初中數學混合式教學中的深度學習開展探究

李靜　張潤蓮　于艷仿　王營營

摘 要：初中數學混合式教學中的深度學習開展環節包括基于問題驅動和導學地圖的課前線上淺層學習，以及基于深度學習特征要求的課中線下課堂教學探究活動。文章以“平行四邊形的判定”為例，對初中數學混合式教學中的深度學習開展途徑進行了探究。

關鍵詞：初中數學；混合式教學；深度學習

基金項目：河北省高等學校科學研究項目“深度學習問題驅動下的中小學混合式教學設計與實施研究（SY202113）”；廊坊市基礎教育重點專項“深度學習問題驅動下的初中數學混合式教學設計與實施研究（JCJY202012）”。

作者簡介：李 靜（1966—），男，廊坊師范學院理學院。

張潤蓮（1983—），女，中國人民警察大學基礎部。

于艷仿（1975—），女，河北省廊坊市廣陽區第四小學。

王營營（1982—），女，河北省廊坊市第十七中學。

一、前言

根據布魯姆的認知目標分類理論，對學習內容的分析、評價和創造等屬于高階思維，是深度教學的目標［1］。而達到高階思維發展水平的深度學習，要求學生能夠探索數學關系，尋求數學意義，學會用數學思維開展數學研究，即具備數學學習與研究的元認知知識、元認知體驗和元認知策略。正如美國學者恩特威斯爾所說，深度學習具有聯系觀點、尋找模型和原則、使用證據和檢查論證的邏輯正確性等特征［2］。教師應借助混合式教學這一先進教學手段，考慮數學內容的本質特征以及學習方式的適配性，結合深度學習特征的要求以及相關經驗，在混合式教學中融入深度學習模式。下面，筆者以八年級數學“平行四邊形的判定”一課為例展開討論。

二、課前線上重視整體觀念性學習

課前教師要設置預習問題和導學地圖。預習問題能驅動學生從整體上把握本節課內容，包括本原性問題、關聯性問題和真實性問題等類型。本原性問題主要強調對所學知識內容的本真或本原的思考，涉及數學內容的哲學認識或宏觀價值［3］；關聯性問題主要是以舊帶新的合情推理問題，設置此類問題的目的是使學生不僅復習與本課內容相關的舊知識，還要遷移應用以往的知識經驗；真實性問題主要是與本課內容相關的現實問題，可以是知識抽象的背景問題，也可以是對本課內容的簡單應用。導學地圖是對本課內容研究性學習的認知根源或認知圖式的描述，包含知識發生發展的過程以及學生學習的心理感受，其能反映我們要達到的教學或學習目標，學生會遇到的學習困難或困惑，教師上課要采用的評價方式，教師關注的重要環節，學生合作的方式，學生反思或總結的方式，等等。這些問題與導學設計體現了以生為本的理念，能引導學生進入深度學習狀態，實現數學整體性學習。

例如，教師可在課前布置線上學習任務：觀看“平行四邊形的判定”視頻或微課，預習本節課內容。教師設置的預習問題和導學地圖如下。

（一）預習問題

1.四邊形兩組對邊分別平行后成為平行四邊形，那么四邊形的邊與角滿足什么關系也能成為平行四邊形呢？（本原性問題）

2.平行線性質定理與平行線判定定理有何關系？根據平行四邊形性質定理能否判定平行四邊形呢？為什么？四邊形哪些要素的位置或數量滿足什么關系可以推出兩組對邊平行呢？（關聯性問題）

3.本節課研究了平行四邊形哪些判定定理？怎么讀寫的？（淺層性問題）

4.生活中有哪些平行四邊形的例子？你能用紙片制作一個平行四邊形嗎？（真實性問題）

（二）導學地圖

你接觸的平行四邊形判定定理與平行四邊形性質是有聯系的，但性質與判定定理的意義是不一樣的，需要你去琢磨。基于平行線的性質與判定方法，你能想到平行四邊形的性質與判定方法。平行四邊形性質可用三角形全等來推導，平行四邊形判定定理證明可轉化為三角形全等來解決，且后面的平行四邊形判定定理證明也可以轉化為前面的判定定理來解決，這就是數學的邏輯演繹體系。你會跟著老師學會類比猜想、推理驗證、分類討論等思想方法。討論中你要學會理解他人的問題解決思路，質疑、分析他人的觀點，反思自己的方法，進而有所進步。

三、課中線下強化階段探究性學習

學生在課前形成了對本節課內容的整體認識后，會帶著問題或疑惑進入課中學習。為了開展深度學習，教師必須強化教學的探究性與研究性。數學教學是一個思維進階的過程，在每一個階段或環節，教師都要引導學生“知其所以然”，要有意識地將陳述性知識、程序性知識和策略性知識的學習結合起來［4］。為此，階段性探究活動應基于深度學習的特征要求展開，使學生在布魯姆的認知目標分類理論的導引下，強化過程性反思和整體抽象，提升深度學習的效果。

（一）情境引入環節

本環節深度學習的特征要求：以舊帶新尋找問題解決模型，審視問題合理性以及得到模型的證據，明確主題整體意義，形成學習動機。

【教學片段】

問題1：有一塊平行四邊形的玻璃片，只剩下如圖1所示部分，小明想把原來的平行四邊形畫出來，他能用什么辦法？

學生交流討論后說可以根據平行四邊形的定義來畫。

教師：若一邊模糊，畫不出它的平行線怎么辦？也就是說，除了定義判定，還有其他方法嗎？

學生再次思考。

教師：想要解決這個問題，我們需要知道四邊形滿足哪些條件才能成為平行四邊形。我們這節課便來研究平行四邊形的判定。

教師：平行四邊形的定義是什么？性質有哪些？（畫一個平行四邊形，并畫出對角線，如圖2）

教師與學生共同回憶并板書。

定義：AB∥DC，AD∥BC。

性質1：AB=DC，AD=BC。

性質2：∠DAB=∠DCB，∠ADC=∠ABC。

性質3：OA=OC，OB=OD。

（二）知識形成環節

本環節深度學習的特征要求：在問題探究過程中抽象出知識模型（概念、命題和公式等），并考查其抽象的類型（弱抽象、強抽象、并行抽象），探究抽象模型的證據科學性、相互關聯性，表達對知識抽象形成的看法，最終理解知識。

【教學片段】

教師：我們知道，平行線判定定理與平行線性質定理的結構是顛倒的，此外，線段垂直平分線的性質與判定、角平分線的性質與判定、等腰三角形的性質與判定等也是如此。那么，你能類比猜想出平行四邊形的判定定理嗎？

學生開展猜想活動，寫出如下表達：四邊形ABCD滿足AB∥DC且AD∥BC，可以成為平行四邊形。

（三）邏輯推導環節

本環節的深度學習特征要求：對模型結論驗證思路進行探索，獲得正確的解題思路；探討知識模型理解或推證過程的邏輯是否正確，分析使用的推證依據是否合適；理解知識關聯性表征。

【教學片段】

學生1：我猜想由AB=DC和AD=BC可以推出四邊形ABCD是平行四邊形。

教師讓學生在黑板上給出證明：由△ABC與△CDA全等得出∠BAC=∠ACD和∠DAC=∠ACB，進而推出AB∥DC且AD∥BC（定義）。

接著教師讓學生思考如何用其他兩個三角形全等來推導四邊形ABCD是平行四邊形。

總結：猜想的要素能夠轉化成AB∥DC且 AD∥BC（定義），即可作為一個判定依據。驗證時，我們可以運用全等三角形的知識。

學生2：我猜想由∠DAB=∠DCB和∠ADC= ∠ABC也可以推出四邊形ABCD是平行四邊形。

教師讓學生在黑板上給出證明，啟發學生用不同的方法將以上條件轉化為AB∥DC且AD∥BC（定義）。當然，教師也可以引導學生用不同的方法將以上條件轉化為“兩組對邊相等（判定1）”來證明四邊形ABCD是平行四邊形。

學生3：我猜想由OA=OC和OB=OD也可以推出四邊形ABCD是平行四邊形。

教師繼續讓學生在黑板上給出證明，啟發學生用不同的方法將以上條件轉化為AB∥DC且AD∥BC（定義）。當然，教師也可以啟發學生用不同的方法將相關條件轉化為“兩組對邊相等（判定1）”或“兩組對角相等（判定2）”，以此來證明四邊形ABCD是平行四邊形。

（四）變式應用環節

本環節深度學習的特征要求：通過問題變式理解知識模型的本質，學會通過聯系已學知識尋找解決問題的簡便模型；領會知識應用過程中的思想方法，能夠檢驗知識模型應用證據的正確性。

【教學片段】

教師：剛才，我們猜想平行四邊形判定定理是平行四邊形的性質定理的逆定理，那么，我們能不能根據其他要素組合推出平行四邊形的判定定理呢？

學生4：我猜想由AB∥DC和AB=DC也可以推出四邊形ABCD是平行四邊形。

教師讓學生在黑板上給出證明，啟發學生用不同的方法將以上條件轉化為“平行四邊形定義”或“兩組對邊相等（判定1）”或“兩組對角相等（判定2）”或“對角線相互平分（判定3）”，從而證明四邊形ABCD是平行四邊形。

這個定理相對于前三個，屬于一種變式。

教師：現在我們利用判定定理做一些練習。

（1）如圖3，在下列條件中，不能判定四邊形ABCD是平行四邊形的是（ ）。

A.AB∥CD，AD∥BC

B.AB=CD，AD=BC

C.AB∥CD，AB=CD

D.AB∥CD，AD=BC

（2）如圖4，在平行四邊形ABCD中，E、F分別是AB和DC的中點。求證：四邊形BFDE是平行四邊形。

在練習過程中，教師可以引導學生展開一題多解的討論。

（五）合作鞏固環節

本環節深度學習的特征要求：在自主學習中理解知識之間的聯系，在相互合作中獲得新的認識，加深對知識的理解；形成模型應用的思想方法，能夠檢驗結果的正確性，評判問題解決方法的優劣。

【教學片段】

教師：請同學們以學習小組為單位找找還有哪些要素組合能推出平行四邊形的判定定理。

學生小組找出的判定四邊形ABCD是否是平行四邊形的要素組合如下。

（1）一組對邊平行的要素組合：AB∥DC， ∠DAB=∠DCB與AB∥DC、OA=OC。

（2）一組對邊相等的要素組合：AB=DC、 ∠ADC=∠ABC與AB=DC、OB=OD。

（3）一組對角相等的要素組合：∠DAB= ∠DCB、OB=OD與∠DAB=∠DCB、OA=OC。

教師將以上猜想分給不同的小組證明，讓學生給出證明過程或反例。

第1組和第3組的兩種要素組合都可以推證四邊形ABCD是平行四邊形。第2組要素組合中，前一種組合無法推證四邊形ABCD是平行四邊形，可舉反例如下：等腰三角形被非中線分成兩個三角形后拼接成的圖形不是平行四邊形；后一種組合可以推證四邊形ABCD是平行四邊形。

（六）反思小結環節

本環節深度學習的特征要求：感悟知識抽象、推導和應用的思想方法；構建本節知識的思維導圖，豐富知識結構，形成高階思維；對相關問題進行猜想，并用不同的方法證明這些猜想。

【教學片段】

呼應課前線上問題，反思總結如下。

（1）平行四邊形的判定定理與平行四邊形的性質定理互為逆定理。

（2）判定定理證明與性質定理證明一樣，可通過三角形全等來解決。

（3）猜想或驗證：考查的要素的位置或數量關系是否能轉化為平行線的位置關系是思考的方向。猜想不一定是真命題，需要驗證或舉例反駁。

（4）在幾何知識學習中，我們既要大膽猜測，又要小心求證。

［參考文獻］

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李靜，王秀蘭.學會“數學思考”的兩層次本原性問題研究［J］. 教學與管理，2014（28）：43-45.

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