基于核心素養培養的初中數學概念教學初探

許文廠

［摘? 要］ 概念是數學的核心. 概念教學是滲透數學思想，落實數學核心素養的關鍵. 重視概念教學，不僅能培養學生用發展的眼光看待世界，還能讓學生學會用數學語言和思維表達和思考生活. 文章以概念形成的一般過程為出發點，從問題驅動，孕育新知；歸納類比，形成概念；挖掘內涵，深化概念三方面具體談談基于核心素養培養的初中數學概念教學的措施.

［關鍵詞］ 核心素養；概念教學；問題驅動

概念是數學中最基本的抽象，是培養學生思維品質、創新意識與應用能力的基礎. 新課標中對數學核心素養所提出的要素是數學抽象、推理、建模、想象、運算與數據分析等. 數學概念的教學是促使學生形成良好核心素養的根本. 如何讓學生在概念的形成與發展過程中，感知其內涵與外延，形成良好的核心素養，是筆者近兩年一直在探索的問題之一. 文章從以下幾方面，具體談談基于核心素養培養的初中數學概念教學方法，與同行分析交流.

概念形成的一般過程

概念形成是發展學生數學核心素養的重要載體. 課堂教學中，怎樣從情境中抽象出相應的概念是教學的重點與難點. 為此，筆者對概念形成的一般過程做了一定的研究，以期為教學服務.

杜賓斯基等人在APOS理論中提出，學習者在經歷概念抽象的過程中，會經歷操作、過程、對象與圖式四個階段. 奧蘇貝爾（D.P.Ausubel）認為概念的形成與發展大致需經歷八個階段的心理歷程. 結合以上理論，我國的學者章建躍與曹才翰共同提出了概念形成的一般過程，需經歷七個階段（見圖1）［1］.

此理論對于一般意義上的概念教學具有明確的指導意義. 但教學是一個動態的過程，具有一定的復雜性與靈活性，尤其受一些概念的特征與學生認知水平的影響，教學實施過程中，難免會出現不遵循以上線性發展順序的情況. 那么，教師在教學中應怎樣地引導學生的思維，幫助學生構建清晰的概念，促進其核心素養的提升呢？這是一個值得教師深入探討的問題.

培養策略

1. 問題驅動，孕育新知

傳統教學模式中，教師習慣用“傳授”的方式進行教學，學生按照教師的指令進行學習. 這種模式下，學生一般不會主動對教學過程或內容產生疑問，也不會主動去探索新知，而是被動地接納. 顯然，這種教學模式禁錮了學生的思維，讓學生養成被動學習的習慣，從而缺乏學習的主動性.

隨著新課改的推進，“以學生為主體”的課堂模式登上教育的舞臺，明確了學生在課堂教學中的主體地位. 如何化被動為主動，讓學生積極主動地參與教學活動呢？實踐證明，豐富的情境能有效地激發學生的探究熱情；具體的問題，能啟發學生的思維；良好的課堂氛圍，能激發學生的潛能. 學生在和諧、民主、自由的課堂中自主合作探究，不僅能充分張揚學生的個性，還能有效地激發創新意識，為數學核心素養的形成奠定基礎.

案例1? “數軸”的教學

本節課的教學重點與難點在于數軸的建模及有理數與數軸一一對應關系的教導. 照本宣科地進行填鴨式教學，只會讓學生處于云里霧里的狀態，無法弄清概念的本質，更談不上對概念的深刻理解. 而創設問題情境，驅動學生的思維，是實施課堂導入的關鍵. 在設計問題情境之前，教師首先要思考：數軸教學的目的、作用以及生活意義是什么？只有弄清了這些問題，才能從真正意義上引導好學生.

基于以上思考，筆者在本節課教學時，創設了以下問題情境.

羽毛球館在學校大門東側40 m處，圖書館在羽毛球館東40 m處，小明從學校大門出發，先往西走了110 m，又折回來往東走了320 m，求小明在圖書館的什么位置？

這是一個與學生生活密切相關的問題，很快就吸引了學生的注意力，還沒等教師提出要求，不少學生已經在草稿紙上圈圈畫畫，進行探究了.

巡視過程中，筆者發現學生的思維非常活躍，各種表達方法都有，大部分學生選擇的是用線段圖來表示. 為了讓學生有一個明確的研究方向，教師可鼓勵學生先自主描述這個問題情境，然后統一要求學生在自己所畫的線上取一點為0點，而涉及的一些數據，則可用直線上的點來表示.

通過不斷地交流與修正，學生的意見逐漸趨于統一：以學校為0點，學校往東作為正數方向，學校往西作為負數方向，并選擇一個標準長度為單位. 如此，在這個問題情境的驅動下，數軸的三要素已初見端倪. 學生在此探究過程中，不僅表現出了良好的主動思考、探究的能力，還對數軸的學習產生了良好的情感傾向.

2. 歸納類比，形成概念

有些數學概念相對抽象，學生學習起來有一定難度. 但仔細分析，會發現知識之間存在一些關聯性，根據這個特征，將學生認知結構中的舊知與新知進行類比教學，往往能實現知識由此及彼的遷移，達到良好的教學效果.

初中階段涉及的概念較多，如函數、不等式等，雖然類型繁多，但知識之間確實存在一定的聯系，抓住這些聯系就為教學提供了類比的條件. 從學生已有的認知結構出發，通過類比的方式，將已知遷移到未知的領域中，并類比分析、歸納總結，即可突出重點，突破難點，提高教學成效.

類比是一種重要的數學思想方法，除了在概念教學中應用得較多，在解題中也有大量使用. 因此，教師應從思想上重視這種方法的應用，并從行動上加強對這種方法的探究. 值得注意的是，教師應從思維上形成一個認識：類比就是類比推理，它是知識的遷移過程，而非兩個或兩類知識的差異性比較.

案例2? “反比例函數”的概念教學

在課堂導入環節后，筆者特設計了以下幾個問題，讓學生進行類比推理與概括.

問題1：觀察以下四個表達式，y=，y=7a+20，y=3.8n，t=，并思考以下問題.

（1）以上四個表達式中，分別有幾個變量？

（2）每個式子中的變量之間有沒有關系？若有，說一說其中的聯系.

（3）我們一般應用哪些模型來研究變量間的關系？

（4）你們對這些函數熟悉嗎？

（5）能否為不熟悉的函數起個名字？

設計意圖? 循序漸進的問題串，讓學生對函數產生更為直觀、深刻的認識，學生通過一次函數與正比例函數的回顧，再次體會函數之間的對應關系，從而將這種關系遷移到反比例函數中. 隨著認知矛盾的產生，學生自然而然地產生了進一步探究的想法，隨著新舊知識的類比概括，學生對反比例函數的概念產生了初步的認識.

問題2：大家回憶一下，當初研究一次函數的時候，是從哪些方面著手進行分析的？如果要研究反比例函數，該從何處著手呢？

問題3：觀察問題1中所提供的反比例函數解析式，它們之間存在哪些異同點？（分組合作）

問題4：通過以上的類比與總結，大家對反比例函數的解析式所具備的公共特征已有所了解，現在請大家根據正比例函數的定義，推導出反比例函數的定義.

隨著以上問題的逐個擊破，學生獲得反比例函數的定義為：形如y=（k≠0，且為常數）的函數. 教師強調：x為自變量，y為x的函數，k為反比例系數.

任何一種函數思想方法的研究，首先是概念的研究，讓學生對概念的圖象與性質產生清晰的認識后，再學會運用概念來解決相應的問題［2］. 以問題引導與類比歸納的方法，意在幫助學生將舊知的學習方式進行加工，遷移到新知的學習中. 同時，類比、歸納思想的應用，使得學生大概了解了研究函數問題的通用方法，為今后研究其他函數做鋪墊.

根據本例可知，緊扣知識內部聯系，不僅能順利實現知識的遷移，還能有效地發展學生的思維，讓學生通過一個問題的研究獲得解決一類問題的能力. 因此，類比歸納，獲得概念的過程是概念教學的關鍵，也是培養學生形成良好學習能力的基礎，更是促進學生核心素養形成的基本條件.

3. 揭示內涵，深化概念

在學生對概念有了明確的認識后，接下來的教學任務就是揭示概念的內涵與外延，讓學生全方位地認識與理解概念，為概念的靈活應用奠定基礎. 如何揭示概念的內涵，這是廣大教育者一直探索的問題，也是令不少教師感到困惑與棘手的問題之一. 為此，筆者針對這個教學環節做過多方面的嘗試. 實踐證明，引導學生動手操作、引用概念的發展史、多角度分析概念等方法是揭示概念內涵的有效措施.

案例3? “無理數”的教學

為了揭示無理數的內涵，讓學生感知無理數的特征，筆者特以認識為例，引導學生感知揭示概念內涵的過程，以深化學生對無理數概念的理解.

分析：縱觀的形成與發展歷史過程，在很早之前就出現了的近似值，但較晚才證明它無法用分數的形式來表達. 從認知發展規律的角度分析，初中階段學生從已有的生活經驗出發，能對有理數產生比較合理的認識，但對無理數的認識卻處于一個模糊的狀態. 結合學生的認知特點，教授有理數與無理數的區別時，教師可引導學生從近似值的角度出發，感知其無限不循環的小數特征，而非通過邏輯證明的方式來理解.

問題1：一個邊長為x的正方形，它的面積為x2. 若x的值為1，那么該正方形的面積為x2=1（x<2）；若x的值為2，那么該正方形的面積為x2=4（x=2）；若該正方形的面積為x2=2，那么x=，這個到底是多長呢？大家分析一下，是大于2還是小于2？

生1：我認為應介于1，2之間.

師：介于1，2之間的數有很多，到底是哪個數呢？

生2：不對，我剛剛計算了，1.5的平方為2.25，該值顯然大于2.

生3：1.42=1.96，小于2.

師：由此能說明什么？

生4：可見x是大于1.4的.

師：非常好！根據以上方法，我們可利用“二分法”無限計算，所獲得的值會越來越接近. 如圖2所示，這些數沒有規律可循，不是無限循環小數，因此無法用分數表示，由此我們將此類數稱為什么數？在這里表示什么？

生5：這類數就是無理數，在這里表示面積為2的正方形的邊長.

師：非常好，這就是所蘊含的幾何意義. 你們知道根號的由來嗎？

（學生搖頭，并充滿渴望地望著老師）

師：在拉丁語中，根為radix；在英語中，根為root，這兩者的首字母都是“r”，16世紀的斯蒂文和路多爾夫兩人將“r”變形成了根號. 到17世紀，法國的笛卡爾在原來的基礎上，將根號進行了完善，形成了今天我們所熟悉的“”. 現在請大家觀看無理數歷史發展的視頻. （播放微視頻）

設計意圖? ①利用“二分法”估算的大小，其目的在于讓學生深刻體會無理數不是無限循環小數，無法用分數來表示，從本源上將有理數和無理數進行了區分. ②引用正方形面積來理解，是為了讓學生感知算術平方根的幾何意義，由此滲透了重要的數形結合思想，并讓學生體會并非所有帶“”的數都是無理數. ③介紹根號的形成史，是為了讓學生體會生活與數學的關系，數學概念是由生活實際抽象而來的，最后又反過來為更好地生活服務. 微視頻的播放，能有效地激發學生對概念學習的興趣.

此教學過程，教師將教材知識進行了重新整合，通過一定的教學手段，凸顯了有理數與無理數的區別，深化了學生對無理數概念的認識. 這種教學設計不僅讓學生感知了概念的產生與發展過程，對無理數的本源產生了理解，還讓學生深刻體會了知識的衍生、發展，以及與生活的聯系.

教育的本質是“教書育人”，知識的重要性，不言而喻，而“育人”的理念，可滲透到課堂的每個角落. 微視頻的播放，激趣的同時，還讓學生感知數學概念從無到有，逐漸完善的過程，知道我們所熟知的知識并非是天上掉下來的，而是經歷了一個艱辛的探究與發展歷程，體會在追求真理的學習道路上，只有保持堅持不懈、孜孜不倦、科學嚴謹的態度，不斷地克服困難，才能實現質的飛躍.

李邦河院士提出：概念是數學的根本，數學學習玩的是概念，而非技巧［3］. 縱觀近些年的中考試題，很多新穎的命題都源自概念，又高于概念. 因此，教師應從思想上重視概念教學，深入挖掘與探究概念的內涵與外延，這對發展學生的數學核心素養具有深遠的影響.

參考文獻：

［1］曹才翰，章建躍.數學教育心理學［M］北京：北京師范大學出版社，2014.

［2］李興貴，王富英.數學概念學習的基本過程［J］. 數學通報，2014，53 （02）：5-8.

［3］李邦河. 數的概念的發展［J］. 數學通報，2009，48（08）：1-3，9.