7小學數學教學中重構數學史的實踐

許旭紅

［摘 ?要］ 在小學數學教學中融入數學史已經成為一線教師的共識。以數學史重構的方式進行數學教學，要認識數學史之于數學知識的生成脈絡、厚實背景以及形成過程等意義。在數學教學中，教師要發掘相關資源，引導學生活動，反思學習過程，從而讓數學史嵌入、融入、載入數學教學中。教師要善于捕捉數學知識中的歷史基因，讓其在重構數學知識歷史中發揮較大作用。

［關鍵詞］ 小學數學；數學教學；數學史；重構式

數學史與數學教育之間的關系早在19世紀就已經受到歐美數學家的關注。在小學數學教學中融入數學史已經成為一線教師的共識。但數學史如何走入數學課堂，數學史以怎樣的姿態走入數學課堂，是一個值得研究的問題。本文提出，數學史融入數學教學的方式有3種：其一是鏈接式，即在數學教學中簡單地加入一些數學史實，對數學史中的數學知識進行簡單的介紹；其二是再現式，即將人類發現數學知識的歷程呈現出來；其三是重構式，即引導學生重蹈人類探索數學知識的關鍵步子，將學生的火熱思考融入其中。相比較而言，重構數學歷史比鏈接數學歷史、再現數學歷史要深刻得多，也困難得多。在小學數學教學中，教師要深入研究重構數學史的策略、路徑、方式和方法，以充分發揮數學知識中的數學史功能。

一、重構數學史的意義和價值

著名的數學家克萊因曾經這樣說：“數學史是教學的指南。”在小學數學教學中重構數學史，將數學史融入數學課堂，就是要以數學史作為指導，讓學生循著數學知識的歷史發生順序，循著人類生命實踐活動的步子，去了解、把握數學知識。正如著名數學教育家波利亞所說：“只有理解人類如何獲得某些事實或概念的知識，我們才能對人類的孩子應該如何獲得這樣的知識做出更好的判斷。”

1. 厘清數學知識生成脈絡

在小學數學教學中，重構數學知識中的數學史，有助于學生厘清數學知識的生成脈絡。重構數學知識，不僅僅關注數學知識的內涵、關聯，更要引導學生關注數學知識的歷史性。為此，教師要以“歷史發生原理”作為指導，引導學生經歷數學知識的“再創造”，將數學知識生產、建構、創造、開發出來。在這個過程中，學生能把握數學知識的源流，在心里搭建數學新知、未知與已知、舊知的橋梁。重構數學史，可以彰顯數學學科的育人功能，豐富、拓展數學學科的育人價值。比如教學“認識負數”，教師不僅僅要引導學生簡單地認識“負數的意義”，即“正數和負數是具有相反意義的量”，更要揣摩、讀懂學生認識負數的心理，抓住“0”的意義，體會“負數”與“0”的關聯，從而讓學生逐步超越自己的已有認知，即“0”不僅表示沒有，而且表示標準、界限等。抓住了0和負數之間的關系，就能讓負數的意義和學生認知結構中已有的數系結合起來，從而讓學生在心理上逐步接納負數。

2. 豐富數學知識厚重背景

數學知識是理性化、形式化、符號化的，但卻蘊含著人類的實踐智慧［１］。立足于數學史實施數學教學，不僅僅是讓教學凸顯知識的歷史核心價值，更為重要的是要融入人類探索數學知識的關鍵步伐，讓學生重蹈人類探索知識的關鍵步子，從而能實實在在地感受、體驗數學知識，把握數學知識的真諦。知識的歷史誕生過程往往給人以智慧的啟迪，同樣能給教學以智慧的啟迪、文化的濡染。立足于數學史，彰顯數學學科的價值核心，能讓學生對數學學科本質、學科觀、學習觀以及人文情感等形成深刻的理解。比如“用字母表示數”這部分內容，是學生代數學習的雛形、萌芽。許多教師對于這部分內容的處理往往簡單化，部分教師甚至認為“用字母表示數”就是“用字母代替數”，或者用“未知數代替已知數”，等等。而重構數學史，讓學生經歷用字母表示數的“文辭代數階段”“縮小代數階段”“符號代數階段”等（參見《“用字母表示數”的歷史演進及其數學價值》《小學教學（數學）》），就能讓學生深刻認識“用字母表示數”的意義，即字母不僅可以表示未知數，而且可以表示已知數；不僅可以表示特定意義的數，而且可以表示變化的數；不僅可以在文辭、縮寫上運用字母，而且可以在符號關系水平上運用字母，等等。

3. 敞亮數學知識形成過程

教材中的數學知識是一種“壓縮形態”的知識。在小學數學教學中，教師要引導學生通過重構數學史，對數學知識進行“解壓縮”，恢復數學知識誕生時鮮活的過程形態，進而敞亮數學知識的形成過程。荷蘭著名數學教育家弗賴登塔爾曾經這樣說，“孩子應該重復人類的學習過程，但不是簡單地、完全地再現歷史，展現知識的實際發生過程，這種‘再創造’不同于知識的原始創造，而是進行一種假定人類當初知道我們現在所知道的東西，進而引導學生進行再創造的學習過程”（《參見《作為教育任務的數學》）。比如教學“認識厘米”，教師就不能簡單地說教，讓學生機械識記“1厘米有多長”，機械、枯燥地進行厘米測量訓練，而應當重構數學史，從學生的認知現實出發。筆者在教學中引導學生經歷了這樣的一些過程：首先，用不同方式測量物體長度，讓學生體會到用不同的度量單位去進行測量的混亂，進而產生建立統一度量單位的必要性；其次，引導學生建立“1厘米”的表象，引導學生用“1厘米”去測量，進而感受到用一個個測量單位去測量對象的瑣碎、復雜等，產生將諸多個單位長度連綴在一起進行有序測量的想法，由此構建“厘米尺”的雛形；最后，引導學生估測物體的長度，并用厘米尺進行精準測量，并將估測結果與厘米尺測量結果相比較。這個過程中的許多步驟，都對應著數學史中的相關內容，如“布指知寸、布手知尺”“米原器”等。在數學教學中，敞亮數學知識的形成過程，并不是機械地重復人類的學習過程，而是教師指導下高效的“再創造”。這樣的引導有助于學生不再機械、盲目地走歷史老路。

重構式歷史教學要關注數學知識的發生、發展過程。荷蘭著名數學教育家弗賴登塔爾倡導的一個觀點就是，“不完全遵循發明者的歷史足跡，而應當是經過改良、同時更好地引導的歷史過程”，是一種“快速地經歷人類探索知識的關鍵歷程”的過程。在歷史重構式教學中，教師不必過度關注知識的細枝末節，而應當著眼于突出于數學知識發生、發展過程中的關鍵步驟、步子等。

二、重構數學史的路徑和策略

在小學數學教學中重構數學史，要以歷史發生原理為主要依據，要以理性重構作為關鍵。重構數學史包括3個方面的內容：其一是數學知識的產生和形成過程；其二是數學思想方法的感悟；其三是數學精神的滲透、融入、啟迪等。重構數學史，既要讓學生體驗數學知識的歷史性，又要讓學生體會數學知識的科學性，還要滲透數學的教育性。換言之，在小學數學教學中重構數學史，不僅僅是“為了數學而歷史”，更是“為了教育而歷史”的過程。

1. 發掘相關資源，讓數學史嵌入數學教學

重構數學史，需要教師發掘相關資源，從中吸取相關的因子，從而讓數學史嵌入數學知識發生、發展過程之中。這些素材包括知識性素材、方法性素材以及情感性素材，等等。比如教學“圓的認識”這部分內容，教師可以融入的素材極其豐富。從知識性資源素材上來看，主要有古代的關于圓的知識的相關表述，如“圓，一中同長也”“不以規矩不能成方圓”等；從方法性資源素材上來看，主要有“圓出于方，方出于矩”等；從情感性資源、素材上來看，主要有“自然界中的圓”“生活中的圓”“有寓意的圓”等。從數學史中發掘出相關的資源、素材之后，教師要有意識地對這些資源、素材進行組織，從而將素材、資源等寓于其中。比如筆者用多媒體展示由正三角形演變成正方形進而逐步演變成正五邊形、六邊形等之時，讓學生感受、體驗“圓出于方，方出于矩”等的概念。比如為了讓學生感受、體驗“一中同長”，筆者力圖讓學生認識到“圓是到定點距離等于定長的點的集合”；為了讓學生感受、體驗“不以規矩不能成方圓”，筆者引導學生創造畫圓工具，感知圓規的形成過程。通過發掘相關的資源、素材等，重構數學史，可以引導學生掌握數學知識，形成數學技能，感悟數學思想方法，積累數學基本活動經驗。

2. 引導學生活動，讓數學史融入數學教學

活動是重構數學史教學的重要載體［２］。教師引導學生進行數學化活動，不僅能讓學生從對數學的生活化、經驗化認知上升到數學化、形式化的認知，更有助于讓學生感受、體驗數學史。需要特別注意的是，引導學生進行數學活動，要結合學生的年齡特征、認知特點進行研發、設計，以便讓活動更具有針對性、實效性。以教學“平均數”這一部分內容為例，傳統的數學教學總是非常強調平均數的計算方法、計算技能訓練，諸如“總數量除以總份數等于平均數”，將重點放置在用平均數解決問題上面。立足于數學史的視角，平均數這一部分內容應當更加注重其意義教學?？v觀平均數的發展史，筆者發現了這樣的幾個關鍵性的知識生發、豐富階段，即“利用平均數估計大數”“重復測量取平均數減少誤差”“平均數的補償”“公平分擔”等。一直到十九世紀中葉，著名經濟學家奎奈特提出了“平均數”的概念。對于“平均數”這一概念的歷史經緯的梳理，教師在教學中應當把握以下幾個方面，去引導學生建構、創造數學知識：一是平均數僅僅是統計數據的一種；二是平均數能反映一組數據的整體水平；三是平均數一定在極端數據中間；四是平均數是一個虛擬性的數據，不一定在一組數據中間；五是平均數會受到一組數據中的每一個數據的波動影響。立足于數學史的視角，教師在教學中應當重點引導學生思考、研究以下幾個方面的問題：其一是平均數的內涵主要是指什么？其二是感悟平均數所蘊含的數據分析觀念。教學中，教師要注重引導學生的統計活動，尤其是讓學生對統計的數據進行整體性分析，從而讓學生認識到平均數表示一組數據的一般性、整體性的水平。為此，教師可以在數據中增加一些極端數據，可以改變其中的某一個數據，可以精心設計一組數據以便讓平均數不是一組數據中的任意一個數，從而讓學生感受、體驗到平均數的整體性特質、虛擬性特質、波動性特質等。從歷史的視角關照平均數，設計、研發統計活動，就能彰顯出平均數的統計意義。

3. 反思學習過程，讓數學史載入數學教學

立足于數學史的視角，教師還要引導學生能夠跳出“內史”，從數學文化的背景、社會背景等視角來觀照學生的數學學習。教師不僅要引導學生進行數學知識的方法論重建，更要引導學生進行數學知識的文化論重建。只有這樣，才能生成學習智慧。教學中，教師應當引導學生“以史為鑒”，對相關數學知識的學習過程進行反思、反芻、反省等。只有引導學生反思、反芻，才能讓學生在課堂上對相關的數學知識進行深度建構、創新建構。

比如教學“認識平行”，筆者追溯歷史，結合學生的認知基礎以及知識的邏輯順序，重構了平行的教學路徑。對于平行的概念，我們可以發現數學史上的3種理解方式：其一是直觀性感知，即同一平面內永不相交的兩條直線；其二是距離性定義，墨子說過，“平，同高也”；其三是角度性定義，即依據同位角、內錯角、同旁內角等證明兩直線平行。在數學教學中，筆者引導學生從這3個視角對平行進行審視、反思，通過直觀感知、動態想象、理性反思，幫助學生建立平行的概念，引導學生探索平行線的畫法，反思平行線的畫法等，從而讓學生創造符號，表示平行關系等。教學中，筆者引導學生反思過程，讓學生體會平行之用。在反思的過程中，學生能體會到距離性的平行概念對于畫平行線具有較強的啟示引導作用。而在學生認識平行、畫平行的過程中，充分彰顯出數學史對科學教學方法的價值。

教師要善于捕捉數學知識中的歷史基因，讓其在重構數學知識歷史中發揮較大作用。借助數學史，教師在教學中不僅要引導學生學習相關數學知識、習得相關數學技能，更要促進學生數學文化與數學精神的覺醒，從而在數學學習中增強學生的文化自信、精神自信。

參考文獻：

［１］ 楊玉東. “本原性數學問題驅動課堂教學”的比較研究［Ｄ］. 華東師范大學，２００４.

［２］ 黃毅英. 數學觀研究綜述［Ｊ］. 數學教育學報，２００２（０１）：１－８.