關注概念形成過程，優化高中數學教學

［摘? 要］ 帶領學生經歷概念的形成過程，能促進學生思維的成長，為幫助學生建構完整的知識結構奠定基礎. 文章以“平面向量”的概念教學為例，從“初步認識概念”“剖析概念形成過程”“回歸教材查漏補缺”“課堂練習與小結”等方面展開教學，并針對概念教學從以下三方面談幾點思考：章起始課需從大局出發，概念本質的概括是關鍵，要注重概念的自然生成.

［關鍵詞］ 概念教學；向量；概念形成

概念作為數學知識的重要組成部分，是學生掌握“四基與四能”的核心，是滲透數學思想方法的基礎，也是實施準確判斷與推理的前提. 然而，有些教師仍存在“重解題，輕概念”的教學行為，學生無法吃透概念的內涵與外延，導致概念應用時漏洞百出. 李邦河院士認為：數學學科從本質上來說就是玩概念的，所謂的技巧不足道也. 由此可以看出，注重概念的形成過程是優化數學教學的關鍵.

教學過程

1. 初步認識概念

（1）情境引發向量意識.

情境1：已知甲乙兩車分別以40 km/h與50 km/h的速度從同一出發點同時向正南方向行駛，2小時后，兩車之間的距離為20 km.

情境2：已知甲乙兩車分別以40 km/h與50 km/h的速度從同一出發點同時出發，甲車向正南方向行駛，乙車向正北方向行駛，2小時后，兩車之間的距離為180 km.

問題1 以上兩個情境中，車子的行駛速度并沒有發生變化，為什么2小時后，兩車之間的距離卻有這么大變化？

設計意圖 任何數學知識的產生都有一定的緣由，向量的產生就是源于生活的需要. 這里應用兩個簡單的情境讓學生感知速度不僅僅有大小之分，還存在方向上的區別，由此使學生對“有大小也有方向的量”形成初步印象.

（2）問題驅動概念形成.

問題2 請舉一些既有大小又有方向的生活實例.

學生提出“重力、作用力、浮力”等一些在物理學科中接觸過的量.

設計意圖 引導學生從生活實際中探尋包含大小與方向的量，以激活學生已有的認知體系，啟發學生思考.

追問：這些都是既有大小又有方向的量，那么是否存在只有大小沒有方向的量呢？舉例說明.

學生舉例：身高、年齡、面積等.

設計意圖 讓學生感知不同量的存在，并能自主作出辨別. 任何概念的形成，都需要經過大量典型的實例進行驗證. 教師在此處讓學生列舉相應條件下的生活實例，以觀察學生對概念屬性的領悟情況，為接下來進一步抽象概念奠定基礎.

師：通過大家所列舉的生活實例可以看出，現實生活中存在很多不同的量，有的既有大小又有方向，有的只有大小沒有方向. 類似于一棵樹、一本書等，只能抽象出存在大小的數量“1”；而力、位移等量，具備大小與方向的特征，這就是我們本節課即將探究的一種量——向量. （用PPT投影向量的概念）

（3）向量的幾何表示.

當學生掌握了向量的文字表示后，進入符號表示的探索環節.

問題3 如何將實例中所陳述的向量用符號表示出來呢？

面對這個問題，學生呈現出了較豐富的表示方法，如用有箭頭的字母來表示力，但沒有標注起點與終點，更沒有標注大小等. 經過師生的互動與交流，最終將向量形象地表示為“有箭頭的線段”. 有些學生為向量標出了單位長度，以比較兩個向量的大小.

師：在之前的學習中，我們都習慣用符號AB，CD，…來表示線段，如今我們給這些線段符號加上箭頭來表示向量. 在我們的認知中，線段AB與BA所表示的是同一線段，那么如今我們研究的與表示的是同一向量嗎？說說你的理由.

生1：不是，帶的箭頭表示它的方向，與的方向恰好相反.

師：不錯，向量的研究需要關注其方向，除此之外，向量還有一個重要屬性是什么？

生2：大小.

師：很好！

表示向量的大小，我們稱

為向量的模. 與之類似，還可以用a來表示向量a的模. 由于向量存在方向與大小兩個屬性，因此僅用代數或幾何形式不能確定一個向量，只有兩者結合才行.

（4）特殊向量的分析.

師：通過以上探索，我們可將向量建立成一個集合，集合中的每個向量都有一個名稱，其中特殊的向量有哪些？

生3：單位向量與零向量是最特殊的.

師：為什么說它們最特殊？說說你們的想法.

設計意圖 讓學生發現特殊向量，并通過思維過程的挖掘，引導學生類比向量集與實數集.

在此過程中，學生從長度出發，提出“1”為單位向量的長度，“0”為零向量的長度，這兩個向量最特殊. 從這一點來看，學生在不知不覺中將向量集和實數集進行了類比，自然而然地發現單位向量與零向量的特殊性.

教師充分肯定了學生的想法，強調類比實數的研究更利于向量特殊性的發現. 在實數中，“0”為正數與負數的分界點，只要有0存在，就能確定相反數；“1”作為“單位”，具有重要作用. 通過實數的研究經驗——“運算—運算律”的研究，可以預見向量首先研究的是運算，然后是運算律或法則等.

設計意圖 通過向量集與實數集的類比，讓學生發現特殊向量的存在. 類比分析意在讓學生明確后續向量的研究方向，讓學生站到宏觀的角度來看待問題，掌握數的基本研究方法.

2. 親歷概念形成過程

問題4 如圖1所示，已知六邊形ABCDEF為一個正六邊形，請給圖中的線段加上箭頭來表示向量，舉例說說你所標注的向量之間具有怎樣的關系. （給予學生充足的時間探索）

問題5 你是怎么發現各種不同向量的？各種向量之間存在著怎樣的聯系？

設計意圖 讓學生親歷概念定義過程，感知概念是數學現象的自然產物. 同時，讓學生明白學習概念不僅要有明確的結論，更要注重過程的探索，這樣才能從真正意義上促進思維發展.

此處，若教師先給學生平行向量、相等向量、共線向量與相反向量的定義，學生就喪失了自主探索的機會，即使后面通過練習來夯實知識基礎，仍有不少學生會因缺乏概念定義過程而出現各種錯誤.

在實際探索過程中，有學生從向量的大小出發，有學生從向量的方向出發，認為大小與方向相同的向量為相等向量；有學生畫出類似于與的向量，認為這是一對共線向量……整個課堂研究氛圍良好，學生的探索熱情高漲.

教師在適當的時機提出，向量具有自由性，可以平移. 由此，學生通過互動交流，認為和也能稱為共線向量. 隨著研究的逐漸深入，學生的思維也得到有效發散. 在教師的引導下，平行向量與相反向量的概念由學生自主抽象而來，雖然過程稍微曲折，卻很圓滿.

將以上研究過程歸納如下：①從方向來分析，方向相同或方向相反的向量為平行向量，若a與b為平行向量，用數學符號表示為a∥b. ②從大小來看，相等向量的模相等，若a與b為相等向量，用數學符號記作a=b. ③同時從大小與方向來看，若a，b為相等向量，則a=b；若a，b互為相反向量，則a=-b；零向量和任意向量都是平行的關系，用數學符號記為0∥a.

問題6 通過向量的概念來看，方向與模決定著向量. 那么今天我們所學的向量和物理學科中的矢量具有怎樣的聯系呢？平行向量、共線向量與線段中的平行和共線分別存在什么關系？

設計意圖 引導學生通過類比的方式，對向量與矢量的聯系與區別進行分析，并對向量的性質與線段的性質進行類比，以暴露向量的本質屬性，讓學生對向量概念的內涵與外延產生深刻理解.

3. 回歸教材，查漏補缺

師：請大家現在閱讀教材，看看以上探究結論與教材中的描述是否一樣，有無什么遺漏或異同處.

設計意圖 回歸教材是對探究活動的總結，起到查漏補缺、鞏固提升的效果，同時也讓學生明白教材是教學的依托，在數學學習中具有重要地位.

4. 練習與課堂小結

課堂小結之前，組織學生有針對性地進行練習訓練（具體略）.

師：本節課我們主要研究了平面向量的概念，根據課堂教學過程與內容，現在請大家應用思維導圖的方式將本節課的內容梳理一遍.

學生通過小組合作學習的方式繪制出了思維導圖，雖然形狀各異，但整體結構基本一樣（比如圖2）.

師：本節課我們主要探索了平面向量的基本概念與表示方法，初步認識了向量集以及特殊向量，對于向量間存在的一些關系也有所了解. 誰來說說整個過程的研究思路？

生4：從同類事物中抽象出相同特征—對這一類特征下定義—用數學符號表示—發現特殊情況—研究特殊關系.

師：總結得非常到位！值得注意的是向量的方向，單純用代數無法表達清楚，需要結合幾何進行描述，由此也能看出向量具備代數與幾何雙重特征. 同時，我們都知道數和運算是不離不棄的關系，如想要解方程x2=2，就需要借助無理數的概念，應用到“開方”的運算. 今天我們認識了“向量”，接下來應該探索它的哪些問題呢？

設計意圖 總結這節課，具有承上啟下的作用，這里教師應用類比的方法為下節課教學奠定了基礎.

教學思考

1. 章起始課需從大局出發

本節課為章起始課，對于平面向量來說，不僅僅是概念教學那么簡單，還充當著“統領全章”的重要作用. 因此教學目標的制定應從以下幾點出發：①讓學生在向量概念的形成過程中，感知向量具有集“數”與“形”于一體的特征；②讓學生明白數學研究需要從知識的聯系出發，應用類比思想能更好地揭示知識本質；③類比數與運算的研究過程，啟發學生思考，讓學生自主發現研究數學問題的基本思路與方法.

2. 概念本質的概括是關鍵

本節課涉及的概念不僅數量多，還比較抽象，教師若以傳統的“注入”模式授課，難免讓課堂死氣沉沉，而帶領學生親歷概念本質的探索過程，不僅讓課堂充滿著生機與活力，還能提高教學效率，讓學生真正掌握概念的內涵與外延.

帶領學生自主探索概念本質，一方面教師可以結合學生的認知體系，應用一定的方法激發學生認知沖突，讓學生產生探索欲；另一方面教師應為學生提供積極參與的機會，讓學生全身心地投入到概念的探索中來.

3. 要注重概念的自然生成

知識發展具有一定的自然規律，同樣概念教學應注重概念的自然生成. 這里的自然生成主要涵蓋以下兩個方面：①知識的自然邏輯順序；②學生心理的自然邏輯規律. 例如本節課，教師帶領學生從向量產生的背景出發，讓學生感知向量源于生活實際的需要，其產生具有必然性. 在整個教學過程中，學生都積極地參與其中，充分感知每一個環節、每一個步驟都那么和諧自然、水到渠成.

總之，概念是數學的核心，是思維的起點. 概念教學應返璞歸真，引導學生積極地參與到概念形成與發展的過程中來，讓學生感知概念凝聚了數學家的思維，是人類對現實事物認識的思想精華. 在概念學習過程中形成的思維能力與研究方法，具有更強的遷移力，是發展學生數學核心素養的基礎.

作者簡介：陸青（1991— ），本科學歷，中學一級教師，從事高中數學教學與研究工作.