數學思想方法在高中數學解題中的應用

賀海梅

摘 要：數學思想的實質，是建立在對數學本質和知識方法的探討之上，并與學生的實際學習需要相結合而形成的一種有效的學習手段。在數學學習過程中，有一種思想方法，它可以使數學的學習變得更加容易。因此，數學思想方法是一種非常重要的方式，也是一種表現學習思想方法的主要手段。從宏觀的觀點來看，數學思想方法的差異所帶來的不同，會對數學學習產生不同的影響，而且，它在高中數學的求解過程中，占有非常重要的位置。

關鍵詞：數學思想；高中數學；數學解題方式

在高中階段，雖說學生的基礎知識鞏固與經驗技能非常重要，不過數學思想作為學習方法的統一歸納，在學習過程中所呈現的意義和作用也非常明顯。因為在目前的學習階段，數學思想通過對基礎知識的分類、轉化、歸攏等，能夠幫助學生建立正確的學習思路和解決問題的思想方法，并且樹立遠大的學習目標。

一、化歸數學思想方法

（一）化歸數學思想方法在高中數學中的應用

解析幾何的變換。總的來說，解析幾何的核心是“數形結合”，也就是將幾何學中的問題轉換成代數，從而達到幾何條件代數化、代數運算幾何化的局面。將問題從復雜變得簡單，將抽象的問題變得具體，使學生更容易理解問題核心，并學會優化解題過程。二次曲線一直是高考中的一個考點，對考生來說，這是一道難題。造成這種情況的原因就是，學生沒有對圓錐曲線問題中蘊含的某些數學思想和方法進行全面理解，只是一味生硬盲目地解題，不善于把考試中的問題變成日常中的問題，不善于運用所學到的知識來解決新的問題，這是學生解題過程中最大的問題。解析幾何的中心目標是用代數的方法來對幾何問題進行分析，對于一些圓錐曲線問題，如果用代數的方法來進行計算，就會變得非常困難，但是如果將圓錐曲線運用到平面幾何中，就會得到很好的解決。

數列的轉化也是一道重要的題目，而數列題的求解則是數列題的核心。運用遞推法，找出它的一般表達式，是近年來各省市高考的一種常見試題。此類問題的形式多種多樣，但在解決這些問題時，應根據具體情況選擇適當的解決方法。對于一般的遞推數列，一般都可以用等差數列的方法求解。一般情況下，用遞推法求解數列所用的一般方法有幾種，每一種方法都有其對應的求解方法。

函數的變換。函數反映了在實際生活中，兩個變量之間的聯系，在解題的時候，學生可以利用對運動與變化的觀察，來分析在自然界中特定問題之間量的依賴關系，將問題中所涵括的非數學條件排除掉，這樣，就可以利用函數的方法，將這一類數量關系表現出來。這樣就可構造函數將原來的處于靜態關系下的兩個量轉化為具有動態關系的兩個量，然后再利用函數運動的特征進行求解。在此基礎上，對功能進行了動靜轉換，即實現了化歸概念。

（二）培養學生數學化歸思想的策略

深挖教科書。教材絕不只是學生得到知識信息的載體，它更是學生發展綜合能力的基礎，是激發學生發散性思維、發展智慧的重要工具。所以，對教材進行深度剖析，充分發掘其中蘊含的思想方法是十分必要的。化歸思維是數學思想方法的精華，在數學的教學和學習中，它是一種無法避免的重要思想方法，它不僅僅屬于數學這一門學科，還可以是一種超越一般數學知識，并成為一種思維方法的源泉。在高中數學教科書中，一些數學知識本身就包含了有關的化歸思想方法，在這種情況下，教師要根據教科書的特定內容，將其挖掘出來。在講解數學知識的同時，充分挖掘其背后的數學思想，從而讓學生既知道了知識，又能感受到數學思想的價值。綜上所述，在普通數學的教學內容中，包含了非常豐富的運用化歸思想方法來解決問題的材料。數學中的許多定理、公式和規律的證明，都蘊含著化歸思維的方法。稍微考察一下，我們就會發現，這種思想方法是無所不在的。所以，在教學過程中，教師要引導學生一步一步地去發掘課本中的化歸

思想。

運用“變式”的教學方法。在課堂上，可以將“變式”與課堂教學相結合。“變式”訓練實質上是一種化歸處理的方式，而“變式”訓練則是將一個不知道的問題變為一個學生已經知道的問題，再經過對這個問題的探究，最終得到答案。“變式”的思想方法就是數學中的一種思想方法。“變式”訓練可以幫助化歸概念由抽象變為具體，并為學生提供了解決問題的方向和思路。因此，在課堂上，我們要時刻注意“變式”的教學，加強對學生的數學思想方法的訓練。

拓展解決問題的思維。毫無疑問，當一個人面對一道數學問題的時候，他會有更多的選擇和解題的思路。所謂一題多解，就是要讓學生能夠從多個角度來考慮問題，并從多個角度來解決問題。在教學過程中，教師可以適當地采用一題多解的訓練方式，拓寬學生解題思路，提高學生的化歸解題能力。

學習歸納。在長期的練習和答題訓練中，學生的數學思想能力一定會得到提高，可以通過日常的思維訓練，來加強他們自己的思維能力。解題是進一步提升學生化歸思想的一個重要途徑，而學會對問題進行歸納，將有助于學生更好地掌握化歸思想的途徑、思路以及方法。只有在學生已有知識經驗的基礎上積極建構，才能真正地掌握教師所教授的數學知識。如果教師僅僅是向學生講解化歸的策略，或者是讓他們機械地去復制，那他們就不可能了解化歸的思想方法，更不可能將它應用于數學問題的解決。所以，教師要在數學解題的過程中創造條件，讓學生去經歷問題的發現、探索、討論、求解的過程，在訓練過程中，在遇到一個新的、復雜的數學問題時，學生會發現可以實現化歸的方式有很多，但如果沒有絕對確定的方式，就必須對每個途徑進行分析，找出更好的方式，從而讓學生能夠靈活地使用化歸思想方法。在平常的時候，教師就要對學生進行訓練，讓他們在腦子里想一想如何解決這個問題，然后再動手去解決，而不是在沒有認真思考的情況下，就去做題。此外，在學生解決了問題之后，教師還要指導他們對自己的解題思路進行回顧、分析、總結、評價，進一步學習總結解題的方法，并把它提高到思想方法上來。通過總結，使學生對化歸思想在數學解題中的重要性有一個最大的認識，從而能夠對化歸思想方法有一個相對的了解，從而提升自己的思考能力。總之，化歸思想方法是一種重要的思想方法，對解決問題具有直觀、具體和強大的作用。“形”和“數”之間的轉換，“動”和“靜”之間的轉換，可以幫助學生更好地解決問題，幫助他們更好地掌握問題的解決方法，從而更好地發揮他們的學習潛力。

二、分類討論思想方法

（一）分類討論思想方法在高中數學中的應用

如果在高中數學題目中，所給出的研究對象不能按照統一的對象來進行分析和解決，就需要以特定的分類標準為依據，將所給出的研究對象劃分為多種條件，并分別對每一種情形都要展開分析和研究，并將每一種情形下的分析結果綜合起來，從而得出最后的答案，這被稱作是分類討論思想，它可以對數學問題進行全面的分析。在高中數學知識內容中，使用分類討論思想的關鍵和困難，就是要找出一個合適的分類標準，同時要把所有的情形都考慮進去。分類討論思想方法是一種高效地解決和處理高中數學問題的方式，它可以使研究對象變得更加簡單，同時還可以提升學生的數學邏輯思維能力，促進他們的數學思維。由此，可以得出一個結論。比如：已知函數：，所以需要繪制該函數的圖形，對于高中生來說，在對這類含有絕對值的函數進行分析與求解時，要清楚地知道這類函數是一類分段函數，首先要對其自變量的取值范圍做一個合理的劃分，再按特定的準則將函數分為三個區，每個區內的函數表現式都是不相同的，依據這些表現式繪制出一幅很好的函數圖，最后，把這三個區的函數表現式綜合起來，得到一個分段函數的表達式。

（二）培養學生分類討論思想的策略

通過創設情境，引導學生進入課堂。在高中數學的教學過程中，有較多的定理、法則、公式和習題都需要選擇分類討論思想，分類討論思想要在整個高中數學的教學過程中進行貫徹。在教學過程中，教師要與教學內容相結合，對學生的分類討論思想進行全面的加強，讓學生在各種問題的分類討論中，對每一個問題進行簡化，促進大多數復雜問題具體化、形象化、簡單化。在高中數學分段函數的教學過程中，要在講授之前，注意創設相應的教學情境，合理地引入新的課程內容[1]。比如：某城市的出租車價格是“5公里以內8塊錢，其中包括5公里。如果行車距離超過5公里，但又不足15公里，則按每公里1.5元計算費用。超過15公里，每公里2塊錢。”這種生活情境的問題可以有效激發學生的興趣，這時，教師可以對學生提出問題：當一名乘客坐車行駛了9公里，他要給出租車司機支付多少元車費？在此基礎上，提出了行車里程與票價的函數關系，從而利用情境讓學生更有興趣進行做題。

進行調研，樹立觀念。在一個生動的情境下，讓學生積極地參加對部分函數的學習，并以各種類型的解析式為主要內容。在教學過程中，教師應對知識的生成和發展過程進行分析。在實際操作中，需要學生做出函數，的圖像，再做出，（2，）的圖像。現在，需要做一個總結。在一個函數的定義范圍內，一個自變量的取值范圍很大，其相應的規律也很多，這就是一個函數。分段函數是一種統一的函數，因為其自變量的取值范圍與其對應的關系會有很大的差別。依照圖像構建分段函數基本概念，使學生能掌握分段函數的功能。在對概念知識進行解析時，可以促進學生充分把握分類討論思想在解決分段函數問題時的運用價值。

三、數形結合思想方法

（一）數形結合思想方法在高中數學中的應用

高中數學的研究對象，可以分為數與形兩大模塊。數形之間有著緊密的聯系，這種聯系的關系通常被我們稱為數形結合結構。數形結合是一種先進的學習思想，也是一種突破傳統模式的數學思想。通過數形結合的特殊理念，可以明確一些數字之間、數與圖形、圖形與圖形之間的聯系。通過數形結合的特殊理念，可以使一些數字的精確效果和一些圖形的特殊屬性得到明確。通過形式與數字的有機結合，可以使問題的理解變得簡單，從而提高解題

效率。

（二）培養學生數形結合思想的策略

高中教材側重于知識的傳授，卻并沒有將其蘊含的數學內涵的觀念給清楚地表達出來，因此，學生的水平受到限制，要想真正地把握住這些知識的具體內容，就必須要有教師的協助。盡管一些知識可以通過自己的理解、記憶和聯系來提高，但對數學觀念的領悟卻不是一蹴而就的，這些意識都是要一點一滴地累積起來的[2]。

提高學生對學習的興趣。在進行教育的時候，教師們要注意運用數學自身的美，來激發他們的學習興趣，把抽象的數字和直觀的形象聯系起來，從而提高他們在學習方面的興趣。例如在講圓錐曲線、指數函數等數字圖像時，讓學生感受圖像所帶來的美，通過從網上找的圖片，讓學生沉浸于數學的這種精彩之中。在數形結合的基礎之上，教師要加強對學生思維的引導。

在此基礎上，加強對數形結合的思考。在解題、尋找答案的時候，我們要做的就是利用逆向思維，創造新的形象，建立新的思想，通過數形結合，來對生活中的數學問題進行歸納。

改革教育方法。按照新課程標準，數形結合的理論，在讓學生解決問題的時候，他們要看到自己的教育理念，讓他們知道自己的作用。不能一味地只是幫助學生解決問題，而是要讓數形結合理論實現真正的意義。在數形結合的教育中，學生要學會“自主探索”“理論與實踐相結合”，這就要求他們要打破過去的習慣，在用數形結合的方法解決問題的時候，要學會自己去探索，去尋找突破口。光靠聽講，很容易出現“眼高手低”的問題，最后也會落得個一事無成的下場。最好的教學，就是要在遵守基本理論的前提下，做到自主提問、自主探究，這也是現在教師們要鼓勵學生去做的[3]。

完成典型例子的錯誤解析。教師通常使用數形結合的方式，來分析一些典型的題目，特別是對于一些比較麻煩的問題，教師可以讓學生用自己的方法來嘗試解決問題，在講題的時候，教師可以通過數形結合的方式來引導學生去思考，并讓他們對這些解題方法的優劣好壞進行對比，最后，就可以對有關問題進行總結和歸納。要培養學生的數學思考能力，要對數學教學的思想內涵有一個整體的把握，提倡他們自己去發現，去學習，從而做到對學習的舉一反三。

結束語

總而言之，在高中生進行數學學習的過程中，教師不僅僅要重視學生對數學基礎知識的理解和掌握，更要重視在思想方面的學習。通過對數學思想方法進行分析和處理，可以有效培養并提升學生的數學思想能力和創新意識，從而拓寬他們的解題思路，讓他們可以做到舉一反三，這對他們的數學成績有很大的幫助，并且對他們的全面發展有著很大的影響。

參考文獻

[1]項華.試論數學思想在高中化學解題中的應用[J].數理化解題研究，2023，25（1）：123-125.

[2]陳林.數學思想方法在高中數學解題中的應用[J].數學之友，2022，36（24）：61-63.

[3]陳林.數學思想方法在高中數學解題中的應用[J].數理天地（高中版），2022，33（21）：85-87.