數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)融入線性代數(shù)課堂的教學(xué)實(shí)踐與反思

王炳濤 盧晶梅 高秀芝

摘要 線性代數(shù)在自然科學(xué)、工程技術(shù)和管理科學(xué)等諸多領(lǐng)域有著廣泛應(yīng)用，非數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生學(xué)習(xí)該課程的目的是理解課程的基本概念和思想方法，應(yīng)用其中的理論工具如矩陣、方程組等來(lái)表達(dá)專業(yè)中的實(shí)際問(wèn)題，具體運(yùn)算和求解可借助科學(xué)計(jì)算軟件MATLAB實(shí)現(xiàn)，無(wú)需花費(fèi)大量時(shí)間精力去手動(dòng)“算數(shù)”。文章介紹了將數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)融入線性代數(shù)課堂的實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)和具體做法，給出兩個(gè)運(yùn)用線性代數(shù)理論知識(shí)并借助MATLAB軟件求解的數(shù)學(xué)建模案例，并指出實(shí)踐過(guò)程中存在的一些問(wèn)題，提出一些改革建議。

關(guān)鍵詞 數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)；線性代數(shù)；MATLAB；教學(xué)改革

中圖分類號(hào)：G642文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：ADOI：10.16400/j.cnki.kjdk.2023.7.016

線性代數(shù)是高等院校理工類、經(jīng)管類各專業(yè)開(kāi)設(shè)的一門重要的公共基礎(chǔ)課，在自然科學(xué)、工程技術(shù)和管理科學(xué)等諸多領(lǐng)域有著廣泛應(yīng)用。由于課程具有高度抽象性和計(jì)算繁雜的特點(diǎn)，學(xué)生在理解相關(guān)概念和性質(zhì)時(shí)倍感吃力，在進(jìn)行相應(yīng)計(jì)算時(shí)出錯(cuò)率非常高，從而導(dǎo)致學(xué)習(xí)積極性受到很大影響。并且大多數(shù)線性代數(shù)教材不像高等數(shù)學(xué)那樣有豐富的應(yīng)用實(shí)例，加之課時(shí)較少，教師在“趕工”式講授基本理論和計(jì)算方法后，沒(méi)有時(shí)間展示線性代數(shù)的應(yīng)用價(jià)值和應(yīng)用廣度，以致學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的應(yīng)用性存疑。更重要的是，非數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生學(xué)習(xí)線性代數(shù)的目的應(yīng)該是理解課程的基本概念和思想方法，應(yīng)用其中的理論工具比如矩陣、方程組等來(lái)表達(dá)所學(xué)專業(yè)中的實(shí)際問(wèn)題，而不是花費(fèi)大量時(shí)間精力去筆算行列式、化行最簡(jiǎn)形矩陣，這種“算數(shù)”能力是中小學(xué)階段訓(xùn)練的重點(diǎn)，大學(xué)階段完全可以借助計(jì)算機(jī)軟件去求解，學(xué)生可以利用節(jié)約出來(lái)的時(shí)間去發(fā)現(xiàn)新問(wèn)題、探索新知識(shí)。

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是以問(wèn)題為載體，以計(jì)算機(jī)和數(shù)學(xué)軟件為工具學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)，應(yīng)用數(shù)學(xué)方法解決問(wèn)題的實(shí)踐探索活動(dòng)[1]。大部分高校將數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)作為公共選修課單獨(dú)開(kāi)設(shè)，受眾面窄，并且開(kāi)設(shè)時(shí)間是在學(xué)生學(xué)完各門數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課之后，學(xué)生對(duì)相關(guān)數(shù)學(xué)理論已經(jīng)淡忘，在進(jìn)行數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)時(shí)難免顯得“機(jī)械化”，教學(xué)效果大打折扣，而將數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)融入大學(xué)數(shù)學(xué)課堂能大大提升數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的質(zhì)量，并有利于學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)課程理論知識(shí)的內(nèi)化吸收。MATLAB軟件集數(shù)值計(jì)算、符號(hào)計(jì)算和圖形可視化三大基本功能于一體，是國(guó)際公認(rèn)的比較理想的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)軟件。在2009年，我國(guó)教育部高教司設(shè)立了“用MATLAB和建模實(shí)踐改造工科線性代數(shù)課程”項(xiàng)目，由西安電子科技大學(xué)牽頭，19所大學(xué)參加，重點(diǎn)解決線性代數(shù)與計(jì)算機(jī)相結(jié)合的實(shí)踐問(wèn)題，項(xiàng)目組出版了多套融入MATLAB的線性代數(shù)教材，建立了豐富的應(yīng)用案例庫(kù)，為非數(shù)學(xué)專業(yè)的線性代數(shù)教學(xué)改革提供了寶貴經(jīng)驗(yàn)[2]。該項(xiàng)目參與高校大多為211、985院校，項(xiàng)目成果直接推廣到地方應(yīng)用型本科院校并不合適，并且目前大部分高校線性代數(shù)學(xué)時(shí)減少，一般在40學(xué)時(shí)左右，因此，研究在少學(xué)時(shí)的背景下如何將數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)融入線性代數(shù)課堂成為數(shù)學(xué)教師義不容辭的責(zé)任。

1教學(xué)改革實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)

筆者面向應(yīng)用型本科院校非數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生講授線性代數(shù)課程十多年，近兩年嘗試將MATLAB軟件引入線性代數(shù)課堂，讓學(xué)生從復(fù)雜的計(jì)算中解放出來(lái)，有意識(shí)地培養(yǎng)學(xué)生的軟件計(jì)算能力，同時(shí)在課堂上介紹一些利用線性代數(shù)工具和MATLAB軟件解決實(shí)際問(wèn)題的數(shù)學(xué)建模案例，既能體現(xiàn)課程的應(yīng)用價(jià)值，又可調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和主動(dòng)探索的求知欲。下面介紹將數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)融入線性代數(shù)課堂教學(xué)實(shí)踐的幾點(diǎn)經(jīng)驗(yàn)，希望對(duì)從事非數(shù)學(xué)專業(yè)線性代數(shù)教學(xué)的一線教師有所啟發(fā)。

1.1改革教學(xué)內(nèi)容

教學(xué)重點(diǎn)應(yīng)放在基本概念和基本思想方法的講解上，無(wú)須花大力氣推導(dǎo)各種定理結(jié)論，講授必要的計(jì)算方法時(shí)一定要降低難度，對(duì)于復(fù)雜性高、技巧性強(qiáng)的計(jì)算題盡量少講或者不講。有些內(nèi)容在矩陣建模和后續(xù)課程中應(yīng)用較多，需要重點(diǎn)講解，比如矩陣的概念和基本運(yùn)算，線性方程組的求解，向量組的線性相關(guān)性，特征值和特征向量的概念以及相似對(duì)角化的原理，一般二次型化標(biāo)準(zhǔn)形的基本方法等。而行列式計(jì)算和初等變換化行最簡(jiǎn)形雖然在傳統(tǒng)教學(xué)中是重點(diǎn)內(nèi)容，但是其計(jì)算非常復(fù)雜，教材中給出的例子往往是設(shè)計(jì)好的相對(duì)容易計(jì)算的，在實(shí)際問(wèn)題中并非如此，并且這兩種運(yùn)算對(duì)于非數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生來(lái)說(shuō)筆算意義不大，完全可以借助MATLAB軟件迅速求解，因此在教學(xué)中可以弱化這兩種方法的筆算，加強(qiáng)學(xué)生的軟件求解能力。

1.2運(yùn)用MATLAB輔助教學(xué)

MATLAB軟件高度集成，操作簡(jiǎn)便，在線性代數(shù)課堂講授該軟件操作時(shí)，由于課時(shí)限制只需介紹矩陣基本運(yùn)算和相關(guān)函數(shù)命令操作即可，無(wú)須展示圖形可視化功能和循環(huán)語(yǔ)句編程，下邊簡(jiǎn)要介紹MATLAB中矩陣的基本運(yùn)算和線性代數(shù)常用函數(shù)命令。

1.3在課堂中插入數(shù)學(xué)建模案例，并演示MATLAB求解方法

筆者在將MATLAB引入線性代數(shù)課堂的實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)，剛開(kāi)始運(yùn)用軟件計(jì)算相關(guān)問(wèn)題時(shí)學(xué)生熱情比較高，但隨著課程的深入，學(xué)生對(duì)軟件的興趣度逐漸降低，學(xué)習(xí)積極性也在減弱，因此在課時(shí)允許的條件下有必要插入一些與課程相關(guān)的高階數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，也就是用軟件解決一些難度稍大的數(shù)學(xué)建模問(wèn)題，以此來(lái)調(diào)動(dòng)學(xué)生的興趣，增強(qiáng)學(xué)生對(duì)課程應(yīng)用性的認(rèn)同感。下面給出兩個(gè)用MATLAB軟件求解數(shù)學(xué)建模問(wèn)題的案例，只建立數(shù)學(xué)模型并軟件求解，不講具體原理，僅供讀者參考。

2結(jié)語(yǔ)與反思

筆者的教學(xué)實(shí)踐表明，將數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)融入線性代數(shù)課堂，能夠切實(shí)提高學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用計(jì)算機(jī)解決實(shí)際問(wèn)題的能力，激發(fā)學(xué)生的求知欲和探索精神，并且可以激勵(lì)學(xué)生積極參加大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽，從而提升學(xué)生的綜合應(yīng)用能力和創(chuàng)新能力。同時(shí)，筆者的實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)可以推廣到非數(shù)學(xué)專業(yè)的其他數(shù)學(xué)課程，如高等數(shù)學(xué)、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)等，教師只需學(xué)習(xí)與該數(shù)學(xué)課程相關(guān)的MATLAB操作即可。同時(shí)，筆者在教學(xué)實(shí)踐中也發(fā)現(xiàn)了一些需要解決或者改進(jìn)的問(wèn)題：

①弱化筆算強(qiáng)化機(jī)算的教學(xué)理念與考研大綱不符，針對(duì)有考研意向的同學(xué)如何進(jìn)行“補(bǔ)課”需要學(xué)校有關(guān)部門研究解決方案；

②如果全程都進(jìn)行傳統(tǒng)課堂教學(xué)，學(xué)生無(wú)法練習(xí)軟件操作會(huì)嚴(yán)重影響教改成效，有條件的學(xué)校應(yīng)拿出少量課時(shí)安排在機(jī)房上課，以保證學(xué)生學(xué)習(xí)效果；

③校內(nèi)參與教學(xué)改革的可能只是部分老師，而期末考試的考試大綱和命題通常是統(tǒng)一的，因此如何協(xié)調(diào)教改班級(jí)單獨(dú)命題的問(wèn)題也需解決。

基金項(xiàng)目：2021年山東交通學(xué)院本科教學(xué)改革研究項(xiàng)目“新工科背景下數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)融入大學(xué)數(shù)學(xué)課程教學(xué)的實(shí)踐研究”（2021XJYB40）；2021年山東省教育教學(xué)研究課題“應(yīng)用型本科高校大學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用創(chuàng)新能力培養(yǎng)路徑與實(shí)踐研究”（2021JXY010）。

參考文獻(xiàn)

[1]趙禮峰.數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課程對(duì)大學(xué)生素質(zhì)培養(yǎng)的重要作用[J].中國(guó)大學(xué)教學(xué)，2011（12）：42-44.

[2]陳懷琛，高淑萍.論非數(shù)學(xué)專業(yè)線性代數(shù)的內(nèi)容改革[J].高等數(shù)學(xué)研究，2015（3）：8-11.

[3]劉保東，宿潔，陳建良.數(shù)學(xué)建模基礎(chǔ)教程[M].北京：高等教育出版社，2015.