圓錐曲線的光學性質及其應用的教學設計

魯夕芷 趙思林

摘 要：以數學學科核心素養為教學理念，采用“情境—問題—猜想—探究—證明—應用”的學習方式與教學流程，借助多媒體設備與動態數學軟件演示圓錐曲線的光學性質，增強信息技術的應用意識，通過中國“天眼”的介紹滲透數學學科育人，對“圓錐曲線的光學性質及其應用”作了教學設計.

關鍵詞：圓錐曲線；光學性質；教學設計

2022年12月11日，全國“田家炳杯”全日制教育碩士專業學位研究生學科教學（數學）專業教學技能大賽圓滿落幕，筆者有幸參加了此次大賽，并榮獲一等獎.此次比賽分為初賽和決賽兩個環節，筆者初賽教學設計的課題是“圓錐曲線的光學性質及其應用”，選用的教材為人教A版普通高中課程標準試驗教科書數學2（必修）.

1 教材與學情分析

本節課是人民教育出版社A版普通高中教科書數學選擇性必修第一冊第三章《圓錐曲線與方程》的閱讀與思考欄目的內容.本節內容在銜接橢圓、雙曲線、拋物線等綜合內容的基礎上，從光學的角度進一步拓展了圓錐曲線的性質.本節內容綜合性強，與物理學中的光學、運動學皆有關聯；滲透了數學建模、直觀想象、數學運算等核心素養；蘊含了模型思想、數形結合等思想；是數學知識與物理知識的融合，也是數學知識在實際生活中應用的典型案例.

此階段的學生已經掌握了橢圓、雙曲線、拋物線的相關內容，經歷了橢圓、雙曲線、拋物線的方程與性質的探究過程，能夠初步運用解析幾何的思想方法分析和解決簡單的幾何問題，對于數形結合思想在研究圓錐曲線的過程中發揮的強大作用有了一定體會.并且，學生對于物理中的簡單運動學、光傳播的基本原理等內容有所掌握，具有猜想探究的相關活動經驗和分享交流能力.但從物理學角度抽象出數學模型的過程以及用數學方法證明圓錐曲線的光學性質存在一定困難.

2 教學目標

通過觀察小球反彈的實驗情境，從光學的角度抽象出拋物線模型，結合拋物線的相關知識提出猜想，掌握拋物線的光學性質，進一步促進直觀想象素養的提高.

在由光學中的“焦點”猜想拋物線“焦點”的光學性質的過程中，可積累數學、物理知識相融合的數學活動經驗；感受通過問題串和分析法證明拋物線光學性質的方法技巧，培養邏輯推理、數學抽象等素養，發展分析、解決、反思問題的能力.

借助多媒體設備與GeoGebra等動態數學軟件演示圓錐曲線的光學性質，培養數形結合的思想，增強信息技術的應用意識。在了解圓錐曲線光學性質的實際應用中，通過中國“天眼”的介紹，實現數學學科育人，包括增強學生的民族自豪感等.

3 教學重難點

重點：拋物線的光學性質猜想、探究過程，圓錐曲線的光學性質以及在生活中的應用.

難點：拋物線光學性質的證明過程.

4 設計理念

普通高中數學教材中的“閱讀與思考”欄目是學科育人的好載體，是落實“提倡積極主動、勇于探索的學習方式”的有效途徑.《圓錐曲線的光學性質》是一個“閱讀與思考”材料，具有豐厚的育人價值.以數學學科核心素養為教學理念，采用“情境—問題—猜想—探究—證明—應用”的學習方式與教學流程，借助多媒體設備與動態數學軟件演示圓錐曲線的光學性質，增強信息技術的應用意識，通過中國“天眼”的介紹實現數學學科育人（主要包括增強學生的民族自豪感、培養探究精神和理性精神等），對“圓錐曲線的光學性質及其應用”作了教學設計（見圖1）.

5 教學過程框架（見圖1）

6 教學過程

6.1 創設情境，提出問題

老師播放一段科學類綜藝節目《加油向未來》視頻：地面上放置著拋物線形曲面模型，一位嘉賓手握鈴鐺，將鈴鐺放置在曲面的正上方，四名實驗人員手持小球站在曲面正上方的高臺處，同時釋放小球（使得小球呈一列下落在拋物線形曲面上，并且落地點所連成的軌跡均在一條拋物線上），小球反彈后均觸碰鈴鐺使其發出響聲.

教學活動預設：學生觀看視頻后，用自己的話描述從這個實驗中觀察到的現象.

問題1：拋物線上為何會產生這如此神奇的現象？

【設計意圖】在新知識的概念建構課程中，學生最終要達到理解和掌握知識的結果性目標，更要在此過程中用數學的眼光和思維審視并分析數學情境中所蘊含的問題.以觀察小球反彈實驗引入教學更加貼近生活，能喚起學生對拋物線性質深入研究的興趣.其中蘊涵的拋物線的光學性質給學生提供了直觀的試驗場景去發現并思考數學問題，激發學生的探究興趣，為聯想到拋物線的“焦點”與此實驗的關聯性埋下伏筆.這樣的引入為學生創造了一個生動有趣、輕松愉快的學習環境.

6.2 類比探究，提出猜想

愛因斯坦說，“想象力比知識更重要.”教師引導學生將小球豎直下落的軌跡想象成一束豎直向下的入射光線，小球在拋物線上反彈后的軌跡對應反射光線.即入射光線在拋物線上進行反射，反射光線均經過同一點處.

同時考慮到在物理學中，也存在類似的現象：當一束平行光線照射在凹面鏡上時，光線經反射后會匯聚于鏡面前的一點處，這一點稱為光線的焦點，從而引出“焦點”一詞，啟發學生將其與拋物線的焦點相對比，提出猜想.

猜想1：若任意一條平行于拋物線對稱軸的光線與拋物線相交后反射，則反射光線都過拋物線的焦點.

【設計意圖】引導學生學會分析觀察實驗情境，從實際生活現象中提取出數學特征，并通過類比聯想，將“小球反彈”與“光的反射”產生關聯，進而猜想“拋物線的焦點”的特征，體現完整的：生活—物理—數學元素串聯過程，培養學生充分發揮想象力，注重學科融合.

探究1：（1） 復習回顧平面鏡上光的反射特征：

① 反射光線與入射光線、法線位于同一平面；

② 反射光線和入射光線分居在法線的兩側；

③ 反射角等于入射角；

④ 光的反射具有可逆性.

（2） 建立模型：類比平面鏡上光的反射的特征，從小球下落的數學實驗中抽象出在拋物線上發生反射的過程：

① 入射光線平行于拋物線的對稱軸；

② 確定反射點處的切線、法線，依據反射角等于入射角的特征找到反射光線；

③ 所有平行于拋物線對稱軸的入射光線，經反射后，反射光線均匯聚于一個點；

④ 根據光路可逆性原理，提出猜想2.

猜想2：若在拋物線的焦點處放置一個點光源，從點光源發出的光線在拋物線上經反射后，則反射光線與拋物線的對稱軸平行.

【設計意圖】提出猜想1后，依據已學知識：拋物線基本性質以及平面鏡上光的反射基本特征，進一步在實驗現象的基礎上建立“拋物線上光的反射”模型，并依據光路可逆性原理（因為入射光線與反射光線關于法線對稱）自然產生猜想2.在此過程中，培養學生數形結合的思想以及模型思想.

探究2：如何通過嚴格的推導證明上述猜想成立.

6.3 層層分析，證明猜想

波利亞解題理論啟發我們，解決問題的過程需要經歷弄清問題、分析條件（梳理思路）、制定計劃、實施計劃、反思回顧等過程.由光學知識可知，猜想1和猜想2都是拋物線的光學性質，下面以猜想2為例給出證明的思路.

6.3.1 完善數學模型，將實際問題數學化

如圖2，先對猜想2的條件給出一些假設，如設出拋物線的方程、焦點，設出焦點處任意發出一條光線及反射點等；然后，根據猜想2的結論的形成過程進行數學化的表征：

（1） 設拋物線x²=2py（p＞0），求焦點F的坐標；

（2） 假設焦點處任意發出一條光線記為FM，在點M處反射；

（3） 反射光線記為l；

（4） 點M處的切線記為l₁，法線l₂；

（5） l₂與y軸交點記為點N；

（6） 入射角α₁等于反射角α₂；

（7） 只需證明：反射光線l與拋物線的對稱軸y軸平行，即可證明猜想2成立.

問題2：如何證明l所在的直線平行于y軸？

6.3.2 理清條件，轉換問題

（1） 證明l所在的直線平行于y軸，等價于證明：∠α₂=∠MNF；

（2） 由∠α₂=∠α₁可轉換為證明：∠α₁=∠MNF；

（3） 證明∠α₁=∠MNF可轉換為證明：FM=FN.

于是，問題2就轉換為證明：FM=FN.

6.3.3 分析思路，給出證明

（1） 要求證FM=FN，可先表示出F，M，N的坐標，將坐標代入公式求出線段長度；

（2） 焦點F（0，p/2）；

（3） 點M可作為拋物線上任意一處反射點，假設M（x₀，y₀）；

（4） 點N可通過聯立l₂的方程與y軸的方程求出.

問題3：求直線方程有哪些方法？

（預設：點斜式、斜截式、兩點式、截距式、一般式）

由于已知條件中，只知一個點M在l₂上，且斜率未知、截距未知，通過排除法可得，利用點斜式求l₂的方程.

問題4：求l₂的斜率k₂.

法線l₂與切線l₁垂直，滿足斜率之積為-1，且拋物線上的切線（過點M）方程可直接表示l₁：x₀x=p（y₀+y），求出k₁.

6.3.4 按照思路完成證明過程

探究3：動手操作，小組合作交流，按照上述思路和步驟，進行計算，驗證猜想成立.

問題5：結合上述模型歸納總結拋物線的光學性質？

【設計意圖】通過建立、求解模型以驗證試驗現象的方法既體現了“以數解形”的思想，也凸顯了解析法的簡潔美、數學模型的奇異美.

6.4 聯系實際，拓展應用

數學源于生活，生活中充滿了數學.拋物線的光學性質有廣泛應用.

（1） 應用：太陽灶、手電筒、探照燈、拋物面天線等均應用了拋物線的光學性質.

（2） 播放視頻：播放一段小視頻，介紹中國天眼的工作原理及建設背景.

【設計意圖】通過中國“天眼”的介紹（學生看視頻），再次回顧拋物線的光學性質，滲透數學學科育人，包括增強學生的民族自豪感、體會數學的應用價值、培養理性精神等.

6.5 師生互動，再探新知

探究4：類比探究拋物線光學性質的探究過程，帶著對其他圓錐曲線光學性質的好奇，猜想橢圓和雙曲線的光學性質.并繼續閱讀課本，翻閱課前預習查閱的資料，交流猜想依據.

【設計意圖】通過小組合作學習、交流展示，調動學生積極性，總結出橢圓和雙曲線的光學性質同時利用幾何畫板和GeoGebra軟件，將學生所猜想的橢圓與雙曲線的光學性質進行幾何演示，在演示過程中通過列舉法和排除法進行逐步驗證，從更大程度上讓學生感受到視覺和思維上的巨大沖擊，使學生進一步體會數學的嚴謹性與創造性.

6.6 知識回顧，總結提升

“思維自疑問和驚奇開始（亞里士多德）”.“一切問題都可以化為數學問題（笛卡爾）.”教師引導學生回顧本堂課的學習并思考：在圓錐曲線的光學性質及其應用的學習中，我們是如何從現實情境中發現數學問題并一步步探索解決的？在此過程中你最大的收獲是什么？能否將其中的思想方法也運用到其他知識的學習中？

【設計意圖】在總結提升環節的提問，意在讓學生從不同層面對本節內容進行歸納小結，并深刻感受到從課堂上“言有盡”到課堂外“意無窮”的思維意境.

6.7 布置作業

利用類比方法，用多種方法證明橢圓和雙曲線的性質.

7 反思教學設計的創新點

教學設計的核心意蘊在于創新.本節課的創新點比較多.一是通過小球反彈的實驗情境，引發思考：拋物線上為何會產生這樣神奇的現象？創新了教科書中的情境舉例，以綜藝視頻的方式從更大程度上讓學生感受到視覺和思維上的巨大沖擊，從而激發學生的學習興趣，調動學生的課堂積極性.二是通過問題串的設置以及探究活動的層層遞進，創新了拋物線光學性質的證明過程，利用分析法推導出證明思路既是本節內容的深入挖掘，也是課后習題的思路再現.在此過程中，培養了學生的邏輯推理、數學運算等素養.三是通過猜想證明的步驟，創新了教科書中探究光學性質的思路.通過物理學中光的反射的特點引發猜想，并將拋物線的兩種光學性質與“光路可逆”進行對應.既體現了解決數學問題時猜想的必要性，也展現了數學與物理知識融合的奇妙.四是利用小組合作展示和信息技術直觀演示相結合的方法，創新了橢圓和雙曲線的光學性質探究過程.使得從光學的角度進一步探究圓錐曲線的性質更加直觀、嚴謹，培養了學生類比轉換的思想，進一步提升學生直觀想象的素養.

參考文獻：

［1］ 曾榮.單元教學的整體設計與課時實施——以“圓錐曲線”單元教學為例［J］.數學通報，2021，60（3）：33-37.

［2］ 張躍紅.授人以漁 勿施以漁——從高三復習課“圓錐曲線中的定點、定值問題”談起［J］.數學通報，2014，53（11）：12-15.

［3］ 孫承輝.“圓錐曲線的一類半徑問題”的教學設計與感悟［J］.數學通報，2013，52（11）：37-40+56.