淺談算術平方根和平方根教學中的有效銜接

張冬生

摘要：算術平方根和平方根是“實數(shù)”一章中很重要的兩個概念。這兩個概念既是教學重點，又是教學難點。以往不少同學對這兩個概念認識模糊，甚至到了初三畢業(yè)前的復習階段的理解不清。這對后繼課程的學習，特別是“二次根式”這一章有較大的影響。因此，教師既可以根據(jù)生活中的實際問題引出算術平方根的概念，又可以對上學期的乘方進行復習而導出平方根的概念。由淺入深地幫助學生掌握算術平方根和平方根的聯(lián)系和區(qū)別，再嘗試用不同的內(nèi)容組合不斷提高學生數(shù)學素養(yǎng)的同時，也能夠達到高效“教”與“學”的目的。

關鍵詞：初中數(shù)學 算術平方根 平方根

一、人教版教材分總形式設計

《義務教育數(shù)學課程標準》中提及：“經(jīng)歷數(shù)與代數(shù)的抽象、運算與數(shù)學建模等過程，掌握數(shù)與代數(shù)的基礎知識和基本技能?！睂τ诒竟?jié)的要求為：一是了解平方根、算術平方根的概念，會用根號表示數(shù)的平方根、算術平方根。二是了解乘方與開方互為逆運算，會用平方運算求百以內(nèi)整數(shù)的平方根，會用計算器求平方根。

人教版教材中將平方根和算術平方根的內(nèi)容安排在七年級下冊第六章“實數(shù)”，主要是因為學生在七年級上學期已經(jīng)學過有理數(shù)及有理數(shù)的乘方，為現(xiàn)在的實數(shù)知識學習奠定了堅實的基礎。人教版教材中的情境創(chuàng)設首先是通過提出生活中的實際問題正方形畫布面積求邊長，再通過填表的形式來引出算術平方根，層層疊進的方式讓同學們體會到數(shù)學與日常生活是密切聯(lián)系的，認識到日常的問題可以利用數(shù)學思維和數(shù)學方法來處理。并給出算術平方根的定義及表示方法、讀法及被開方數(shù)，特別規(guī)定0的算術平方根是0，并通過例1中的三個從大到小的數(shù)來計算算式平方根，主要有兩個目的：一是加強學生對于新知識的理解，并添加同步練習，鍛煉學生的計算能力。二是從被開方數(shù)的大小關系中得到，被開方數(shù)越大，對應的算術平方根也越大，為后面的規(guī)律探究提供鋪墊。后續(xù)的內(nèi)容是計算2的值和信息技術在數(shù)學學科中的應用，運用夾逼準則來計算2的近似值，從而得到它的值是個無限不循環(huán)小數(shù)，為無理數(shù)的概念總結(jié)提出范例。而通過計算器來計算數(shù)的算式平方根，為算術平方根規(guī)律的探究提供條件和驗證方式。人教版教材中的閃光點：一是對算術平方根的規(guī)律的探究。這是其他版教材中沒有的，可能是過于追求對規(guī)律探究的側(cè)重，導致平方根和算術平方根兩者間的關系割裂，若對其進行改進，加強知識的銜接與聯(lián)系，那么學生對知識的理解更加清晰。二是課后習題分層設計，適合不同學情的同學。復習鞏固都可以從課本例題上找到模板，適合后進生。“綜合運用”欄目穿插著一元二次方程及物理題中的公式運用計算，需要同學在基礎知識上，再加一點轉(zhuǎn)換，但是沒有脫離課本的知識，適合中等生?！巴貜V探索”欄目要求學生具有探究精神，學會動手和動腦，從中得到公式，能夠探究出無限開方的規(guī)律，適合優(yōu)等生。

算術平方根主要分為三大部分：一是算術平方根的概念和計算，二是對于算術平方根規(guī)律的研究和應用，三是數(shù)的大小比較。平方根主要分為兩個部分，分別是介紹平方根（二次方根），可以求數(shù)的平方根，分析平方根的兩個根的關系，以及介紹平方根和算術平方根的聯(lián)系與區(qū)別。教材采用分總的形式呈現(xiàn)，分的重點在于研究算術平方根，總的重點是通過填表重新導入平方根，借助教材中的圖片突出平方和平方根的關系以及平方根的兩個根的特點，但是總體聯(lián)系性不強，在算術平方根中出現(xiàn)的例1和例3容易給學生的學習帶來順向負遷移；例1中出現(xiàn)的x2=2，x=2以及例3中出現(xiàn)的x2=50，x=50，在實際教學中教師要指導學生注意這里表示的是算術平方根，畫布或者紙片的邊長不可能是負數(shù)。但這容易被學生誤解，之后學習的平方根，2的平方根有兩個分別是±2，學生受之前學習的算術平方根先入為主影響，教師要將平方根并結(jié)合之前的例題進行解釋說明，否則學生以后學習解一元二次方程時會產(chǎn)生思維定式。另外，在平方根的例題解答中，之前算數(shù)的算術平方根，可以給出100=10，在平方根里面應該同樣表示±100=±10，通過對比，讓學生加深印象，同時讓學生通過比較、討論，探究得到算術平方根其實是兩個平方根中的一個非負根。還可以幫助學生逐步形成嚴謹?shù)耐评砜偨Y(jié)與實踐動手的能力，并在不斷改進、修正自身的數(shù)學學習方法、學習方式的基礎上，努力提高自身解決數(shù)學問題的能力、數(shù)學學科的文化素養(yǎng)。

二、個人淺談總分形式設計

相對于課堂教學與實踐訓練的效果而言，學生往往會對新知識產(chǎn)生首因效應。個人建議先介紹平方根，上學期的乘方內(nèi)容就可以直接導入平方根，例如（±3）2=9，很容易得出9的平方根是±3，復習導入，自然和諧；同時，教師借助關于畫布面積求邊長的例題引導學生考慮實際情況，從而恰當?shù)匾鏊阈g平方根，而且能更清晰地向?qū)W生傳遞出兩者之間的關系以及兩者之間的區(qū)別。設置數(shù)學理論知識聯(lián)系實際的數(shù)學思想，容易激發(fā)學生的成就感、驚奇感，讓同學們能夠在概念學習的過程中體會、體驗到自主探究、釋疑的樂趣，這對激發(fā)學生學習知識的愿望也具有良好的促進作用。

這樣的總分形式設計便于學生理解平方根和算術平方根兩者之間的關系，平方根中的開方運算結(jié)果和解題步驟方法，同樣適用于算術平方根的運算和解題。另外，之后就可以對算術平方根的知識展開重點探究，包括對規(guī)律的探究以及數(shù)的大小關系比較。特別是通過對實際例題的講解會在真正意義上接觸到無理數(shù)2，對于2的近似值探究一來可以對以后的無理數(shù)學習起到很好的先導作用，二來通過生活實例解題得出含有根號的數(shù)，判斷和其他數(shù)的大小關系，為之后學習算術平方根的規(guī)律以及實數(shù)的大小比較提供一種方法策略。在進行算術平方根規(guī)律的再利用時，可以作為講解二次根式的“先行組織者”，以此來達到培養(yǎng)和提升學生的數(shù)學思維、掌握知識內(nèi)容體系的目的。在教材的閱讀與思考中，證明了2不是有理數(shù)，并給予證明，還運用反證法拓展學生的數(shù)學發(fā)散思維和生活中的逆向思維。

三、其他版本的設計對照比較

“教學為了誰？教學依靠誰來展開和進行？教學從哪里出發(fā)？”這三個問題是數(shù)學教師必須經(jīng)常思考和回答的，具有不同教學立場的教師對這三個問題的回答也不一定相同。

北師大版八年級上冊的平方根的引入是在前一章節(jié)的勾股定理和前一小節(jié)給出的無理數(shù)定義的基礎上，通過直角三角形求斜邊的長，從而引出算術平方根的概念，對于由圖形導入，可以由教師動手畫或者通過信息技術中的作圖工具來完成圖形繪制，對學生來說比較新穎，也穿插數(shù)形結(jié)合的思想。第一小問中的x2，y2…要求學生填空比較合適，既復習之前的勾股定理又為后續(xù)的算式平方根的定義提供素材。但是第二小問中要求學生說出其中的無理數(shù)和有理數(shù)，這一問缺乏無理數(shù)與帶根號的數(shù)之間聯(lián)系的紐帶，會影響學生對知識的正遷移，后續(xù)可以在算術平方根的后面加上類似2，3…這樣的數(shù)，進行近似計算，搭建無理數(shù)和帶根號的開方數(shù)的橋梁，最后總結(jié)的時候再來提問問題（2），則更為合適。由9的算術平方根是3，也就是說3的平方是9，還有其他的數(shù)的平方是9嗎？從而引出平方根，后續(xù)對平方根和立方根進行估算有單獨的小節(jié)來完成，并在同步的練習中出現(xiàn)了映射二次根式中的公式，這是閃光點，但是美中不足的是缺少對平方根規(guī)律的探究，學生自主探究的能力得不到很好的體現(xiàn)。

魯教版七年級上冊的引入同北師大版教材類似，在導入的部分同樣缺乏根數(shù)和無理數(shù)聯(lián)系的橋梁，通過3個例子來充分說明算術平方根和平方根的計算，以及算術平方根的應用。其中例2聯(lián)系物理知識，通過小球落地跨學科進行教學，注重學科間的聯(lián)系，是本節(jié)的亮點，但是不足的地方在于公式的運用，解方程中，只涉及一個根，沒有進行特別說明，會誤導學生對平方根的理解，建議例2可以放在平方根的后面，補充一下時間不是負數(shù)，排除一個根，從而得到正確的答案。這樣安排符合學生的認知規(guī)律。

滬教版七年級下冊平方根的引入是以上一小節(jié)中2，3，5這樣的無理數(shù)為基礎的，通過生活中的實際問題方桌面積求邊長導出平方根的概念，再結(jié)合實際問題引出算術平方根，然后用計算器對算術平方根進行估算，這個版本平方根的引入合理，知識銜接自然，但是前一小節(jié)的實數(shù)欠缺合理性，對于說明2是無理數(shù)也沒有具體的方法，雖然后面也進行了證明，但還是容易給學生帶來凡是帶根號的都是無理數(shù)這樣的思維定式。

湘教版八年級上冊通過生活實例鋪正方形地墊來求邊長，引入平方根的定義，并著重介紹兩個平方根之間的關系，同步說明算術平方根，利用圖表來呈現(xiàn)平方根和平方之間的互逆關系，運用例1和例2強化平方根和算術平方根的計算，本節(jié)的閃光點在于突出了正數(shù)的兩個平方根之間是互為相反數(shù)。但也有很多不足的地方，銜接的內(nèi)容是無理數(shù)的知識，而沒有關于這節(jié)內(nèi)容的應用題，單純的數(shù)學計算，缺乏計算與應用的結(jié)合。

冀教版八年級上冊通過填表的方式導入平方根，采用總分的形式自然引出算術平方根的概念，整個知識的銜接連貫便于學生理解和掌握，但是細節(jié)方面可以適當修改，其中正數(shù)a的平方根是±a，表述為非負數(shù)a是否更好些，也可以適當添加部分二次根式中的公式探究，促進知識的順向遷移。

浙教版七年級上冊通過正方形面積求邊長導出平方根的概念，進一步得到算術平方根，如果正方形面積設定為可開方的整數(shù)，這樣可以讓能力有限的同學也跟得上節(jié)奏，立足于教材而高于教材，不拘泥于課本。數(shù)學是為解決日常生活中的問題而服務的，如果加上結(jié)合實際的應用題或者跨學科題目，可能會更好，這樣學生既可以提高運算能力又可以提升解決問題的能力。新的教學觀側(cè)重以學生為出發(fā)點來組織教學，既重視研究教法，又注重研究學法，在運用教學方法時把學生作為學習的主體，注重啟發(fā)誘導，調(diào)動學生的主動性和積極性。著名心理學家皮亞杰曾一針見血地指出：“傳統(tǒng)教育方法與新的教育方法的對立乃是被動性與主動性的對立?！?/p>

蘇科版八年級上冊通過長方形的對角線長度的計算引出平方根，經(jīng)過幾個簡單的特殊值得出兩個平方根之間的關系，從而引出平方根的定義，該版教材特別注重細節(jié)，備注了a≥0，提醒學生注意。后續(xù)自然地引出算式平方根。例1計算數(shù)的平方根。例2計算數(shù)的算術平方根。例3是本節(jié)的閃光點，既強化學生對平方根和平方之間的關系，又為二次根式中的公式提供先導素材。例4，結(jié)合自然科學的知識，讓同學們明白生活中的道理，站得高望得遠。當然也有不足的地方，要注重培養(yǎng)學生的探究能力和小組合作能力，還應進行算術平方根規(guī)律的探索。

滬科版七年級下冊通過地板的面積導出平方根的概念并同步給出算術平方根，結(jié)構合理，重點在于通過兩個圖表讓學生更直觀地理解平方根和平方的關系，便于學生對知識的理解，用4個例子層層遞進。例1，判斷數(shù)有沒有平方根，給予學生直觀的認知，也為區(qū)分數(shù)有沒有立方根做個對照。例2，計算出各數(shù)的平方根和算術平方根，既強化了學生對新知識的理解與計算，也加深了學生對平方根和算術平方根的區(qū)分理解。例3，利用計算器來進行運算，提倡信息技術的運用，但缺點是探究性不強，對于普遍的算術平方根的規(guī)律沒有引入，停留在表層，學生跟隨著教師的節(jié)奏學習，做不到自己動手探究和理解知識。例4，結(jié)合物理知識，在跨學科的基礎上應用知識，為八年級物理學科的開設提供知識的“先行組織者”。在初中數(shù)學教學中，通過緊密聯(lián)系學生的生活來提高數(shù)學學習的效果，已成為現(xiàn)代數(shù)據(jù)學習中特別需要解決的問題之一。這種情況下，就要求教師在數(shù)學教育活動中要積極創(chuàng)造條件，豐富學生的數(shù)學生活，進一步提高數(shù)學學習的效率，同時能夠?qū)崿F(xiàn)初中數(shù)學的深度學習。

結(jié)語

初中數(shù)學教學中，教師應充分重視并利用平方根的知識，作為后續(xù)實數(shù)的計算、勾股定理的計算以及解一元二次方程的基礎。并能利用平方根中數(shù)的規(guī)律遷移得到二次根式的公式，學會二次根式的計算。各版本教材編排可能不同，但是無論是分總形式還是總分形式的教學，內(nèi)容是不變的，在于知識的操作性，讓學生輕松探究知識，掌握和理解知識，提升數(shù)學文化素養(yǎng)以及實際問題解決能力，充分發(fā)揮數(shù)學的科學價值，激發(fā)學生學習數(shù)學的強烈興趣，貫徹新課標中的“有意義學習”。

參考文獻：

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責任編輯：唐丹丹