課堂實踐中探索核心素養落地

江潞潞

[摘 ?要] 《普通高中數學課程標準（2017年版）》提出，發展學生的數學核心素養是數學課程教學的長遠目標. 那么，在實際教學中，該如何將核心素養的培養與發展落實到課堂實踐中呢？文章以“平面向量基本定理”的教學為例，在做好分析的基礎上，從“情境創設，探究發現，形成定理”“深度理解，回歸本質，解讀定理”“解決問題，應用定理，實現創新”三方面展開闡述.

[關鍵詞] 課堂實踐;平面向量;核心素養;落地

核心素養的形成與發展須經歷一個漫長的過程，是日積月累的結果. 鑒于此，基于核心素養發展的教學設計，應有一個長遠的規劃，應在整體設計、分步實施中實現核心素養的落地、生根[1]. 課堂是教學的主要場所，每節課是實施課堂教學的基本單位，因此教師應精心設計教學活動，讓課堂為學生核心素養的提升提供養分.

向量與數量最大的區別在于數量只有大小而無方向，而向量既有大小又有方向，具有代數與幾何的雙重特征，也是一套良好的運算通性的體系. 若從數、量與運算三者發展的角度來分析，向量的重點不在于數的簡單擴大，而在于量與運算的擴充. 實踐證明，向量定義的學習不僅能幫助學生建立良好的幾何與代數的關系結構，還能讓學生在學習過程中發展數學核心素養.

基本分析

從知識邏輯與教材結構層面來分析，平面向量基本定理是平面向量的核心知識，是幾何問題向量化的依據，亦是向量線性運算的融會貫通. 若選定一組不共線的基底向量e1，e2，則平面內的任意向量都能以e1，e2的線性組合表示，同時還可與有序實數對（λ1，λ2）形成對應的關系，這種一一對應的關系為向量運算做好了鋪墊.

平面向量基本定理是建立在向量線性運算基礎上抽象而成的基本理論，它的結構形式由共線向量（向量一維形式）經類比獲得，再逐漸延伸到三維或更高維度的形式，空間平面數形的反映是它形成的主要機理. 同時，它還具有典型的幾何意義和豐富的內涵，存在顯著的教學與應用價值，學生在探索中可形成良好的抽象、推理、建模、直觀想象等能力，而這些能力又是核心素養的有機組成部分[2].

因此，這部分內容的學習對培養與發展學生的核心素養，具有顯著的促進作用. 本章節的知識與技能目標的實現比較簡單，而核心素養的培養，則須教育實施者精心思考與設計，力爭抓住一切機會進行知識本質原理與數學思想的滲透. 實踐發現，引導學生體驗與感知定理生成的過程，能讓學生從深層次理解其內涵，實現核心素養的提升.

教學簡錄

1. 情境創設，探究發現，形成定理

教學時，教師可結合學生原有的認知基礎，創設合理的問題情境，引導學生發現平面向量基本定理形成的過程，探究相關問題，為建構系統的知識體系做好鋪墊. 探究活動的開展一般遵循“初步印象—探究發現—實際操作”三個步驟.

第一步：初步印象.

展示1：從物理學角度出發，將一個力朝兩個方向分解成兩個力，如將一個物體置于不同斜面上，它的重力被分解成與斜面垂直和平行的兩個力，而隨著傾斜角度的變化，被分解成的力也會隨之發生改變.

展示2：以一條固定線段作為對角線作平行四邊形.

第二步：引導探究.

師：大家對向量共線已經有一定了解，若a，b均和e共線（e為非零向量），可得什么結論？

生1：可得a=λe，b=μe的結論.

師：由此可確定a，b有怎樣的聯系？

生2：均可應用向量e的數乘來表達.

師：那么e有何用？

生3：e的數乘能表示與它共線的一切向量.

師：能表達與它不共線的向量嗎？請大家先獨立思考、作圖分析，而后合作交流.

經分析后，學生獲得的結論為“不可以”. 隨之，教師又讓學生闡述理由. 學生再次思考、作圖，并合作探究，獲得的結論為“根據向量數乘的意義可知，一個向量僅可表示與它共線的向量”. 由此總結出“將e稱為與其共線的所有向量的基底”.

設計意圖 情境演示、自主探究與合作交流等教學手段的應用，契合學生的認知發展水平與最近發展區的需求. 以向量共線作為起點，通過“小步子”探究方式，讓學生體驗知識的自然生長過程，由此自然而然地總結出“基底向量”.

為了強化學生對“基底向量”的認識，教師展示了兩道例題，與學生一起分析.

例題1：如圖1所示，若p=a+b，a，e1共線，b，e2共線，p可表示為e1，e2（都是非零向量且不共線，下同）的什么形式？

學生給出的結論為“p=λe+λe”.

例題2：如圖2所示，在傾斜角為30°的光滑平面上放一個重4 kg的長方形鐵塊，鐵塊的重力G被分解成與斜面平行和垂直的力F，N，結合物理學內容怎樣表示G與F，N的向量關系式？若將力F，N表示為e，e的形成，則該怎樣將G表示為e，e的形式？

學生自主探究出的結論為“G=F+N”“G=2e+2e”.

為了引發學生更深層次地思考，教師提出：“若斜面的傾斜角分別為45°、60°，結論會怎樣？”以此引發學生思考后歸納與總結.

設計意圖 以上兩個例題的應用讓學生形成用兩個向量表示平面向量的意識，同時對基本向量才能表達平面向量的知識形成一定認識.

接下來，引導學生對比p，G的結論特點，引出λe+λe為e，e的線性組合的知識，并鼓勵學生探究當向量e，e固定時，平面內任意向量p是否可用向量e，e的線性組合來表示. 當學生對平面向量基本定理的結構形式有了初步印象后，教師帶領學生對“基底向量表示平面向量”的知識進行實際操作與探究，以獲得平面向量基本定理的四個層次.

第三步：實際操作.

第一層次：給定基底表示給定向量.

如圖3所示，已知平面內存在一組不共線的向量e，e，該如何表示該平面內的給定向量p？

點撥：通過之前兩個例題的分析，大家對p的表示形式已有所了解，它源于向量加法與數乘，當給定p與e，e時，可怎么用e，e表達p呢？

在教師的點撥下，學生很自然地將思維放到了向量加法的平行四邊形法則上，并快速建立了p與e，e的關系為p=λe+λe（過程略）.

此操作過程反映了p與e，e的關系與形成過程，學生在此過程中初步建立了模型，在此基礎上，師生進入了下一層次的操作探究活動.

第二層次：任選基底表示給定向量.

問題：若在一個平面內任意選定不共線的一組向量e，e，我們能否以此表示給定向量p？

如圖4所示，在學生充分發揮想象的基礎上，用多媒體演示. 鼓勵學生通過思考、操作、觀察，抽象出相應的結論為p=λe+λe，且p的表示與不共線的向量e，e無關.

第三層次：給定基底表示任意向量.

問題：若給定一組不共線的向量e，e，是否可用它們來表示平面內的所有向量？

如圖5所示，要求學在作圖思考的基礎上，用多媒體演示給定的基底向量線性組合的過程，可得：若平面內任何向量的起點和e，e的起點相重合，僅需表示這些向量的終點即可. 經探索發現，在此條件下，e，e可表示平面內的所有向量.

第四層次：任意基底表示任意向量.

問題：若已知平面內任意一組不共線的向量，可否表示出該平面內所有的向量？

通過對以上三個層次的總結，再逐層深入地進行分析、推理，可得結論：平面內任意一組不共線的向量都能表示該平面內所有的向量.

以上四個層次不一定要按次序、不遺漏地操作探究，學生只須透徹地搞清楚一個層次，就能形成清晰的認識. 而由淺入深的四個層次的設計，其目的在于讓學生親歷定理的形成過程，從直觀上引發豐富的想象，同時又在邏輯推理層面進行科學、嚴謹地論證，為培養學生的數學抽象能力和邏輯思維能力奠定了堅實的基礎.

2. 深度理解，回歸本質，解讀定理

深度理解是核心素養落地的標志，也是實現深度、高效學習的關鍵. 抽象的數學定理不僅體現了知識內在的抽象性、科學性、嚴謹性與邏輯性，還對后期的教學重點、難點具有指導意義，讓教師明確教學的重心應該在哪兒.

有些教師，授課時一味地追求教學進度，存在“重解題，輕定理”的思想，忽視了學生對定理的感悟過程，學生因對定理中所蘊含的內在規律與思想方法沒有明確的認識，從而無法建構完整的認知體系，對后期做題會產生負面影響. 即使通過一定程度的刷題能有所彌補，但依然達不到深度理解的程度，久而久之，學生的數學視野變得狹隘，遇到障礙時，也不會從不同角度去分析與突破問題.

（1）理解定理本質

教師引導學生回顧本節課所學的平面向量基本定理具體表達了什么內容，鼓勵學生用自己的理解來表征，以觀察學生對該定理的感悟程度. 不同的學生用不同的方式進行表達，但最終的指向是一樣的. 當教師提出“平面內不共線的兩個向量可以表示出平面內所有的向量，是否存在一定內在規律”時，學生默然了. 為此教師以點撥的方式啟發學生思維，“將不共線的向量，以有向線段的方式來表達，其實質就是兩條相交直線的一個部分”，學生瞬間就明白了問題的關鍵，從而出現了以下交流.

生4：平面向量基本定理的實質與立體幾何中“兩條相交直線可確定某平面”的實質，具有高度相似性.

師：不錯，還有其他想法嗎？

生5：與“三點不在同一條直線上時，可確定唯一一個平面”的原理類似.

師：這兩位同學將問題與決定平面的條件相聯系進行了思考，其他同學還有什么看法嗎？

生6：他們兩人說的都有一定道理，但兩條平行直線也可以確定一平面，而兩個平行向量卻無法表示出平面內所有的向量.

師：哦？對此大家怎么理解呢？

生7：其實這里面并不存在沖突，直線平行和向量平行完全不是一回事，而且平行向量的實質為共線向量，因此它無法表示.

在教師的點撥下，學生將平面向量基本定理和平面的本質有機地融合在一起進行思考，不僅強化了學生對定理的體悟，還讓學生感知到該定理的本質.

（2）剖析定理結構

當學生對定理的本質已經有比較深刻的理解后，教師可帶領學生一起剖析定理的結構，以達到深層次的理解.

師：通過之前的探究，我們都知道平面向量基本定理從本質上來看，和兩條相交直線可確定唯一平面具有一致性，大家是怎么理解這里的“唯一”二字的呢？

生8：“唯一”有兩層含義：①指相交直線確定的平面有且只有一個;②兩個不共線的向量所表示的平面內任意的向量，表現形式只有唯一一個.

師：確定嗎？（眾生肯定）

師：這個結論具有怎樣的作用？（學生沉默）

師：若我們換一種表達方式，將p用e，e來表示，即p=λe+λe，也可表達成p=μe+μe，從中能看出什么？

生9：可以發現λe+λe=μe+μe，也就是λ=μ，λ=μ.

設計意圖 讓學生在探究中發現知識間的內在關聯性與統一性，平面向量基本定理內存在辯證統一的關系，如λ，λ的唯一性和存在性，e，e的不唯一性和確定性等，這種領悟體現了核心素養的形成.

（3）應用定理，解決問題，實現創新

任何知識的教學都是為了應用到生活實際中解決問題. 如何讓學生在理解的基礎上實現靈活應用，是教師值得探索的問題. 平面向量基本定理反映了向量運算的整體形式，而向量法則體現了該定理的實際應用.

例題3：如圖6所示，已知點D為△ABC中BC邊的中點，且點E為AC邊近點A的三等分點，點P為AD，BE的交點，分別求AP∶AD與BP∶BE的值.

設計意圖 本題主要將平面向量基本定理的本質原理、思想等整合于一體，以觀察與培養學生對知識的應用能力.

學生通過對本題的分析，發現本節課所學的平面向量基本定理不能直接用在解題上，而用到的是其本質原理和思想. 隨著解題過程的推進，學生的數學思想悄然地發生了改變，而數學本質也在不知不覺中回歸. 因此，解題過程對于提升學生的數學核心素養具有無可替代的重要作用.

總之，基于核心素養培養的數學教學，可通過豐富的情境，調動學生的學習興趣;啟發性的問題，引發學生的思辨與探究;自主解題分析，實現各項綜合能力的提升[3]. 而學生作為課堂的主體，只有自主經歷思考、嘗試、挫折與磨難，不斷挑戰自我、突破自我，才能實現各項能力的提升.

參考文獻：

[1] 史寧中.學科核心素養的培養與教學——以數學學科核心素養的培養為例[J]. 中小學管理，2017 （01）：35-37.

[2] 常毓喜. 基于學科核心素養的2018年高考數學試題分析[J]. 數學通報，2019，58（03）：53-58.

[3] 孔凡哲，史寧中. 中國學生發展的數學核心素養概念界定及養成途徑[J]. 教育科學研究，2017（06）：5-11.