數形結合思想在小學數學教學中的應用

雷嘉穎 韋宏

【摘要】本文以數形結合思想在小學數學教學中的應用為例，闡述數學思想于小學數學學習之化繁為簡、促進思維發展的意義，并圍繞小學數學學習中數與形兩個研究領域，探索數形結合思想在小學數學教學中的以形助數和以數解形兩大應用策略。

【關鍵詞】小學數學 數形結合思想 以形助數 以數解形

【中圖分類號】G62 【文獻標識碼】A

【文章編號】0450-9889（2023）16-0094-04

《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱《2022年版數學課標》）將“獲得適應未來生活和進一步發展所必需的數學基礎知識、基本技能、基本思想和基本活動經驗”列為義務教育數學課程的三個總目標之一，以此確立了數學課程中“基本思想”的重要地位。王永春認為，數學思想是對數學知識的本質認識，包含三個較高層次的基本思想即抽象思想、推理思想、模型思想，其他的許多較低層次的數學思想都是由這三個基本思想發展而來，如符號化思想、化歸思想、數形結合思想等。數學思想與數學方法緊密相關：數學思想的獲得需要依托一定的數學方法，數學方法的選擇以一定的數學思想為依據。數學方法通常是指用數學解決問題時的方式和手段，有具體、易操作的特點；數學思想則是對數學方法的進一步概括，具有更高的抽象性。數學思想是數學的精髓，想要學好數學、用好數學，必須掌握數學思想方法。如何將數學思想方法在小學數學教學中進行滲透，是廣大教師需要下功夫研究的課題。

數學是研究數量關系和空間形式的科學，數與形是其重要的研究對象。數形結合思想是通過數與形之間的對應關系和相互轉化來解決問題的一種較低層次的數學思想。數學家華羅庚提出：“數缺形時少直覺，形少數時難入微。”這句話深刻揭示了數與形之間的辯證關系以及利用數形結合思想進行數學推理進而解決數學問題的重要思想方法。學生對數形結合思想的學習與應用，需要在教師長期的指導下，經歷由感悟、習得、嘗試使用到自覺運用的漫長過程，這是一個需要長期積累、反復訓練的過程。小學數學教材中的很多學習內容都滲透了數形結合思想。教師在教學中應認真研讀教材并理解其內涵，適時對學生進行數形結合思想的啟發和訓練。

一、在數的研究中靈活運用以形助數的策略

以形助數，顧名思義就是利用形的直觀性幫助學生理解抽象的數的問題，如數與運算、數量關系等。將抽象的數的知識直觀化，有利于學生準確理解數的概念，把握數量關系，從而順利解決抽象的數學問題。王永春認為，在形狀、大小上有量化特征的數軸、線段圖、圖像等才能稱得上是幫助學生理解數和數量關系等的以形助數。顯然，這里的形，指的是幾何圖形和函數圖像等數學意義上的形。

根據皮亞杰的兒童認知發展階段理論，小學生正處于具體運算階段。處于該階段的學生因抽象思維能力較弱，在解決問題時仍然習慣于運用直觀的形象思維，需要借助具體物體或形象展開數學思考。數學是一門抽象性和邏輯性較強的學科，當抽象思維能力較弱的小學生遇到繁雜而抽象的數學問題時，其思維難度會在無形中被放大，從而讓學生無所適從。如果學生掌握了數形結合思想，就可以借助圖形或圖像等對原本需要用抽象思維解決的數學問題進行具象地分析和理解，將隱晦變得直觀、將繁雜變得簡易，從而使問題得到正確地解決，體現出數學思維的靈活性、變通性以及數學學習的趣味性，進而提高學生學習數學的積極性。

在數的學習中，以形助數主要體現在以下三個方面。

（一）借助圖形認識數的概念

小學生的抽象思維能力較弱，在學習數學的過程中，需要以直觀、形象的圖像作為敲門磚進行數學學習。因此，第一學段的數學教材中便呈現了大量以學生生活為背景的插圖或利用圖形的直觀性幫助學生理解抽象的數的概念的“形”，很好地體現了以形助數的數形結合思想。

數的概念是最基礎的數學知識，也是學生學習數學的第一課。在一年級上冊“1—5的認識”單元中，學生開始學習有關數的知識。在本單元學習前，學生對5以內的數已經有了初步的認識，因而學會數、讀、寫5以內的數并不困難，但是對數的概念并不清晰，對數的來源更不了解。因此，學習數的來源及數的概念是本單元學習的重點，而這些相對抽象的內容對剛進入小學的學生來說存在相當大的認知困難，利用數形結合思想化解學生的認知困難，可以使學生對數的概念建立起更加清晰、更加準確的認識。在本單元教材中，珠子和點子圖是幫助學生進行數的學習的兩種“形”。在學生初步感知5以內的數以后，教師利用多媒體演示如圖1所示的“撥珠子”的動態過程，一邊撥一邊說：1粒珠子可以用數字“1”來表示，而每添加一粒珠子，數字都會增加“1”。如數字“2”是在1粒珠子的基礎上再添加1粒珠子而來的，數字“3”是在2粒珠子的基礎上再添加1粒珠子而來的，依此類推。借助圖形的動態演示說明“1添加1是2，2添加1是3，3添加1是4，4添加1是5”的道理。最后利用點子圖，讓學生準確理解“1里面有1個一、2里面有2個一、3里面有3個一、4里面有4個一、5里面有5個一”的意義，從中滲透1—5這5個數的先后順序1→2→3→4→5。上述利用圖形的直觀性輔助學生認識數的概念，使抽象的數的概念學習直觀化、具象化，便是以形助數的學習過程，這種學習過程可以為學生后續學習比較數的大小以及進行數的加、減法運算打下基礎。

（二）借助圖形理解算理

數的運算是小學數學的重要學習內容，學生只有在理解算理的基礎上才能準確把握算法，達到既知其然又知其所以然的學習效果。課堂教學中，教師運用數形結合思想，讓學生借助圖形理解算理是常用的教學方法，這不僅可以加深學生對算理的理解，而且可以讓學生更好地掌握算法，從而減少計算差錯。

例如，教學六年級上冊分數乘法時，教師出示下面的例題：“李阿姨家有[13]公頃的土地，種花生占了這塊地的[34]，種花生的土地是多少公頃？”很明顯，該題的意思是求[13]的[34]是多少，按照分數乘法的意義，學生能夠列出算式[13]×[34]，但是為什么要這樣列式，大多數學生說不清楚，他們只是在機械地模仿教師的算法，而并不能真正理解分數乘法的算理。鑒于分數乘法的算理是學生的學習難點，教師在教學分數乘法時，可以借助如圖2所示的圖形幫助學生理解算理：先讓學生畫出[13]公頃的土地，相當于將一塊一公頃的土地平均分成3份，占其中的一份；而[13]的[34]指的是在[13]公頃土地的基礎上，將[13]公頃的土地平均分成4份，取其中的3份，便是[13]的[34]。學生以畫圖為手段，親歷了數形結合的過程，從而深刻理解了[13]的[34]的算理，理解了“[13]×[34]=[312]”這個算式的實際意義。今后再碰到此類題目，腦海中便會聯想到有關的圖形，“看見”圖形時便可順利得出有關的算式，從而提高做題的效率和正確率。

（三）借助線段圖把握數量關系

線段圖是理解題意、解決數學問題的有力工具，它能弱化題目中復雜的問題背景，將題目中最核心的數據抽取出來進行直觀地呈現，從而將隱性的數量關系顯性化，幫助學生拓寬解題思路。

例如，學習差倍的數學問題，教師出示下面的例題：“海洋公園的門票是180元，海洋公園的門票比動物園的門票的3倍少30元，動物園的門票是多少錢？”對于這類有關差倍的數學問題，用口頭語言解釋其中所隱含的數量關系，對學生來說很難聽懂。學生遇到這類問題，往往會給出下面兩種錯解：（1）180×3=540（元），540-30=510（元）；（2）180-30=150（元），150÷3=50（元）。為了幫助學生厘清其中的差倍關系，不斷提高學生分析問題的能力，教師便可以用線段圖幫助學生分析題目，巧用數形結合思想快速把握題目中的數量關系。如圖3所示，學生首先需要找到1份的數是哪個，并畫出相應的線段，因為海洋公園的門票比動物園的門票的3倍少30元，于是可以把動物園的門票當作1份的數；然后畫出3份少30元的數即海洋公園的門票。通過畫線段圖，學生很快就厘清了海洋公園的門票與動物園的門票之間的數量關系，從而得出正確的解答：180+30=210（元），210÷3=70（元）。

運用數形結合思想，借助線段圖將題目中復雜的數量關系予以直觀呈現，可以讓學生準確捕捉到題目中隱含的數量關系，從而正確地解決問題，發展抽象思維。

二、在形的研究中靈活運用以數解形的策略

形是小學數學學習的另一條主線，指的是圖形與幾何領域的學習內容。圖形的規律和特點單憑觀察是很難做出準確解答的。因此，在小學數學教學中，教師常常利用數的準確性幫助學生解決圖形的認識、圖形的測量、圖形的位置與運動等問題。這里的數，指的是數、代數式、方程、函數、數量關系式等。小學階段的數學學習涉及以數解形的應用較少，主要體現在以下三個方面。

（一）利用數的精確性描述圖形的特征

在小學數學形的學習中，學生需要認識長方形、正方形、三角形等平面圖形以及長方體、正方體等立體圖形。關于圖形的認識，如果沒有具體的數據，認識就會模糊；只有有了關于形的各種相關數據，學生才能準確捕捉到圖形的基本特征并做出具體的描述，從而產生正確的認識。以“長方體的認識”為例，學生雖然能夠認識到日常生活中常見的紙箱、衣柜、床墊等物體的幾何形狀是長方體的，但如何描述這些長方體的具體特征，必須借助一定的數據。課堂教學中，教師往往需要從學生生活中常見的長方體物體中抽象出長方體的數學模型，并出示“12”“8”“6”3個數字，讓學生經歷觀察和比較各種長方體模具的過程，最終使學生發現每一個長方體都有12條棱、8個頂點、6個面的事實，進而總結出長方體相對面的棱的長度相等，相對面的大小、形狀完全相同等特征。有了上述數據的支持，學生對長方體的特征的認識才會更加清晰、具體。教師將“以數解形”的方法帶入教學過程當中，可以讓學生進一步感悟到研究圖形的特征離不開數的表達這一學習方法，從中進一步感受數形結合思想。

（二）利用數的精確性測算圖形的周長和面積

圖形的周長與面積都是數，從屬于幾何學中最基本的度量概念。周長和面積的教學重點是測量。如在教學長方形的面積計算時，教師先出示一個長方形內鋪滿小正方形面積單位的格子圖，如圖4（1）所示。學生看到格子圖，很容易想到數格子的學習方法：1個小正方形代表1平方厘米，長方形里一共有12個格子，因此長方形的面積是12平方厘米。面積較小的長方形還可以用數格子的方法，如果被測量的長方形的面積很大，這時再用數格子的方法數出長方形的面積就很不方便了。此時，教師可引導學生關注格子數與長方形的長度和寬度之間的關系，如圖4（2）所示，從中可理解長方形面積公式“長方形的面積=長×寬”的意義。比較“用面積單位度量面積”與“度量長度計算面積”兩種求長方形面積的方法，滲透數形結合思想，學生可從中感受到利用測量數據計算面積的精確和便利，進而體會到“以數解形”的妙用。

（三）利用數的精確性描述具體的位置

如果沒有確切的數據，我們很難準確描述物體的具體位置，只能大致指出物體的基本方位。例如，在學習五年級上冊“位置”一課時，用數對描述物體的具體位置，便是以數解形的典型案例。教師先將學生在教室的平面座位圖抽象成為比較形象的簡圖，如圖5所示；再將座位抽象成平面方格圖，將物體所在位置抽象成一個具體的點，如圖6所示。根據本課所學數對知識，平面上的每一個點都可以用唯一的一個數對來表示，從而建立起數對與每一個位置點的一一對應關系，這便是用數對描述物體所在的具體位置。如描述圖6中的點A的位置，便可用（2，3）來表示。這種用數對表示一個具體位置的方法，就是以數解形的方法。數形結合思想的應用，可以讓學生感受到用數對描述位置的方法的簡易性、可操作性，從而為他們將來學習平面直角坐標系奠定基礎。

總之，數形結合思想的核心是數與形的對立統一和完美結合。數形結合就是把抽象的數學語言、數量關系與直觀的幾何圖形、位置關系結合起來，通過“以形助數”或“以數解形”即通過抽象思維與形象思維的結合，使復雜的數學問題簡單化，抽象的數學問題具象化。運用數形結合的思想，可以大大降低學生的學習難度，使學生可以在數與形的相互轉化中更加清晰、更加深刻地認識數學概念，快速理解題意，理清解題思路，從而更好地發展邏輯思維，不斷提高數學思維水平，為后續學習打下堅實的基礎。

參考文獻

［1］中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2022年版）［S］.北京：北京師范大學出版社，2022.

［2］王永春.小學數學與數學思想方法［M］.上海：華東師范大學出版社，2014.

作者簡介：雷嘉穎（1998— ），廣東廣州人，碩士研究生在讀，研究方向為小學數學教學；韋宏（1968— ），廣西上林人，碩士研究生，副教授，碩士生導師，主要研究方向為數學教育。

（責編 白聰敏）