回歸基礎尋思路 提煉模型促思維

劉芝齊

摘?要：初中數學教學過程中，解題教學是非常重要的內容.解題的作用是對所學的基礎知識進行鞏固，通過解題的過程來提升學生的解題技巧和技能，從而培養學生的解題能力.本文將以2022年成都市中考數學26題為例，分析如何在解題過程中通過基礎知識來尋找解題思路，從而通過解題來構建出相似問題的解題模型，促進學生數學思維的培養.

關鍵詞：初中數學；解題教學；模型提煉；數學思維

從數學解題教學的過程中可以發現，所有的數學問題都是從一個較為基礎的知識點出發，通過數學模型的構建而形成的［1］.所以在解題教學的過程中就需要對數學問題的基礎知識進行分析，通過基礎知識來尋找解題的思路，從思路中找到這類問題的數學模型，從而實現對數學思維的培養［2］.筆者將結合自身多年的數學教學經驗，來對試題的解答進行探究.

1?原題呈現

例1?（2022年成都市中考數學第26題）如圖1所示，在矩形ABCD中，AD=nAB（n＞1），點E是AD邊上一動點（點E不與A、D重合），連接BE，以BE為邊在直線BE的右側作矩形，使矩形EBFG∽矩形ABCD，EG交直線CD于點H.

（1） 【嘗試初探】在點E運動的過程中△ABE與△DEH始終保持相似關系，請說明理由；

（2） 【深入探究】若n=2，隨著E點位置的變化，H點的位置隨之發生變化，當H是線段CD的中點時，求tan∠ABE的值；

（3） 【拓展延伸】連接BH、HF，當△BFH是以FH為腰的等腰三角形時，求tan∠ABE的值（用含n的代數式表示）.

2?試題分析

首先是第一個問題，證明兩個三角形相似的方式有很多［3］，結合本題可以發現，△ABE與△DEH都是直角三角形，同時∠AEB+∠DEH=90°這個關系是恒定不變的，所以根據這兩個三角形兩角對應相等即可證明△ABE∽△DEH.然后是第二個問題.通過對已知條件進行分析，要求tan∠ABE的值就需要求線段AE與線段AB之間的比值關系.所以就需要根據題目中所給定的線段關系來對線段的長度進行假設，假設DH=x，AE=y，則有AB=2x，AD=4x，DE=4x-y，然后根據第一問中所證明的△ABE∽△DEH就能夠對x，y的值進行計算，最后就可以計算出tan∠ABE的值.最后是第三個問題，根據題意連接BH、HF，△BFH是以FH為腰的等腰三角形，這里需要分為FH=BH和FH=FB兩種情況進行討論，當FH=BH時，如圖2所示.可以很容易地證明△BEH≌FGH，從而就可以得到EH=GH，然后根據△ABE∽△DEH就能夠對tan∠ABE進行表示了.當FH=FB時，如圖3所示.這里就需要證明△ABE∽△CBF，從而通過證明△BEH≌△BCH來得到BE=BC，從而表示tan∠ABE的兩條直角邊.

3?解題過程

解：（1） 在Rt△BAE中，∠ABE+∠AEB=90°.

又因矩形ABCD與矩形EBFG相似，

所以∠BEG=90°，

所以∠AEB+∠DEH=90°，

所以∠ABE=∠DEH.

又∠BAE=∠EDH=90°，

所以△BAE∽△EDH.

4?試題總結

通過對這個試題的分析和求解可以看出，本題最基礎的內容就是三角形的相似問題.在第一個問題【嘗試初探】中通過證明兩個三角形的相似來為我們提供了一個模型：在一個矩形ABCD中，AD=nAB（n＞1），點E是AD邊上一動點（點E不與A、D重合），連接BE，以BE為邊在直線BE的右側作矩形，使矩形EBFG∽矩形ABCD，EG交直線CD于點H.在這個模型中會出現一個恒定的三角形相似關系就是△BAE∽△EDH.通過這個三角形的相似關系，就可以結合兩個三角形相似情況下存在的邊的關系和角的關系來解決后續問題［4］.在第二問【深入探究】中，則給了一個特殊的情況，邊長關系為AD=nAB，n=2，同時點H是CD邊的中點.在這個數學模型中存在這樣的一個特殊關系時，就可以把兩個相似三角形的邊通過比值關系來進行表示，從而就可以計算出tan∠ABE的值.而在第三個問題【拓展延伸】中，則是進一步在這個相似矩形的模型中討論，在形成等腰三角形的基礎上，如何表示tan∠ABE的值［5］.

所以在這個壓軸題中，試題最基礎的邏輯就是在這個相似矩形的模型中會的關系△BAE∽△EDH，然后在這個相似三角形關系的基礎上來進行一定的變化，從而來進行延伸.所以在解題的過程中找到題目中最基礎的知識點是非常重要的，通過這個知識點來結合相應的數學模型就能夠對試題進行分析和求解.當然在這個問題中，我們還能夠進行更加深入的延伸.在第三問的情況下是否會存在△BFH是等邊三角形的情況，如果存在，請計算tan∠ABE的值，如果不存在，請說明理由.在這個問題的討論中就可以先假設這個結論存在，那么就能夠得到的關系是BF=BH=FH，這樣就可以得到BH=EG，顯然這樣的關系是不存在的.

5?結語

綜上所述，文章通過2022年成都市中考數學壓軸題26題的分析和求解過程來對試題中所考查的基礎內容進行了分析，并對這個基礎內容的模型類型進行了分析，由此可見，一個數學問題是通過一個或者多個基礎知識并結合相應的數學模型進行不斷變化而形成的.所以在解題教學的過程中就需要讓學生進行基礎知識的分析，結合相應的模型情況來實現對問題的求解.

參考文獻：

［1］ 陳維強.初中數學教學中培養學生解題能力的策略初探［J］.課堂內外·初中教研，2022（1）：3839.

［2］ 鄭旭林.夯實數學基礎提高解題能力--對提高初中數學解題能力的幾點分析和建議［C］.//廣東省初等數學學會第二屆第一次學術會議論文集.2018：120126.

［3］ 李雷.初中數學規律探究問題的類型及解題技巧探究［J］.考試周刊，2021（22）：7172.

［4］ 向勇民.初中數學教學中如何培養學生的解題能力［J］.中外交流，2021，28（3）：594.

［5］ 馬亞喃.初中數學幾何解題技巧探究［J］.數理天地（初中版），2022（18）：1718.