利用轉化思想 提升運算能力

徐小玉

摘 要：《義務教育數學課程標準（2022年版）》明確指出要讓學生理解數學思想方法、學會自己學習.而轉化思想作為重要的數學思想，是教師教學中的重點.通過系統解讀教材，發現“數與運算”主題的內容結構化特征明顯，教學時運用轉化的思想可將這個主題的內容有效聯系起來，促進學生知識與方法的遷移，使學生學習變得更輕松更持久，其核心素養也能得到發展.

關鍵詞：小學數學；數與運算；內容結構化；轉化思想

2022年版新課程標準的修訂，更注重數學課程的整體性與一致性，在數與代數領域由原來的四個主題變為兩個主題，把負數、方程、反比例相關內容都移到了初中進行教學.下面具體說說“數與運算”主題的內容結構化特征.

1 “數與運算”主題中內容結構化的特征分析

整個小學階段“數與運算”主題，橫向來看是發展學生對數的認識，即整數、小數、分數；縱向來看是發展學生的運算能力，即不同運算的發展.兩者螺旋遞進，如：認識自然數的同時，運算也隨之產生，從1開始每次+1，產生一個新的數.

1（+1）→2，2（+1）→3，3（+1）→4……

加法是所有運算的基礎，其他運算都可從加法運算導出：減法是加法的逆運算，乘法是求相同加數的和，除法是乘法的逆運算.整數、小數、分數的運算，核心概念都是“相同數位上的個數相加”.

新版數學課標的統整，加強了“數與運算”主題中的內在聯系，突出課程內容結構化的特征.目的是讓教師能深入淺出地理解教材，用轉化的教學思想，使學生了解所學內容之間的關聯；學生通過轉化的數學思維，將所學內容的差異勾連，從而理解知識間的核心概念，促進其用數學的思維思考現實世界.

2 轉化思想在“數與運算”主題中的應用

由上述分析可看出，“數與運算”主題結構化特征明顯，這樣的教材內容十分適合運用轉化思想勾連新舊知識.

2.1 解讀轉化思想

轉化思想是指：將對于學生而言的新知、需要解決的問題，在頭腦里通過知識的重組和改變，與原有的知識相勾連，化歸為已經掌握的知識、已經會解決的問題，使新知得以用學過的方法、手段來解決.通常能將復雜的問題簡單化、將抽象的問題具體化、將特殊的問題一般化.

讓學生理解思想方法、學會自己學習，是新課程的任務.轉化思想作為重要的數學思考方法，是我們教師教學的重要目標.

2.2 運用類比，使陌生的問題轉化為熟悉的問題

類比方法是通過對兩個研究對象的比較，根據它們某些方面（屬性、關系、特征、形式）的相同或類似之處，推理出它們在其他方面也可能相同或類似的一種推理方法.［1］

蘇教版數學教材四年級下冊第三單元“三位數乘兩位數”，是在二、三年級學習“多位數乘一位數”“兩位數乘兩位數”基礎上的延續，也是小學階段整數乘法的最后部分內容.因此要學習“三位數乘兩位數”，必然要讓學生勾連舊知“兩位數乘兩位數”，教學環節可以這樣設計：

2.2.1 導入：回顧兩位數乘兩位數的算理、算法

師：老師從家到學校步行需要21分鐘，每分鐘走91米，請問老師家到學校的距離是多少米？

（教師首先讓學生列豎式計算91×21，同時讓兩名學生上臺板演列豎式解題過程，引導學生復習“兩位數乘兩位數”的算理及算法）

2.2.2 新授：類比三位數乘兩位數與舊知的關聯

師：我們再來解決一個問題：李叔叔從某城市乘火車去北京用了12小時，火車每小時行145千米，該城市到北京有多少千米？

（教師引導學生讀題，并分析題目中的數量關系）

師：那我們該怎么列式呢？

生：145×12=.

師：這是幾位數乘幾位數呀？

生：“145”是三位數，“12”是兩位數，所以是“三位數乘兩位數”.

師：是的，讓我們今天一起學習“三位數乘兩位數”.

師：同學們自己試著計算一下145×12.

預設1：將12分解成10加2，145乘2等于290，再用145乘10等于1450，最后用290加1450等于1740.

預設2：將12看成2乘6，先用145乘2等于290，再用290乘6等于1740.

預設3：將12看成3乘4，先用145乘3等于435，再用435乘4等于1740.

預設4：還可以列豎式計算.

2.2.3 拓展：四位數乘兩位數、三位數乘三位數的算理、算法

師：三位數乘兩位數的計算方法和兩位數乘兩位數的計算方法是一樣的，那還有幾位數乘幾位數呢？你會計算嗎？

本節課是要通過“兩位數乘兩位數”與“三位數乘兩位數”的算法類比，發現共同部分：都是將第一個因數看作整體，先用第二個因數的個位乘第一個因數，再用第二個因數的十位乘第一個因數.（如圖1）勾連舊知建模后，學生不再對“三位數乘兩位數”的計算感到陌生，通過熟悉的模型解決三位數乘兩位數的問題，同時為以后解決多位數乘多位數的問題奠定了算法基礎.

除了要關注“三位數乘兩位數”知識的生長點，也要關注到教材的連續性.預設的前3種運算方法，都是將第二個因數進行分解，實質上是為學習同冊書第五單元乘法分配律和結合律埋下了伏筆.數與運算主題中結構化的特征，為使用轉化思想進行教學提供了內容基礎.

2.3 統一條件，把特殊的問題轉化為一般的問題

統一條件就是通過協調問題中未統一的部分，來突出條件之間的本質聯系，便于解決問題.這在解決較復雜的分數加減乘除時，作用顯得尤其突出.［1］

蘇教版數學教材五年級下冊第五單元“異分母分數加法和減法”，是在學習了“同分母分數加法和減法”“倍數和因數”的基礎上進行教學的.例題出示了兩個異分母分數相加的算式“12+14”，由于分數單位不同無法直接進行加減計算.這節課的難點就是在于理解：計數單位相同方可進行計算；學生要體會知識之間內在的聯系，感受轉化思想在數學中的應用，從而提升數學思維能力.可以這樣設計教學環節：

2.3.1 導入：腦筋急轉彎揭示核心概念——計數單位相同才能相加減

師：1+1什么時候可以等于11？

談話：比如1元+1角=11角.

追問：為什么不是等于2元或者2角呢？

預設生：單位不同.

明確：單位不同時，不能直接相加.

2.3.2 新授：明確分數加減的前提——統一分數單位

例1 明橋小學有一塊長方形試驗田，其中12種黃瓜，14種番茄.黃瓜和番茄的面積一共占這塊地的幾分之幾？

師：異分母分數加法又該怎樣計算呢？請同學們根據自己的理解和經驗，借助手中的長方形紙折一折，看一看，想一想，試著來解決這個問題.

預設1：12+14＝26＝13，

預設2：12+14＝16，

預設3：12+14＝24+14＝34，

預設4：12+14＝0.5+0.25＝0.75＝34，

反饋交流：答案各不相同，哪種算法對呢？為什么對？錯的又錯在哪里？

討論預設3的算式，12與14的分數單位不同，不可以直接相加.

明確：先化成分母相同的分數，也就是讓它們的分數單位相同，分數單位相同就能直接相加了.這種把異分母轉化成同分母的方法，叫做通分.

這節課中，把異分母分數轉化成同分母分數，是用了統一條件的轉化思想，達成了分數單位相同才能做加減法的核心概念.

2.4 數形結合，將抽象的問題轉化為具體的問題

數與形之間的轉化，常被老師們用來解決實際問題、分析數量關系，以及用于空間與幾何中，但在“數與運算”主題用數形結合的老師并不多.實際上，數形結合利用其具體化、形象化的圖示，是有利于老師闡述算理的形成，并將復雜的問題簡單化的.

蘇教版數學教材五年級上冊第五單元“小數乘小數”這節課的算理教學，是將小數乘法轉化為整數乘法，再根據積的變化規律，確定積的小數點位置.如果畫一個正方形來闡述小數乘法的算理，就能夠更直觀、更便于理解.

創設情境：一張桌子的桌面是長方形，長0.8米，寬0.7米，它的面積有多大？

求面積時產生新計數單位，如圖2，先畫一個邊長1米的正方形，把邊長平均分成10份，桌子的長取8份，寬取7份.在豎著分、橫著分的過程中，發現共分成了100小份、每小份是0.01平方米，也就是說0.8×0.7的過程中，產生了一個新的計數單位“0.01”.這個長方形桌面，一行有8個0.01，有7行，共有56個0.01，是0.56.用這樣的面積模型，來表示小數乘小數的算理，更直觀，并且有利于在分數乘分數中，繼續用該模型進行算理的表達.

蘇教版數學教材六年級上冊第二單元“分數乘分數”，算理教學時教材也采用了面積模型來介紹算理，但是教材中例題使用的情境相對復雜，學生理解起來比較困難.我們可以先采用以下簡單的情境，利用數形結合，將復雜抽象的問題轉化為具體的問題，從而有利于學生理解分數乘分數的算理.

創設情境：一個長方形菜地長710分米，寬310分米，它的面積有多大？

求面積時產生新計數單位：如圖3，先畫一個邊長1分米的正方形，先找邊長的710，再找邊長的310，要求的大小就是涂色部分.在均分的過程中，發現產生了一個新的計數單位“1100”.這個長方形菜地，一行有7個1100，有3行，共有21個1100，即21100.

以形解數，用這樣的圖示可以清晰地表達，把大正方形平均分成了100份，每一份就是1100，取了其中的21份，就是21100.通過數形結合的圖示，還可以清楚地感知，其實小數乘小數與分數乘分數的算理是一致的.

3 轉化思想在“數與運算”主題中各年段滲透的深度

由上述分析可知，轉化思想作為一種常用的推理方法，是教師教學的內容之一.但是需注意的是，在小學各年段，轉化思想的滲透深度是不同的.［2］

3.1 低段學生感知轉化思想

在蘇教版數學教材低段里，教材只是安排了學生在運算的過程中感悟轉化能夠解決問題，感知即可、不必言明.例如，在教學十幾減9時，可以用“想加算減”的方法解決問題.這部分教學，學生能夠感知減法算式，可以轉化為“9+□=1□”這樣的模型來解決，不需要一步步道明其解題步驟.

3.2 中段學生了解轉化思想

轉化作為解決問題的策略之一，雖然是在小學高段教材中才學習的，但是中段的學習過程中，已經需要老師帶領學生感知轉化思想在平時課堂中的應用了.如四年級下冊運算律中，看到算式中含有“4×25”“125×8”這樣可以湊整百、整千的式子，就需要敏銳地把它們從多步計算中提煉出來了.例如在解決125×56時，將原式變形為125×8×7，就是對原題進行了轉化.

3.3 高段學生運用轉化思想

新課標要求教師不僅要授之以魚，還要授人以漁.學生不僅要學會知識，更要學會如何學習新知識.轉化思想是基礎的數學思維方式，在低段、中段能潤物無聲地感知、累積并轉化思想，到了高段，面對復雜的小數、分數乘除法時，教師要引導學生轉化為已經學過的數學知識，這樣對新知不會覺得陌生、抽象或束手無策.學生在以后遇到相似的問題時如果可以擅用轉化思想，將復雜的問題簡單化、將抽象的問題具體化、將特殊的問題一般化，那么這將終身受益.

參考文獻：

［1］ 張衛星.轉化思想在小學數學教學中的運用［J］.教學與管理，2009（20）：40-42.

［2］ 林碧珍.深研數學教材 滲透轉化思想——試談數學思想方法在小學數學教學中的滲透（一）［J］.湖北教育（教育教學），2010（8）：13-15.