題目中應用

幾何作為初中數學的重要組成，在常規的解題思路中，學生需要先從題干中尋找已知條件，再依據已知條件進行求解.但在實際解題中，部分學生常常面臨著極大的困難，無法從題目已知條件中得出結論.鑒于此，可通過逆向思維，以結論作為出發點進行逆推，最終形成明確的解題思路.

例1?如圖1所示，在△ABC中，AB⊥AD，AC=AB，BC和AD兩條直線相交，交點為E.BC⊥DC，AD和DC相交，交點為D，求證：AC2=AD·AE.

解析：在這一題目中，憑借求證的要求，即可結合所學知識聯想到需要運用三角形相似的方式進行.但按照常規的思路進行解題，學生結合已有的條件出發，單憑題目中所給的兩個垂直條件，很難找出能夠建立AC2=AD·AE關系的相似三角形.此時，即可借助逆向思維的方式，從結論出發：要想證明出AC2=AD·AE，則可將其變形為ACAD=AEAC.根據三角形邊的關系，只要證明出△ADC∽△ACE即可.如此，即可利用題目中所給的條件進行證明.具體步驟如下：∵AB⊥AD、BC⊥DC，且∠AEB=∠CED，∴∠B=∠D.又AC=AB，∴∠B=∠ACB=∠D.

在△ADC和△ACE中，∵∠ACD=∠BCD+∠ACB=90°+∠ACB，∠AEC=∠BAD+∠B=90°+∠B0又∠B=∠ACB=∠D.

∴∠ACD=∠AEC.

且∠DAC為兩個三角形的公共角.∴△ADC∽△ACE，∴ACAD=AEAC，∴AC2=AD·AE.

例2?如圖2所示，在四邊形ABCD中，AB+BD＜AC+CD，求證：AB＜AC.

解析：如果按照常規的思路進行證明，學生要想證明出AB＜AC，需要先證明BD=CD，或者BD＞CD，即要先證明出∠BCD≥∠1.如果按照這一思路進行，根據現有題目中所給出的條件，學生常常面臨較大的困難.面對這一現狀，如果采用逆向思維的方式，即可從AB≥AC出發，對其證明.如此，按照逆向思維的模式，如果AB≥AC，則有∠2≥∠ABC，∠BCD＞∠2，∠ABC＞∠1，最終由此得出∠BCD＞∠1，BD＞CD，即AB+BD＞AC+CD.顯然這與所給出的條件不相符.因此，假設不成立.即：AB＜AC［1］.

1.2?在一元一次不等式題目中應用

一元一次不等式是初中數學中最為重要的知識點，也是必考的知識點.在解答這一類型題目時，常規性的問題可按照傳統的思維模式進行解答，但是針對部分特殊的問題，按照常規思路進行解題，只會導致學生陷入到困境中.鑒于此，就應引導學生轉化思維，借助逆向思維的模式，對一元一次不等式進行簡化，有效提升學生的數學解題能力.

例3?解關于x的不等式組x-m＜0，7-2x≤3.如果其存在4個整數解，求m的取值范圍.

解析：如果按照常規的思路進行求解，由于不等式方程組中含有字母，學生計算完之后，只能得到2≤x

1.3?在方程題目中應用

方程也是初中數學的重難點，在考試中尤為常見.在解答方程類型題目時，由于學生的思維方式、計算能力存在差異性，在具體解答問題時，學生常常面臨著計算和方程知識運用等問題.鑒于此，在優化解題教學時，就可適當融入逆向思維的模式，拓展學生的解題思路，提升其計算能力.

例4?解方程320×40%=（320-x）（1-20%）+20%.

解析：如果按照常規的思路進行解答，學生在解該方程時，需要先將其變形成為320×40%=（320-x）80%+20%，接著通過移項、變形，成為80%x=320×40%+20%，到此之后，學生需要面臨比較繁瑣的計算，不僅浪費了時間，而且容易出現錯誤.鑒于此，即可融入逆向思維的模式，先在方程的兩邊同時除以20%，對其進行變形，得出：4x=320×2+1，最終便可簡單地求出x=6414［2］.

例5?媽媽購買了幾桶牛奶.第一天，全家人喝掉了全部牛奶的一半零半桶；第二天又喝掉了第一天剩下的一半零半桶，第三天把家中剩下的一半零半桶牛奶喝完了.此時，媽媽購買回來的牛奶已經全部喝完，問媽媽一共購買了多少牛奶？

解析：在這一方程應用題中，如果按照常規的思路進行正面求解，學生將面臨著很大的困難.此時，就可融入逆向思維進行分析：假設第二天喝完之后家中還剩下x桶牛奶，則根據題意得出x2-12=1，得出x=1，也是就說第二天喝完之后，家中牛奶只剩余1桶.由此進行逆推，第二天沒有喝之前的牛奶為3桶，第一天沒喝之前為7桶，也就是媽媽買回來的牛奶.

1.4?在三角形題目中應用

三角形作為初中數學的重點之一，在考試中尤為常見.針對一些特殊的三角形題目，當傳統解題思路碰壁時，即可融入逆向思維，巧妙運用相關的性質、定理，最終高效解答相關的題目.

例6?在一個三角形中，至少有一個角不小于60°.判斷該命題是真命題還是假命題？

解析：在對這一命題進行判斷時，如果按照常規的思維，需要考慮很多情況，因為在題目中給出的是“至少有一個”，也就是說可能是兩個、也可能是三個.如此一來，增加了判斷的難度，甚至導致學生做出錯誤的判斷.鑒于此，就可引導學生借助逆向思維的方式，從命題結論入手，至少有一個角不小于60°的對立面就是“沒有一個角小于60°”，如果這一命題正確，原命題就是假命題.在三角形中，因為其內角和是180°，如果“沒有一個角小于60°”，則三角形內角和就超出了180°，因此該命題屬于假命題.由此得出原命題“在一個三角形中，至少有一個角不小于60°”屬于真命題.

例7?已知△ABC，三條邊分別是a、b、c，且a=2n+1，b=2n2+2n，c=2n2+2n+1（n＞0），求證：△ABC是直角三角形.

解析：要想證明三角形是否屬于直角三角形，按照常規的思路來說，基本上都是從角出發.而在本題目中，給出的卻是三條邊的關系.鑒于此，就可借助逆向思維這一途徑，從勾股定理的逆定理出發，如果三角形三邊關系滿足a2+b2=c2即可.即：

∵n＞0，

∴2n2+2n+1＞2n2+2n＞2n+1，即：c＞b＞a.

∵a2+b2=（2n+1）2+（2n2+2n）2=4n4+8n3+8n2+4n+1，c2=（2n2+2n+1）2=4n4+8n3+8n2+4n+1，

∴a2+b2=c2.

∴△ABC是直角三角形［3］.

1.5?在函數問題中應用

在初中數學教學中，函數問題歷來是重難點，學生在學習中常常面臨很大的困難.鑒于此，在優化函數問題解題教學時，就可充分發揮逆向思維的價值，引導學生在反向思考中，尋找出新的解題路徑，逐漸消除學生的畏難情緒等.

例8?當m取什么實數時，拋物線y=-x2+（m-2）x+m-5的頂點不在第四象限中？

解析：在這道二次函數問題中，如果按照常規的解題思路進行考慮，要想使得拋物線圖象不在“第四象限”中，則應考慮在第一、第二、第三象限以及坐標軸上.此時，學生需要對這些情況進行討論，最終將所有的結論進行綜合成為答案.但是這一解題思路比較麻煩，學生需要討論的范圍比較廣，以及精準無誤的計算等.但是如果采用逆向思維的模式，就可將這一題目簡單化，最終完成其高效解答.即：拋物線y=-x2+（m-2）x+m-5的頂點在第四象限時，根據定點公式，即可得出-m-22×（-1）＞0，

4×（-1）（m-5）-（m-2）24×（-1）＜0.

通過解不等式組，即可得出2＜m＜4，此時該拋物線頂點正處于第四象限中.反之，當m≥4或m≤2時，拋物線y=-x2+（m-2）x+m-5的頂點不在第四象限中.

例9?如圖3所示，拋物線y=-12x2+7x-452與x軸相交，交點為A、B.將拋物線在x軸上方的圖象記為C1，之后將C1向左平移，并得到C2，且C2與x軸相交于B、D兩點，如果直線y=-12x+m與C1、C2一共存在三個不同的交點，則m的取值范圍是（??）.

解析：在這一函數問題解答中，如果按照常規的思維，學生將面臨著非常大的困難，難以形成明確的解題思路.而這一題目作為選擇題目形式出現，需要學生快速、精準完成解答.鑒于此，就可借助逆向思維的方式，令y=-12x2+7x-452=0，最終通過解方程得出A、B兩點的坐標，即：A（9，0）、B（5，0），通過該圖象平移，因為C1、C2存在共同的交點B，據此得出D點的坐標為（1，0）；同時，結合題目中已知條件，得出C2對應的拋物線解析式為y=-12（x-3）2+2，直線y=-12x+m與C1、C2一共存在三個不同的交點.如果其恰好過B點時，則和C1、C2存在兩個交點.于是，將B點坐標帶入直線y=-12x+m的解析式中，最終即可得出m=52.隨即，結合題目含義，得出m＞52，就可以此出發將B、D兩個選項排出.之后，對A、C兩項進行觀察，關鍵在于是否含有m=4，隨即將其帶入到直線解析式中，并與拋物線聯立方程.如此即可得出最終的答案，即A［4］.

1.6?在綜合性問題中的應用

在初中綜合性復習中，常常會遇到一些綜合性的問題.這些問題中常常包含著大量的知識點，綜合性十分強，學生不僅僅要具備扎實的基礎知識體系，還應具備極強的數學思維能力，能夠結合題目的實際情況，靈活運用逆向思維進行解答.

例10?如果點P（x，y）的坐標滿足x+y=2a-b-4，x-y=b-4，且點P不在x軸上.若關于z的不等式yz+x+4＞0的解題為z＜23，則關于t不等式at＞b的解集是什么？

解析：這是一道綜合性的數學問題，其中涉及的知識點非常多，主要包括二元一次方程組、點的坐標、不等式等.學生按照常規的思維解答時，常常面臨很大的困難，致使多學生都選擇了放棄.鑒于此，在優化解題教學時，就可融入逆向思維的方式，先根據題意得出x=a-4，y=a-b.∵點P不在x軸上，∴a≠b.又∵yz+x+4＞0，∴（a-b）z+a＞0.

最終解答出z＜23.同時，結合不等式知識得出a-b＜0，得出z＜-aa-b=23，最終得出b=52a，∴a＜52a，a＞0，b＞0，則不等式at＞b，最終得出t＞ba=52，

∴at＞b的解集為t＞52［5］.

2?初中數學教學中學生逆向思維能力培養路徑

經過大量的課堂教學實踐證明，在初中數學解題教學中，逆向思維的應用，可有效拓展學生的解題思路，使得學生在“反其道而行之”中，獲得新的解題思路.因此，作為一名優秀的初中數學教師，在日常教學中，必須要結合課堂教學實踐，培養并發展學生的逆向思維能力.

首先，關注數學概念教學.鑒于數學學科的特點，概念教學是基礎和關鍵.鑒于數學概念的特點，以及新課程標準下數學概念學習的要求，教師在優化概念教學時，要帶領學生徹底擺脫“死記硬背”的概念學習模式，結合學生的實際情況，引導其采用不同的記憶方式進行學習，旨在實現數學知識的靈活掌握.

其次，還應關注學生的解題過程.解題教學作為初中數學教學的重要組成，教師在開展解題教學時，必須徹底擺脫“就題論題”的模式，不僅要為學生講解具體的解題思路，還應及時滲透逆向思維，引導學生從不同的角度分析、解決數學問題.需要說明的是，學生的逆向思維素養的培養是一項長期的任務，需要在潛移默化中形成.

最后，依托專項訓練，發展學生的逆向思維能力.培養學生的逆向思維能力，不僅要停留在理論上，還應借助大量的實踐訓練，促使學生在解決問題的過程中，促進逆向思維的進一步發展，最終促使學生真正掌握這一技能.鑒于此，數學教師在完成基本的教學之后，還應及時開展有關逆向思維的專項訓練，使得學生在針對性的訓練中，逐漸養成運用逆向思維解決問題的習慣［6］.

3?結束語

綜上所述，鑒于數學學科的特點，對學生的思維能力要求比較高.同時，數學學科還承擔著培養學生數學思維能力的重要任務.逆向思維作為數學思維的重要組成，在初中數學教學中，培養和發展學生的逆向思維能力，不僅是培養學生數學綜合思維的必然選擇，也是提升學生數學解題能力的關鍵途徑.鑒于此，教師在日常教學中，必須精心選擇針對性的數學題目，引導學生運用逆向思維分析問題，并將其解答出來.

參考文獻：

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［5］ 段振富，徐杰.培養逆向思維，探尋解題新途徑——初中數學教學中逆向思維培養的思考［J］.數學教學通訊，2022（5）：1820.

［6］ 時間.初中數學解題教學中逆向思維的應用［J］.新課程，2022（11）：100.