單元整體視域下的菱形概念教學

［摘? 要］ 數學概念教學，教師基于單元整體視角，以大概念所蘊含的思想和方法為驅動，激活學生的知識儲備，創生數學現實，建立新概念的生成模型，為學生鋪設探究新概念的路徑；學生在有向開放的探究過程中生成概念，能培養高階思維，發展核心素養.

［關鍵詞］ 三會思想；單元整體；概念教學；數學現實

基金項目：江蘇省教育科學“十四五”規劃課題“基于核心素養的初中數學單元整體教學實踐研究”（D/2021/02/136），徐州市教育科學“十四五”規劃課題“‘三會思想統領下初中數學概念教學的立體化建構與實踐探索”（GH14-21-L478）.

作者簡介：魏宇亭（1981—），本科學歷，中小學高級教師，從事初中數學教學工作，曾獲江蘇省第四屆鄉村骨干教師優秀課一等獎、徐州市優質課一等獎、徐州市帶頭優師、邳州市名師等獎項和榮譽.

引言

《義務教育數學課程標準（2022年版）》指出：改變過去注重以課時為單位的教學設計，推進單元整體教學設計，體現數學知識之間的內在邏輯關系，以及學習內容與核心素養表現的關聯［1］. 教師要立足單元整體宏觀視角，以單元核心概念為統領，貼合學生的認知規律；要立足數學現實創設教學情境，引導學生以單元核心概念所蘊含的思想和方法為驅動力，建構新概念的生成模型，用知識催生知識、用方法催生方法，形成生成概念、運用概念、回歸概念的教學閉環. 在單元整體教學的提挈下，選用“數學現實”建構數學概念教學，能有效避免教學碎片化. 學生在有向開放的探究活動中，激活知識儲備，建立新概念，重構概念群，感悟數學概念蘊含的思想和方法，感受概念螺旋生成過程，發展高階思維以及數學核心素養. 基于上述對概念教學的理解，筆者在徐州市級教研活動中，執教蘇科版八下（以下簡稱“教材”）“9.4? 矩形、菱形、正方形”第3課時，得到與會師生的好評.

教材分析

1. 基于單元整體的教學分析

數學核心概念是一個擁有“核心”的“概念群”，是由核心概念及其生長出來的子概念組成的知識體系［2］. 本單元的標題為“中心對稱圖形——平行四邊形”，教材分為5節，前兩節分別為“圖形的旋轉”與“中心對稱與中心對稱圖形”. 對教材進行結構化分析，中心對稱與中心對稱圖形是本章的核心概念，子概念為平行四邊形、矩形、菱形、正方形等，其中平行四邊形又是其他幾類圖形的核心概念. 基于概念的群屬關系、課堂教學的適切度，本課選用中心對稱為單元核心概念，以其所蘊含的特殊的旋轉思想和方法為驅動力，呈現由三角形形成平行四邊形與矩形的范例，創設數學現實情境，建構菱形的概念.

2. 基于數學現實的教學分析

本課教學，教師更樂意選用生活現實創設教學情境，引導學生從生活現象中抽象出菱形，進而探究其概念和性質.這一方式，有交融生活與數學的優點，但容易孤立概念，偏離單元整體，造成知識碎片化的現象. 基于單元整體視域俯察章節體系，引導學生以核心概念為驅動力，選用數學現實創設教學情境，建立核心概念與子概念的線性關系，形成完備的概念體系，能有效規避上述問題.

學生在七年級學過三角形的概念和性質，本單元已建立中心對稱、平行四邊形等概念，具備以中心對稱這一核心概念為驅動力，建構菱形概念的數學現實. 基于單元整體，以中心對稱為核心概念，立足數學現實，建立概念生成模型，鋪設有向開放的探究路徑，繪制成本課教學結構圖（如圖1所示）.

教學設計

1. 立足數學現實，創設教學情境

（1）導語：數學源于生活，也源于數學本身，前幾節課，同學們學習了平行四邊形與矩形的概念和性質，知道矩形是特殊的平行四邊形.今天，我們從另一個視角，再認識這兩種圖形.

（2）如圖2所示，用幾何畫板演示三角形的旋轉過程，讓學生觀察并思考：

①請用數學語言，描述這種圖形運動. ②你有哪些發現？

引導學生發現旋轉中心所在的特殊位置，由三角形到平行四邊形的轉化過程.

（3）設問：可獲得怎樣的結論？

（4）如圖3所示，用幾何畫板演示直角三角形的旋轉過程，讓學生觀察并思考：①從旋轉的要素和結果來看，你有哪些發現？②與圖2相比，有哪些區別和聯系？③在直角三角形中，以任一邊的中點為旋轉中心，旋轉180°后與原圖形組成的一定是矩形嗎？為什么？

設計意圖? 通過旋轉，動態演示由三角形生成平行四邊形的過程，運用先行組織者技術，喚醒學生積累的知識和方法，創設從三角形與旋轉中心的特殊性入手，探究菱形概念與性質的數學現實情境，以中心對稱這一核心概念為驅動力，厘清核心概念與子概念的從屬關系.

2. 基于單元整體，生成菱形概念

（1）設問：直角三角形是以角分類的特殊三角形；若以邊分類，有什么樣的特殊三角形？

（2）追問：基于特殊性考慮，旋轉中心應定在什么位置？

（3）作圖：如圖4所示，畫出以等腰三角形底邊中點為旋轉中心，旋轉180°后的圖形.

（4）設問：原三角形與旋轉后的三角形組成了什么圖形？

（5）設問：請用自己的語言描述該圖形的特征，并說明理由.

（6）討論歸納菱形概念：有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形.

設計意圖? 學生基于數學現實，建立探究菱形概念的模型，通過作圖，親歷菱形生成的過程；抓住等腰三角形兩腰相等的性質，形成菱形概念.

3. 運用概念模型，探究菱形性質

（1）設問：等腰三角形具有哪些特殊性質？

（2）設問：猜想菱形會有哪些特殊性質，并說明理由.

（3）追問：菱形的特殊性與等腰三角形的特殊性有什么聯系？

（4）小結菱形的性質.

（5）師生互動，用三種語言描述菱形的特殊性質（見表1）.

（6）追問：如圖5所示，在菱形中發現了哪些特殊的三角形？它們之間有什么關系？

（7）追問：菱形是中心對稱圖形嗎？是軸對稱圖形嗎？請說明理由.

設計意圖? 如圖6所示，以單元整體為引擎，以學生積累的等腰三角形知識以及中心對稱思想方法為數學現實，在核心概念的驅動下，催生菱形的特殊性質.

4. 舉一反三變式，鞏固運用概念

（1）例題教學.

出示：如圖7所示，木制衣帽架由3個全等的菱形構成，在A，E，F，C，G，H處安裝上、下兩排掛鉤，可以根據需要改變掛鉤間的距離，并在B，M處固定. 已知菱形ABCD的邊長為13 cm，要使兩排掛鉤間的距離為24 cm，求B，M之間的距離.

①要求學生獨立思考，尋找解決問題的方法.

②組織學生小組合作，隨后分組展示解題思路.

③師生互動完成求解，形成將菱形轉化為直角三角形的解題思路，體驗化歸思想.

（2）變式教學.

①在菱形ABCD中，若BD=10，AC=24，求菱形的邊長.

②在菱形ABCD中，若BD=10，AC=24，求菱形的周長.

③在菱形ABCD中，若BD=10，AC=24，求菱形的面積.

（3）提煉求菱形面積的方法.

設計意圖? 運用菱形概念解決實際問題，通過變式教學，多維度搭建數學與生活的通道，拓展探究空間，發展學生以“三會”為代表的數學核心素養.

5. 回歸生活現實，完善概念體系

（1）如圖8所示，播放PPT，欣賞生活中的菱形.

（2）活動：學生列舉生活中常見的菱形.

（3）組織學生從概念、數學思想方法等方面總結本課.

（4）以搶答的形式，完成課堂檢測和鞏固.

（5）課后思考：用本課的探究思路，嘗試獲取正方形的概念和性質.

設計意圖? 向學生展示含菱形的圖片，引導學生列舉生活中常見的菱形，在生活現實和數學現實的交融中，具象菱形概念，建立并完善概念體系，培養學生的高階思維；在解決問題的過程中，激發單元整體教學的張力，形成完整的教學閉環.

6. 板書設計

見圖9.

教學反思

1. 整體統領部分，核心駕馭群屬

基于單元整體建構概念教學，應從整體性、關聯性、獨立性去分析單元與課時之間的關系，用整體統領部分，把脈某一概念的前承與后續；用核心概念駕馭群屬，厘清上下位關系，形成結構化的概念群，達成化部分為整體，聚零散成群屬，避免知識碎片化現象的產生. 宏觀分析，初中數學可分為數與代數、圖形與幾何、統計與概率三大領域；中觀分析，教材的每章是單元領域，它們從屬上述三大領域；微觀分析，在單元領域中，由核心概念統領概念群，核心概念是觀念、策略、方法，是開展單元整體教學的切口，起著輻射整體、提挈下位的作用，用核心概念的思維和方法建構新概念教學，是開展單元整體教學的路徑之一.

分析本章的教材結構可以發現，它先從生活現實抽象出平行四邊形及矩形的概念，然后直接告知菱形與正方形的概念，之間的跨度較大，若就概念教概念，易偏離單元整體目標、忽視核心概念的價值. 基于上述所言，本課從中心對稱這一核心概念中汲取思想和方法，創設由三角形生成平行四邊形和矩形的情境，引導學生用批判性思維審視情境，以核心概念為驅動力，快速激活知識儲備，形成由等腰三角形生成菱形、在菱形中發現特殊三角形的互逆視角，建立探究菱形概念與性質的教學模型.

2. 立足數學現實，汲取探究力量

數學現實是學生在學習過程中所積累的知識和方法，在核心概念的引領下，將數學思想方法、概念的生長點、概念群屬關系、解決問題的通法、學生學業水平等進行關聯和整合，創生基于單元整體的數學現實. 清晰診斷學生已有的知識和困難，確立學生已有知識的激活源，尋找新知識的類比源和生長源，不同知識點之間一以貫之的關聯源［3］. 學生的數學現實蘊含著探究新知的蓬勃動力，是建立新概念的強大力量.

在本章中，學生學習了圖形的旋轉、中心對稱、平行四邊形和矩形，若本課仍從生活現實抽象菱形概念，容易孤立概念，錯失建構單元整體的良機，產生知識碎片化的現象. 在本課教學中，從中心對稱這一核心概念汲取原生力，創設從三角形動態生成平行四邊形和矩形的情境；引導學生用批判性思維尋找共性和特性，激起新舊認知之間的對抗力；學生從三角形、中心對稱等概念中提取知識和方法，建立研究菱形概念的模型，沿著有向開放的探究路徑，匯聚探究內生力，形成基于單元整體的概念教學新樣態.

3. 培育高階思維，發展核心素養

促成高階思維的學習追求不僅僅是在知識數量上的簡單增加，更是能夠建立起相互關聯的基本知識結構框架［4］. 數學概念并不是孤立存在的，有其群屬關系.因此概念教學應以單元核心概念為統領，建構下位概念，形成相互關聯的概念框架.基于單元整體的概念教學，能培養學生的高階思維，發展學生的數學核心素養.

中心對稱、平行四邊形、菱形的概念之間有著層層遞進的種屬關系，既相互關聯，又相對獨立. 本課教學以中心對稱所蘊含的思想和方法為驅動力，創設由三角形生成平行四邊形、矩形的數學現實，類比建立探究菱形概念的模型；在“回歸生活現實，完善概念體系”的環節中，引導學生回歸生活現實再識菱形，彰顯菱形概念的獨立性. 學生在單元領域中，沿著用核心概念催生新概念的有向開放路徑，經歷聚合分散，深度建構概念框架，能充分挖掘數學概念所蘊含的思想和方法，增加概念教學的厚度.

結語

數學概念教學，教師“重解題、輕概念”的行為容易誤導學生，使其認為數學只是解決“形結構”“式結構”的考試科目，由此缺少完整的概念體系和思想方法，對數學核心素養缺乏深層的理解，很難達成學科育人的目標. 基于單元整體，以核心概念所蘊含的思想和方法為驅動力，創設建構新概念的數學現實情境，讓學生調動累積的知識和方法，催生新概念，完善概念體系，培養學生的高階思維，發展學生的數學核心素養，可糾正“重解題、輕概念”的教學偏差.

參考文獻：

［1］中華人民共和國教育部. 義務教育數學課程標準（2022年版）［M］. 北京：北京師范大學出版社，2022.

［2］章建躍，宋莉莉，等. 美國高中數學核心概念圖［J］. 課程·教材·教法，2013，33（11）：115-121.

［3］陳雪梅. 素養本位中學數學單元教學設計研究［M］. 上海：華東師范大學版社，2021.

［4］胡軍. 高階思維與初中數學課堂［M］. 上海：華東師范大學出版社，2021.