數學視角下的跨學科聯席教學探究

金玉明

摘 要：跨學科聯席教學打破學科壁壘，讓學生在真實場景中有意識地綜合運用知識、技術、技能、工具等解決問題的學習方式.本文立足于跨學科教學理念，從高中數學《三角函數》學習出發，描述跨學科聯席視角下高中數學教學實踐路徑，以期通過多學科知識交叉融合與實踐活動方案設計，從知識培養轉向跨學科素養培養，讓學生在面對復雜問題時進行多角度觀察、思考、驗證，開闊數學視野，理解事物本質，提高數學素養與學習能力，擴展數學領域與認知，增強探究精神、創新思維、解決問題能力.

關鍵詞：高中數學；三角函數；跨學科聯席；核心素養

跨學科聯席目標是突破學科邊界，讓學生在調查研究、合作交流、動手實踐、自主探索、獨立思考等環節中學會運用多學科知識創造性地提出解決方案.三角函數在物理、工程等方面有廣泛用途，在實際應用中它既是定義物理量的依據，也是解決生活問題的工具.教師在數學視角下，開展跨學科教學，為學生提供多類型資源供給和服務支持，結合現實生活、客觀事物與數學問題，擴大學生思考范圍，使學生在自主合作學習中，抽象概括出三角函數的概念屬性，加深知識理解與運用.教師在教學中要把握學科間的關聯，把抽象問題形象化、具體化、生活化，將數學知識在情境中“用起來、活起來、聯起來”，增強課程的綜合性和實踐性，讓學生在觀察、思考、猜想、驗證中關聯生活經驗與多學科知識，對問題表征進行描述，進行深入的思考、判斷、分析、探索，逐步形成理性思維，實現數學關鍵能力與核心素養的綜合發展.

1 自主提煉要點，梳理數據信息

跨學科課程要以學生認識經驗為依據設計任務背景，使學生能在有推理，有思考的趣味環境氛圍中，以積極主動的思維自主發現問題，進一步用邏輯思維和多學科知識、技能，對數據進行運算、推理與抽象.教師要強調多學科知識、技能和現實生活的整體功能，引導學生解決問題時進行縝密周詳的分析與推理，理解數學知識的必要性、科學性、合理性.

例如，簡諧運動三個特征量是：振幅、初相、頻率，教師在教學三角函數的概念、圖象和性質時，可結合基本的機械振動、聲波和電流，學生在任務場景：用平面鏡、金屬桶、激光筆、氣球膜、橡皮圈、音叉、橡膠錘子設計實驗“制作一個音樂鐘擺計時器”，學生結合幾個量的物理意義提取知識要點，自主觀察和探究實驗過程，在動手實踐和深入觀察中通過三角函數圖像各種變換，體驗由特殊到一般，由簡單到復雜的探究過程和思想方法，提高探索能力、科學態度和鉆研精神.

學習初始，教師不妨提出問題：請學生說一說聲音的產生、傳播形式，聲音的頻率、音色、聲調.然后播放動聽的“鐘擺音樂”將聲波、單擺運動與三角函數圖象聯系起來，增強知識的整體性和聯系性.學習中，讓學生自主對單擺擺動時位移與時間關系進行檢驗，或觀察聲波、電流隨時間變化圖像，結合三角函數分析、描述.

教師在教學中目標明確，用物理知識引出函數y＝Asin（ωx+φ）圖像.由學生獨立完成任務，讓他們運用數學知識研究y＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的圖像變換，自主畫出y＝2sinx，x∈R，y＝?sinx，x∈R的簡圖（在［0，2π］上的圖像）概括參數ω對y＝Asin（ωx+φ）圖像影響規律，感受三角函數在生活中的廣泛應用.

跨學科學習意味著改變與創造，既要注重對學生數學抽象、運算分析、邏輯推理的綜合培養，也要培養學習興趣，為理解而學，為學科知識而學，使學生運用多學科方法、理論，對需要解決問題的路徑進行探索的過程了解函數實際意義，增強理解力和創造力，領會三角函數的重要性.

在研究y＝Asin（ωx+φ）圖像變換時，結合簡諧運動來模擬生活場景，利用已有知識、技能假設、質疑、構想、設計、改進、解釋問題，用“五點法”作出y＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的圖像，研究三角函數圖象變換規律，總結A，ω，φ，這幾個參數對函數圖像變化的影響，了解函數y＝sinx圖像與y＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）圖像之間的變換關系.讓學生在解決問題過程中正確使用工具、軟件，記錄數據、結果，合理分析，提升數學能力和使用工具能力，加深對三角函數的解析式、初相、頻率、振幅深刻理解，明白y＝Asinx（A＞0，A≠1），y＝sinωx（ω＞0，ω≠1），y＝sin（x+φ）這三個函數與函數y＝sinx之間關系，自主梳理總結函數y＝2sin13x-16圖像與y＝sinx圖像關系，對數學方法、思想和所學知識進行總結、概括，提升學習能力.

2 層層遞進解答，深入思考驗證

跨學科強調個人在學習中能利用兩個或多個學科的知識、理論、信息、方法，提出可行的解決方案，以促進學生對數學知識的深度理解.教師在跨學科教學中要把綜合知識與問題解決融為一體，推進學生對數學綜合應用意識與實踐能力的培養，支持學生進行深度學習.

一節課成功與否，關鍵看內容設計是否符合學生的認知規律和認知層次，教師所設計問題要關注開發學生思維潛力，關注學生能力發展，把課堂真正的還給學生.教師一方面要體現出數學與其他學科以及現實生活的聯系，另一方面要以建議者、指導者的身份，輔助學生自己動手獲取學科知識，讓學生在實際動手的操作體驗中自主歸納、類比、探究證據，掌握和學習三角函數的概念.

例如，機械波的波動規律滿足三角函數關系.教師設計一個物理問題，要求學生用數學知識求出：“質點位移隨時間變化的關系式？”和“簡諧波的波速、波長、周期？”.在介質中一列簡諧橫波沿x軸正向傳播，波長不小于10cm，介質中平衡位置為O和A，O和A位于x＝0和x＝5cm處的兩個質點.觀測t＝0時質點O的位移為y＝4cm，質點A處于波峰位，在t＝13s時，質點O第一次回到平衡位置.A點在t＝0s時，位于波峰位置，A點在t＝1s時，第一次回到平衡位置.可知：T4＝1s，解得T＝4s，O點在t＝13s時，第一次到平衡位置，A點在t＝1s時，第一次到達平衡位置，從O點傳到A點，波用時23s，傳播距離x＝5cm，波速v＝xt＝7.5cm/s.波長λ＝vT＝30cm.組織學生進行的獨立思考、判斷、論證和分辨，讓學生在物理知識的聯系中感受數學價值和作用.

在解決“質點位移隨時間變化的關系式？”這一問題時，設質點O的位移隨時間變化關系為y＝Asin2πTt+φ，結合問題條件代入上式得4＝Asinφ，0＝Asinπ6+φ，從而得φ＝5π6，A＝8cm，質點O位移隨時間變化關系式為y＝8sinπt2+5π6cm.

問題：“求解質點的位移隨時間變化的關系式.”學生在思考過程中，可把物理問題轉化為三角函數解析式問題進行解答，如果學生把物理觀點轉化為數學問題，就容易解決問題了.因此，教師要結合高中生的思維特點和認識經驗設計問題，讓抽象的數學知識更富有挑戰性、遞進性，培養學生獨立思考習慣，使學生在生動、活躍的氛圍中，形成良好習慣與態度，學會用數學思維去探究問題、解決問題，深化對數學知識概念的領悟和理解.當學生遇到難題困境時，教師要引導轉變學生的解題思路，組織學生以小組為單位進行討論與質疑，自己讀圖，發現波動規律滿足三角函數關系，根據波動圖像找到相關的物理量，抽象出數學概念和變化規律，懂得運用數學思維看待問題，借助數學語言表達思考過程，解決實際問題.

3 拓寬文化學習，形塑積極心態

跨學科學習目的是改變學生的學習方式，讓學生在學科學習中能借助多學科的工具來解決問題，塑造積極主動的學習形態.所以，教師在課堂要拓寬數學知識的學習和運用領域，注重跨學科知識的理解與運用，讓學生在問題討論和資料查閱中，產生積極探尋的意愿，并用實際行動、思維，把零散的知識點建構成知識體系，收獲知識、經驗、觀點、感悟.

例如，三角學源于天文運算和測量，泰斯勒為了測量金字塔高度，由相似比產生了三角函數.教師在教學關于“兩角和與差的余弦公式”的知識點時，可把數學文化融入進來，組織學生依靠所掌握的知識、技能繪制“正弦表”，進一步推導出兩角和與差的余弦公式.在繪圖計算過程中，有的學生采用歸納推理方法得cos（α+β）＝cosαcosβ-sinαsinβ.先算出1°的正弦余弦，在加α+β與兩個單角α，β，可讓弦表制作變得更加簡單.有的學生在繪圖過程中將幾個角放到兩個三角形，利用面積相等，得到了兩角和的正弦公式：（asinα+bsinβ）acosα＝basin（α+β），acosα＝bcosβ，化簡得，asinαbcosβ+bsinβacosα＝absin（α+β）即sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ，再進一步通過誘導公式，可得到余弦相關公式.跨學科知識要讓學生思考“如何利用所學的數學知識”，解釋和具體現象、問題，讓學生在實際運算中，發揮創新意識和發散思維，從多角度思考問題，創造性探索出問題的最優解決方案.

對于學生個體而言，三角函數高度抽象，又脫離實際，學生在傳統課堂學習很難體會到三角函數廣泛應用.教師既要設置豐富有趣的背景文化知識，也要鼓勵學生親自動手去“做”，始終以學生為中心展開推理、判斷、分析等環節，讓學生在實踐探索中內化知識積累.

4 反思問題評述，組織討論辯析

學生的學習力、記憶力、理解力、創新力與知識信息聯系的數量成正比，教師在教學活動中應基于數學知識學科特點和學生的發展需要，設計反思解析環節，引導學生經歷“發現、討論、辨析、分析、反思錯誤”，讓學生在互助、啟發、協作、糾錯中，不斷展示自己解題思路、解題方法，感悟數學嚴謹、理性精神意志，加深數學概念理解，提高分析、解決問題，歸納、總結等數學能力.

例如，在跨學科學習中，涉及求函數y＝3sinπ4-2x的單調區間，學生在解題時，常把π4-2x看作整體，結合正弦函數y＝sinx的單調性，導致錯誤解答問題.

正確解答：求函數y＝3sinπ4-2x的單調區間.解：y＝3sinπ4-2x＝-3sin2x-π4，所求單調增區間2kπ+π2≤2x-π4≤2kπ+3π2，即kπ+3π8，kπ+7π8，事實上y＝3sinπ4-2x是一個復合函數，可看作y＝3sinu和u＝π4-2x兩個函數的復合，學生在解決問題時，經常會忽視復合函數單調性法則，即符合函數單調性的同增異減原則，以此出現錯誤.

教師在這一環節要引導學生反思、糾正自己的錯誤，引領他們在有價值、有意義的活動中反復探討運算思路，再次確定運算方向，并在持續的判斷分析中掌握正確的解題方法，使每一位學生的能力都能得到充分發展，掌握三角函數y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的單調區間、最值、周期、值域與三角函數性質相關問題，讓學生在錯誤原因分析中增強劃歸意識提高思維的批判性和嚴謹性.

教師在設計教學內容時要圍繞學生的學習困難，要主動聽取學生的意見，聯系社會、生活、文化重構學習主題，以實現數學重點知識的定向細化.高中階段學生擁有較強的自主意識和一定的知識儲備，教師要綜合科學與工程、藝術等相關元素，讓學生在包含數學內在邏輯的實踐探索體驗中持續內化思考，通過自己調整，辨別問題的本質，加深知識概念理解.

而反思評價環節是要診斷學生問題，讓學生能基于內在情感需求，結合自身的實際經驗和知識技能，不斷去踐行和創造，自主討論、分析、思考“為什么要做？為什么這么做？還能怎么做？”讓學生綜合已有的知識、經驗相互支撐，獨立完成公式推導過程，發現背后所蘊含的數學知識，體會到數學的應用價值，實現對數學概念知識的深層次的理解性學習.同時，教師也要發揮好指導者的作用，針對學生存在的不足及時調整方法，鼓勵學生自主審題，分析解題的條件和錯誤原因，使學生能從不同的角度，探究運算的方向和思路，總結經驗習得多方面的知識，合理選擇相應的運算方法，提高數學能力和創新精神.

總之，教師在跨學科視角下，要注重對學生的創造能力、數學情感、數學思維和學習能力的培養，讓學生像探索者一樣獨立發現問題，設計解決問題的方案.支持他們在多學科知識間的銜接中建立已有經驗和新經驗之間聯系，用數學的方式思考問題，增進學習興趣，提高數學素養.

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