圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)及其應(yīng)用的教學(xué)設(shè)計(jì)

魯夕芷 趙思林

摘 要：以數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)為教學(xué)理念，采用“情境—問題—猜想—探究—證明—應(yīng)用”的學(xué)習(xí)方式與教學(xué)流程，借助多媒體設(shè)備與動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)軟件演示圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)，增強(qiáng)信息技術(shù)的應(yīng)用意識(shí)，通過中國(guó)“天眼”的介紹滲透數(shù)學(xué)學(xué)科育人，對(duì)“圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)及其應(yīng)用”作了教學(xué)設(shè)計(jì).

關(guān)鍵詞：圓錐曲線；光學(xué)性質(zhì)；教學(xué)設(shè)計(jì)

2022年12月11日，全國(guó)“田家炳杯”全日制教育碩士專業(yè)學(xué)位研究生學(xué)科教學(xué)（數(shù)學(xué)）專業(yè)教學(xué)技能大賽圓滿落幕，筆者有幸參加了此次大賽，并榮獲一等獎(jiǎng).此次比賽分為初賽和決賽兩個(gè)環(huán)節(jié)，筆者初賽教學(xué)設(shè)計(jì)的課題是“圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)及其應(yīng)用”，選用的教材為人教A版普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)試驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)2（必修）.

1 教材與學(xué)情分析

本節(jié)課是人民教育出版社A版普通高中教科書數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)第三章《圓錐曲線與方程》的閱讀與思考欄目的內(nèi)容.本節(jié)內(nèi)容在銜接橢圓、雙曲線、拋物線等綜合內(nèi)容的基礎(chǔ)上，從光學(xué)的角度進(jìn)一步拓展了圓錐曲線的性質(zhì).本節(jié)內(nèi)容綜合性強(qiáng)，與物理學(xué)中的光學(xué)、運(yùn)動(dòng)學(xué)皆有關(guān)聯(lián)；滲透了數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)；蘊(yùn)含了模型思想、數(shù)形結(jié)合等思想；是數(shù)學(xué)知識(shí)與物理知識(shí)的融合，也是數(shù)學(xué)知識(shí)在實(shí)際生活中應(yīng)用的典型案例.

此階段的學(xué)生已經(jīng)掌握了橢圓、雙曲線、拋物線的相關(guān)內(nèi)容，經(jīng)歷了橢圓、雙曲線、拋物線的方程與性質(zhì)的探究過程，能夠初步運(yùn)用解析幾何的思想方法分析和解決簡(jiǎn)單的幾何問題，對(duì)于數(shù)形結(jié)合思想在研究圓錐曲線的過程中發(fā)揮的強(qiáng)大作用有了一定體會(huì).并且，學(xué)生對(duì)于物理中的簡(jiǎn)單運(yùn)動(dòng)學(xué)、光傳播的基本原理等內(nèi)容有所掌握，具有猜想探究的相關(guān)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)和分享交流能力.但從物理學(xué)角度抽象出數(shù)學(xué)模型的過程以及用數(shù)學(xué)方法證明圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)存在一定困難.

2 教學(xué)目標(biāo)

通過觀察小球反彈的實(shí)驗(yàn)情境，從光學(xué)的角度抽象出拋物線模型，結(jié)合拋物線的相關(guān)知識(shí)提出猜想，掌握拋物線的光學(xué)性質(zhì)，進(jìn)一步促進(jìn)直觀想象素養(yǎng)的提高.

在由光學(xué)中的“焦點(diǎn)”猜想拋物線“焦點(diǎn)”的光學(xué)性質(zhì)的過程中，可積累數(shù)學(xué)、物理知識(shí)相融合的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)；感受通過問題串和分析法證明拋物線光學(xué)性質(zhì)的方法技巧，培養(yǎng)邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象等素養(yǎng)，發(fā)展分析、解決、反思問題的能力.

借助多媒體設(shè)備與GeoGebra等動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)軟件演示圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)，培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合的思想，增強(qiáng)信息技術(shù)的應(yīng)用意識(shí)。在了解圓錐曲線光學(xué)性質(zhì)的實(shí)際應(yīng)用中，通過中國(guó)“天眼”的介紹，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科育人，包括增強(qiáng)學(xué)生的民族自豪感等.

3 教學(xué)重難點(diǎn)

重點(diǎn)：拋物線的光學(xué)性質(zhì)猜想、探究過程，圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)以及在生活中的應(yīng)用.

難點(diǎn)：拋物線光學(xué)性質(zhì)的證明過程.

4 設(shè)計(jì)理念

普通高中數(shù)學(xué)教材中的“閱讀與思考”欄目是學(xué)科育人的好載體，是落實(shí)“提倡積極主動(dòng)、勇于探索的學(xué)習(xí)方式”的有效途徑.《圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)》是一個(gè)“閱讀與思考”材料，具有豐厚的育人價(jià)值.以數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)為教學(xué)理念，采用“情境—問題—猜想—探究—證明—應(yīng)用”的學(xué)習(xí)方式與教學(xué)流程，借助多媒體設(shè)備與動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)軟件演示圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)，增強(qiáng)信息技術(shù)的應(yīng)用意識(shí)，通過中國(guó)“天眼”的介紹實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科育人（主要包括增強(qiáng)學(xué)生的民族自豪感、培養(yǎng)探究精神和理性精神等），對(duì)“圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)及其應(yīng)用”作了教學(xué)設(shè)計(jì)（見圖1）.

5 教學(xué)過程框架（見圖1）

6 教學(xué)過程

6.1 創(chuàng)設(shè)情境，提出問題

老師播放一段科學(xué)類綜藝節(jié)目《加油向未來》視頻：地面上放置著拋物線形曲面模型，一位嘉賓手握鈴鐺，將鈴鐺放置在曲面的正上方，四名實(shí)驗(yàn)人員手持小球站在曲面正上方的高臺(tái)處，同時(shí)釋放小球（使得小球呈一列下落在拋物線形曲面上，并且落地點(diǎn)所連成的軌跡均在一條拋物線上），小球反彈后均觸碰鈴鐺使其發(fā)出響聲.

教學(xué)活動(dòng)預(yù)設(shè)：學(xué)生觀看視頻后，用自己的話描述從這個(gè)實(shí)驗(yàn)中觀察到的現(xiàn)象.

問題1：拋物線上為何會(huì)產(chǎn)生這如此神奇的現(xiàn)象？

【設(shè)計(jì)意圖】在新知識(shí)的概念建構(gòu)課程中，學(xué)生最終要達(dá)到理解和掌握知識(shí)的結(jié)果性目標(biāo)，更要在此過程中用數(shù)學(xué)的眼光和思維審視并分析數(shù)學(xué)情境中所蘊(yùn)含的問題.以觀察小球反彈實(shí)驗(yàn)引入教學(xué)更加貼近生活，能喚起學(xué)生對(duì)拋物線性質(zhì)深入研究的興趣.其中蘊(yùn)涵的拋物線的光學(xué)性質(zhì)給學(xué)生提供了直觀的試驗(yàn)場(chǎng)景去發(fā)現(xiàn)并思考數(shù)學(xué)問題，激發(fā)學(xué)生的探究興趣，為聯(lián)想到拋物線的“焦點(diǎn)”與此實(shí)驗(yàn)的關(guān)聯(lián)性埋下伏筆.這樣的引入為學(xué)生創(chuàng)造了一個(gè)生動(dòng)有趣、輕松愉快的學(xué)習(xí)環(huán)境.

6.2 類比探究，提出猜想

愛因斯坦說，“想象力比知識(shí)更重要.”教師引導(dǎo)學(xué)生將小球豎直下落的軌跡想象成一束豎直向下的入射光線，小球在拋物線上反彈后的軌跡對(duì)應(yīng)反射光線.即入射光線在拋物線上進(jìn)行反射，反射光線均經(jīng)過同一點(diǎn)處.

同時(shí)考慮到在物理學(xué)中，也存在類似的現(xiàn)象：當(dāng)一束平行光線照射在凹面鏡上時(shí)，光線經(jīng)反射后會(huì)匯聚于鏡面前的一點(diǎn)處，這一點(diǎn)稱為光線的焦點(diǎn)，從而引出“焦點(diǎn)”一詞，啟發(fā)學(xué)生將其與拋物線的焦點(diǎn)相對(duì)比，提出猜想.

猜想1：若任意一條平行于拋物線對(duì)稱軸的光線與拋物線相交后反射，則反射光線都過拋物線的焦點(diǎn).

【設(shè)計(jì)意圖】引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)分析觀察實(shí)驗(yàn)情境，從實(shí)際生活現(xiàn)象中提取出數(shù)學(xué)特征，并通過類比聯(lián)想，將“小球反彈”與“光的反射”產(chǎn)生關(guān)聯(lián)，進(jìn)而猜想“拋物線的焦點(diǎn)”的特征，體現(xiàn)完整的：生活—物理—數(shù)學(xué)元素串聯(lián)過程，培養(yǎng)學(xué)生充分發(fā)揮想象力，注重學(xué)科融合.

探究1：（1） 復(fù)習(xí)回顧平面鏡上光的反射特征：

① 反射光線與入射光線、法線位于同一平面；

② 反射光線和入射光線分居在法線的兩側(cè)；

③ 反射角等于入射角；

④ 光的反射具有可逆性.

（2） 建立模型：類比平面鏡上光的反射的特征，從小球下落的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)中抽象出在拋物線上發(fā)生反射的過程：

① 入射光線平行于拋物線的對(duì)稱軸；

② 確定反射點(diǎn)處的切線、法線，依據(jù)反射角等于入射角的特征找到反射光線；

③ 所有平行于拋物線對(duì)稱軸的入射光線，經(jīng)反射后，反射光線均匯聚于一個(gè)點(diǎn)；

④ 根據(jù)光路可逆性原理，提出猜想2.

猜想2：若在拋物線的焦點(diǎn)處放置一個(gè)點(diǎn)光源，從點(diǎn)光源發(fā)出的光線在拋物線上經(jīng)反射后，則反射光線與拋物線的對(duì)稱軸平行.

【設(shè)計(jì)意圖】提出猜想1后，依據(jù)已學(xué)知識(shí)：拋物線基本性質(zhì)以及平面鏡上光的反射基本特征，進(jìn)一步在實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象的基礎(chǔ)上建立“拋物線上光的反射”模型，并依據(jù)光路可逆性原理（因?yàn)槿肷涔饩€與反射光線關(guān)于法線對(duì)稱）自然產(chǎn)生猜想2.在此過程中，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想以及模型思想.

探究2：如何通過嚴(yán)格的推導(dǎo)證明上述猜想成立.

6.3 層層分析，證明猜想

波利亞解題理論啟發(fā)我們，解決問題的過程需要經(jīng)歷弄清問題、分析條件（梳理思路）、制定計(jì)劃、實(shí)施計(jì)劃、反思回顧等過程.由光學(xué)知識(shí)可知，猜想1和猜想2都是拋物線的光學(xué)性質(zhì)，下面以猜想2為例給出證明的思路.

6.3.1 完善數(shù)學(xué)模型，將實(shí)際問題數(shù)學(xué)化

如圖2，先對(duì)猜想2的條件給出一些假設(shè)，如設(shè)出拋物線的方程、焦點(diǎn)，設(shè)出焦點(diǎn)處任意發(fā)出一條光線及反射點(diǎn)等；然后，根據(jù)猜想2的結(jié)論的形成過程進(jìn)行數(shù)學(xué)化的表征：

（1） 設(shè)拋物線x²=2py（p＞0），求焦點(diǎn)F的坐標(biāo)；

（2） 假設(shè)焦點(diǎn)處任意發(fā)出一條光線記為FM，在點(diǎn)M處反射；

（3） 反射光線記為l；

（4） 點(diǎn)M處的切線記為l₁，法線l₂；

（5） l₂與y軸交點(diǎn)記為點(diǎn)N；

（6） 入射角α₁等于反射角α₂；

（7） 只需證明：反射光線l與拋物線的對(duì)稱軸y軸平行，即可證明猜想2成立.

問題2：如何證明l所在的直線平行于y軸？

6.3.2 理清條件，轉(zhuǎn)換問題

（1） 證明l所在的直線平行于y軸，等價(jià)于證明：∠α₂=∠MNF；

（2） 由∠α₂=∠α₁可轉(zhuǎn)換為證明：∠α₁=∠MNF；

（3） 證明∠α₁=∠MNF可轉(zhuǎn)換為證明：FM=FN.

于是，問題2就轉(zhuǎn)換為證明：FM=FN.

6.3.3 分析思路，給出證明

（1） 要求證FM=FN，可先表示出F，M，N的坐標(biāo)，將坐標(biāo)代入公式求出線段長(zhǎng)度；

（2） 焦點(diǎn)F（0，p/2）；

（3） 點(diǎn)M可作為拋物線上任意一處反射點(diǎn)，假設(shè)M（x₀，y₀）；

（4） 點(diǎn)N可通過聯(lián)立l₂的方程與y軸的方程求出.

問題3：求直線方程有哪些方法？

（預(yù)設(shè)：點(diǎn)斜式、斜截式、兩點(diǎn)式、截距式、一般式）

由于已知條件中，只知一個(gè)點(diǎn)M在l₂上，且斜率未知、截距未知，通過排除法可得，利用點(diǎn)斜式求l₂的方程.

問題4：求l₂的斜率k₂.

法線l₂與切線l₁垂直，滿足斜率之積為-1，且拋物線上的切線（過點(diǎn)M）方程可直接表示l₁：x₀x=p（y₀+y），求出k₁.

6.3.4 按照思路完成證明過程

探究3：動(dòng)手操作，小組合作交流，按照上述思路和步驟，進(jìn)行計(jì)算，驗(yàn)證猜想成立.

問題5：結(jié)合上述模型歸納總結(jié)拋物線的光學(xué)性質(zhì)？

【設(shè)計(jì)意圖】通過建立、求解模型以驗(yàn)證試驗(yàn)現(xiàn)象的方法既體現(xiàn)了“以數(shù)解形”的思想，也凸顯了解析法的簡(jiǎn)潔美、數(shù)學(xué)模型的奇異美.

6.4 聯(lián)系實(shí)際，拓展應(yīng)用

數(shù)學(xué)源于生活，生活中充滿了數(shù)學(xué).拋物線的光學(xué)性質(zhì)有廣泛應(yīng)用.

（1） 應(yīng)用：太陽(yáng)灶、手電筒、探照燈、拋物面天線等均應(yīng)用了拋物線的光學(xué)性質(zhì).

（2） 播放視頻：播放一段小視頻，介紹中國(guó)天眼的工作原理及建設(shè)背景.

【設(shè)計(jì)意圖】通過中國(guó)“天眼”的介紹（學(xué)生看視頻），再次回顧拋物線的光學(xué)性質(zhì)，滲透數(shù)學(xué)學(xué)科育人，包括增強(qiáng)學(xué)生的民族自豪感、體會(huì)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值、培養(yǎng)理性精神等.

6.5 師生互動(dòng)，再探新知

探究4：類比探究拋物線光學(xué)性質(zhì)的探究過程，帶著對(duì)其他圓錐曲線光學(xué)性質(zhì)的好奇，猜想橢圓和雙曲線的光學(xué)性質(zhì).并繼續(xù)閱讀課本，翻閱課前預(yù)習(xí)查閱的資料，交流猜想依據(jù).

【設(shè)計(jì)意圖】通過小組合作學(xué)習(xí)、交流展示，調(diào)動(dòng)學(xué)生積極性，總結(jié)出橢圓和雙曲線的光學(xué)性質(zhì)同時(shí)利用幾何畫板和GeoGebra軟件，將學(xué)生所猜想的橢圓與雙曲線的光學(xué)性質(zhì)進(jìn)行幾何演示，在演示過程中通過列舉法和排除法進(jìn)行逐步驗(yàn)證，從更大程度上讓學(xué)生感受到視覺和思維上的巨大沖擊，使學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性與創(chuàng)造性.

6.6 知識(shí)回顧，總結(jié)提升

“思維自疑問和驚奇開始（亞里士多德）”.“一切問題都可以化為數(shù)學(xué)問題（笛卡爾）.”教師引導(dǎo)學(xué)生回顧本堂課的學(xué)習(xí)并思考：在圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)及其應(yīng)用的學(xué)習(xí)中，我們是如何從現(xiàn)實(shí)情境中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題并一步步探索解決的？在此過程中你最大的收獲是什么？能否將其中的思想方法也運(yùn)用到其他知識(shí)的學(xué)習(xí)中？

【設(shè)計(jì)意圖】在總結(jié)提升環(huán)節(jié)的提問，意在讓學(xué)生從不同層面對(duì)本節(jié)內(nèi)容進(jìn)行歸納小結(jié)，并深刻感受到從課堂上“言有盡”到課堂外“意無(wú)窮”的思維意境.

6.7 布置作業(yè)

利用類比方法，用多種方法證明橢圓和雙曲線的性質(zhì).

7 反思教學(xué)設(shè)計(jì)的創(chuàng)新點(diǎn)

教學(xué)設(shè)計(jì)的核心意蘊(yùn)在于創(chuàng)新.本節(jié)課的創(chuàng)新點(diǎn)比較多.一是通過小球反彈的實(shí)驗(yàn)情境，引發(fā)思考：拋物線上為何會(huì)產(chǎn)生這樣神奇的現(xiàn)象？創(chuàng)新了教科書中的情境舉例，以綜藝視頻的方式從更大程度上讓學(xué)生感受到視覺和思維上的巨大沖擊，從而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，調(diào)動(dòng)學(xué)生的課堂積極性.二是通過問題串的設(shè)置以及探究活動(dòng)的層層遞進(jìn)，創(chuàng)新了拋物線光學(xué)性質(zhì)的證明過程，利用分析法推導(dǎo)出證明思路既是本節(jié)內(nèi)容的深入挖掘，也是課后習(xí)題的思路再現(xiàn).在此過程中，培養(yǎng)了學(xué)生的邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等素養(yǎng).三是通過猜想證明的步驟，創(chuàng)新了教科書中探究光學(xué)性質(zhì)的思路.通過物理學(xué)中光的反射的特點(diǎn)引發(fā)猜想，并將拋物線的兩種光學(xué)性質(zhì)與“光路可逆”進(jìn)行對(duì)應(yīng).既體現(xiàn)了解決數(shù)學(xué)問題時(shí)猜想的必要性，也展現(xiàn)了數(shù)學(xué)與物理知識(shí)融合的奇妙.四是利用小組合作展示和信息技術(shù)直觀演示相結(jié)合的方法，創(chuàng)新了橢圓和雙曲線的光學(xué)性質(zhì)探究過程.使得從光學(xué)的角度進(jìn)一步探究圓錐曲線的性質(zhì)更加直觀、嚴(yán)謹(jǐn)，培養(yǎng)了學(xué)生類比轉(zhuǎn)換的思想，進(jìn)一步提升學(xué)生直觀想象的素養(yǎng).

參考文獻(xiàn)：

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［2］ 張躍紅.授人以漁 勿施以漁——從高三復(fù)習(xí)課“圓錐曲線中的定點(diǎn)、定值問題”談起［J］.數(shù)學(xué)通報(bào)，2014，53（11）：12-15.

［3］ 孫承輝.“圓錐曲線的一類半徑問題”的教學(xué)設(shè)計(jì)與感悟［J］.數(shù)學(xué)通報(bào)，2013，52（11）：37-40+56.