依托幾何直觀 助力數(shù)學(xué)理解

安蕾

［摘 要］對(duì)一道需結(jié)合圖形解析計(jì)算原理的題的答題情況進(jìn)行調(diào)查后發(fā)現(xiàn)，學(xué)生不能合理結(jié)合圖形解釋錯(cuò)誤的原因。對(duì)此，文章從算理的深度建構(gòu)、策略的深度理解、概念的深度表征三個(gè)方面來(lái)談如何借助幾何直觀促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解，使學(xué)生知其然更知其所以然。

［關(guān)鍵詞］幾何直觀；數(shù)學(xué)圖形；數(shù)學(xué)理解

［中圖分類號(hào)］ G623.5［文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼］ A［文章編號(hào)］ 1007-9068（2023）17-0064-03

在一次畢業(yè)考試中有這樣一道題：

小明學(xué)習(xí)了乘法分配律之后，這樣來(lái)計(jì)算“25.2×4.5”：

25.2×4.5

=2.5×4+0.2×0.5

=100+0.1

=100.1

后來(lái)他用豎式驗(yàn)算，發(fā)現(xiàn)這樣計(jì)算的結(jié)果是錯(cuò)的。你能結(jié)合下圖（如圖1）來(lái)說(shuō)明為什么這樣計(jì)算“25.2×4.5”是錯(cuò)的嗎？

筆者抽取了本校參加畢業(yè)考試的學(xué)號(hào)末位是3和5的學(xué)生的答題情況，發(fā)現(xiàn)得分率是57.6%，學(xué)生的錯(cuò)誤主要有三種情況：（1）完全不懂如何結(jié)合圖形來(lái)解釋，也不知道錯(cuò)在哪里；（2）會(huì)用乘法分配律解答，但不懂如何用圖形來(lái)解釋；（3）能結(jié)合圖形來(lái)解釋長(zhǎng)方形的面積，但是不能用數(shù)形結(jié)合的方式解讀算理和算法。

心理學(xué)研究表明，小學(xué)生以直觀形象思維為主，面對(duì)抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)，需要借助直觀的感性材料，讓數(shù)學(xué)問題由抽象轉(zhuǎn)化為形象，讓數(shù)學(xué)道理從感性走向理性。結(jié)合教學(xué)實(shí)踐，筆者從以下三個(gè)方面來(lái)談?wù)勛约旱乃寂c所得。

一、依托幾何直觀，理解算理分析

數(shù)學(xué)算式是數(shù)學(xué)問題的高度概括，是抽象化、符號(hào)化的語(yǔ)言，而算理指的是計(jì)算過程中的道理。簡(jiǎn)而言之，就是讓學(xué)生明白“為什么這樣算，運(yùn)算的意義和邏輯是什么”。幾何直觀是利用圖形描述和分析數(shù)學(xué)問題，讓學(xué)生在直觀圖形的基礎(chǔ)上理解運(yùn)算的可行性和邏輯性。教學(xué)過程中，教師可引導(dǎo)學(xué)生依托直觀的“圖”去思考抽象的“理”，通過自主探索、發(fā)現(xiàn)和再創(chuàng)造，經(jīng)歷體驗(yàn)和感受數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的過程，使學(xué)生最終實(shí)現(xiàn)對(duì)算理的深層建構(gòu)。

【案例】蘇教版教材三年級(jí)上冊(cè)“兩、三位數(shù)除以一位數(shù)”的例題1是首位能整除的兩、三位數(shù)除以一位數(shù)，學(xué)生解題時(shí)往往不明白建構(gòu)“兩層樓”的必要性，只是按照教師的要求依葫蘆畫瓢。筆者在教學(xué)時(shí)將教材中的例2前置，帶領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷“16除以2”“46除以2”“56除以2”三個(gè)階段，引導(dǎo)學(xué)生細(xì)細(xì)品味三個(gè)“除以2”的不同，從而明白“計(jì)算過程需要分兩步，豎式計(jì)算分兩層更加清晰”。

出示題目（如圖2）：將16個(gè)羽毛球平均分給兩個(gè)班，每班分得多少個(gè)？

師：為什么要將一捆拆開？

師：16÷2豎式怎么寫？（出示圖3）商“8”表示什么？二八十六，一共分掉了幾個(gè)？

師：一般先想想商幾，再乘一乘，看看分掉了多少，最后減一減，看看有沒有分完。

出示題目：將46個(gè)羽毛球平均分給兩個(gè)班，每班分得多少個(gè)？

師：46÷2等于多少？同桌合作，用小棒擺一擺，說(shuō)一說(shuō)是怎么算的。

師：有位同學(xué)寫的是“40÷2=20，6÷2=3，20+3=23”。從算式中可以看出他分了幾次？

師：不管是用小棒分，還是用算式算，我們都是先分4個(gè)十，再分6個(gè)一。像這樣分的過程可以用豎式來(lái)表示，46÷2先算十位，4÷2=2，2寫在十位上；再算個(gè)位6÷2=3，3寫在個(gè)位上，等于23。

出示題目：將56個(gè)羽毛球平均分給兩個(gè)班，每班分得多少個(gè)？

師：嘗試用豎式計(jì)算，有困難的同學(xué)可以借助分一分小棒理解。

師（出示圖4）：理一理分的過程和每一步的含義。

師：不知不覺間，我們像造樓房一樣，把豎式寫成了2層。為什么要?jiǎng)?chuàng)造2層的豎式呢？顯然，第一層解決分十位的5個(gè)十時(shí)，還剩1個(gè)十；第二層，把十位余下的1個(gè)十和6個(gè)一合起來(lái)再分，很清楚地表示分了兩次。

師：現(xiàn)在回過來(lái)想想，46除以2，平均分了兩次，用“一層樓”很快就算出了答案。那么，怎樣能一眼看出分了兩次呢？

……

通過幾何直觀引導(dǎo)學(xué)生以圖解數(shù)、以圖思數(shù)，把算式變成圖形，用圖形來(lái)解釋算理，化抽象為形象。對(duì)于“筆算兩三位數(shù)除以一位數(shù)豎式為什么這樣寫？”，學(xué)生在由數(shù)到圖，又由圖回到數(shù)的過程中找到了答案。這樣的表征使學(xué)生對(duì)豎式的每一步算理都了然于心，對(duì)豎式的每一步算法都明明白白。

二、依托幾何直觀，理解問題表征

從數(shù)學(xué)知識(shí)的角度來(lái)看，幾何直觀是借助直觀的圖形將已知信息進(jìn)行分析，并且找到數(shù)學(xué)要素之間的關(guān)聯(lián)性，深化對(duì)數(shù)學(xué)問題的理解，把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡(jiǎn)明、形象，真正把握問題的實(shí)質(zhì)。

【案例】蘇教版教材五年級(jí)下冊(cè)“解決問題的策略（轉(zhuǎn)化）”

對(duì)于經(jīng)典題“計(jì)算[12+14+18+116]”，計(jì)算能力較強(qiáng)的學(xué)生用口算就能算出結(jié)果。因此，哪怕是再添了兩個(gè)加數(shù)，變成“計(jì)算[12+14+18+116+132+164]”，還是有部分學(xué)生能用通分的方法計(jì)算出結(jié)果。于是，筆者在教學(xué)“計(jì)算[12+14+18+116]”時(shí)設(shè)置了比賽情境。

師：比一比，看誰(shuí)算得又對(duì)又簡(jiǎn)單。能不能用轉(zhuǎn)化成圖形的方法說(shuō)明道理？（學(xué)生給出了畫圓形圖、線段圖、正方形圖等方法）

師：還記得我們學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)和小數(shù)時(shí)，借助哪個(gè)圖形最能化繁為簡(jiǎn)，潤(rùn)數(shù)于形？（學(xué)生紛紛想到了正方形）

師：計(jì)算[12+14+18+116]時(shí)，可以畫出一個(gè)示意圖（如圖5），因此[12+14+18+116=1-116=1516]。計(jì)算[12+14+18+116+132+164]時(shí)，可以畫出一個(gè)示意圖（如圖6），因此[12+14+18+116+132+164=1-164=6364]。你還能想到哪些題的計(jì)算結(jié)果呢？

師：192+96+48+24+12，你會(huì)算嗎？請(qǐng)畫圖說(shuō)明。

學(xué)生作品（如圖7-1、7-2、7-3）：

師：結(jié)合例題，想想我們畫的這些圖，你有什么想說(shuō)的？

……

借助幾何直觀將數(shù)學(xué)問題形象化，將數(shù)和形巧妙結(jié)合起來(lái)，化隱為顯，使學(xué)生親歷轉(zhuǎn)化的過程，在對(duì)圖形理解中完成自我知識(shí)框架的重建。看似與圖形沒有任何關(guān)系的數(shù)學(xué)問題，轉(zhuǎn)化成圖形后不僅避開了復(fù)雜的運(yùn)算，還提升了學(xué)生思維的深度。有了這樣的體驗(yàn)，學(xué)生再遇到類似的題目，就能通過圖形理解計(jì)算原理。

三、依托幾何直觀，理解概念本質(zhì)

概念教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)的難點(diǎn)，因?yàn)樾W(xué)生以形象思維為主，所以理解抽象的概念有很大的難度。借助直觀圖形能把抽象的概念形象化，幫助學(xué)生在直觀中理解抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)。

【案例】蘇教版教材六年級(jí)下冊(cè)“認(rèn)識(shí)正比例”在例題中呈現(xiàn)的是靜態(tài)的關(guān)于時(shí)間和路程的表格（如圖8）：

這是以靜態(tài)的表格方式，從數(shù)據(jù)分析的角度來(lái)揭示正比的概念。然而，任何概念的獲得都需要經(jīng)歷充分的感知過程，感知越充分，概念的本質(zhì)越清晰，理解越深刻。

師（出示直觀的注水動(dòng)態(tài)情境，如圖9所示）：你看到了哪些量？什么變了？什么沒變？

師：時(shí)間在變，注水量也在變，但是注水速度不變，都是每秒30毫升。照這樣計(jì)算，6秒呢？7秒呢？……100秒呢？（利用圖形表征變量，展現(xiàn)兩個(gè)量之間的相互依存關(guān)系，正比例的意義不再局限于“數(shù)”式的計(jì)算，更從“形”意上得到了詮釋）

師（出示圖10）：總價(jià)和數(shù)量是兩種相關(guān)聯(lián)的量，隨著數(shù)量的增長(zhǎng)（減少），總價(jià)也在增長(zhǎng)（減少），即它們是同增同減的。

師：照這樣計(jì)算，如果購(gòu)買的是0.7千克，對(duì)應(yīng)的總價(jià)是多少？購(gòu)買5.5千克，對(duì)應(yīng)的總價(jià)是多少？……

（當(dāng)圖10中的數(shù)量取值越變?cè)蕉啵們r(jià)所對(duì)應(yīng)的柱形像小樹林一樣有序生長(zhǎng)，越來(lái)越密集，學(xué)生從直觀圖中感悟到“正比例的特征除了對(duì)應(yīng)性還存在連續(xù)性”）

師（出示圖11）：隨著時(shí)間、路程對(duì)應(yīng)的變化，表示速度的點(diǎn)（條狀的上端點(diǎn)）越來(lái)越密集，直到最后變成一條直線……

在圖形展示的環(huán)節(jié)中，通過形象的“圖說(shuō)”到抽象的正比例概念的深度表征，幾何直觀讓無(wú)形的概念本質(zhì)顯形，既加深了學(xué)生對(duì)正比例概念的理解，又回歸到知識(shí)發(fā)生的源頭，溝通了知識(shí)元素之間的聯(lián)系。

曹培英在 《跨越斷層走出誤區(qū)——“數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)”核心詞的解讀與實(shí)踐研究》一書中提到：“一方面，直觀是數(shù)學(xué)抽象的基礎(chǔ)與數(shù)學(xué)認(rèn)知的有力支撐；另一方面，直觀又是數(shù)學(xué)理解，乃至數(shù)學(xué)抽象的重要內(nèi)涵與數(shù)學(xué)本質(zhì)認(rèn)識(shí)的深化。 ”在教學(xué)中，教師要善于結(jié)合教材資源，基于學(xué)生的認(rèn)知水平，幫助學(xué)生自覺運(yùn)用幾何直觀探究數(shù)學(xué)問題，將抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)轉(zhuǎn)化為圖形、符號(hào)，化抽象為具象，從無(wú)形到有形，提高學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)、邏輯的理解能力，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

（責(zé)編 金 鈴）