依托幾何直觀 助力數學理解

安蕾

［摘 要］對一道需結合圖形解析計算原理的題的答題情況進行調查后發現，學生不能合理結合圖形解釋錯誤的原因。對此，文章從算理的深度建構、策略的深度理解、概念的深度表征三個方面來談如何借助幾何直觀促進學生對數學知識的理解，使學生知其然更知其所以然。

［關鍵詞］幾何直觀；數學圖形；數學理解

［中圖分類號］ G623.5［文獻標識碼］ A［文章編號］ 1007-9068（2023）17-0064-03

在一次畢業考試中有這樣一道題：

小明學習了乘法分配律之后，這樣來計算“25.2×4.5”：

25.2×4.5

=2.5×4+0.2×0.5

=100+0.1

=100.1

后來他用豎式驗算，發現這樣計算的結果是錯的。你能結合下圖（如圖1）來說明為什么這樣計算“25.2×4.5”是錯的嗎？

筆者抽取了本校參加畢業考試的學號末位是3和5的學生的答題情況，發現得分率是57.6%，學生的錯誤主要有三種情況：（1）完全不懂如何結合圖形來解釋，也不知道錯在哪里；（2）會用乘法分配律解答，但不懂如何用圖形來解釋；（3）能結合圖形來解釋長方形的面積，但是不能用數形結合的方式解讀算理和算法。

心理學研究表明，小學生以直觀形象思維為主，面對抽象的數學知識，需要借助直觀的感性材料，讓數學問題由抽象轉化為形象，讓數學道理從感性走向理性。結合教學實踐，筆者從以下三個方面來談談自己的所思與所得。

一、依托幾何直觀，理解算理分析

數學算式是數學問題的高度概括，是抽象化、符號化的語言，而算理指的是計算過程中的道理。簡而言之，就是讓學生明白“為什么這樣算，運算的意義和邏輯是什么”。幾何直觀是利用圖形描述和分析數學問題，讓學生在直觀圖形的基礎上理解運算的可行性和邏輯性。教學過程中，教師可引導學生依托直觀的“圖”去思考抽象的“理”，通過自主探索、發現和再創造，經歷體驗和感受數學發現的過程，使學生最終實現對算理的深層建構。

【案例】蘇教版教材三年級上冊“兩、三位數除以一位數”的例題1是首位能整除的兩、三位數除以一位數，學生解題時往往不明白建構“兩層樓”的必要性，只是按照教師的要求依葫蘆畫瓢。筆者在教學時將教材中的例2前置，帶領學生經歷“16除以2”“46除以2”“56除以2”三個階段，引導學生細細品味三個“除以2”的不同，從而明白“計算過程需要分兩步，豎式計算分兩層更加清晰”。

出示題目（如圖2）：將16個羽毛球平均分給兩個班，每班分得多少個？

師：為什么要將一捆拆開？

師：16÷2豎式怎么寫？（出示圖3）商“8”表示什么？二八十六，一共分掉了幾個？

師：一般先想想商幾，再乘一乘，看看分掉了多少，最后減一減，看看有沒有分完。

出示題目：將46個羽毛球平均分給兩個班，每班分得多少個？

師：46÷2等于多少？同桌合作，用小棒擺一擺，說一說是怎么算的。

師：有位同學寫的是“40÷2=20，6÷2=3，20+3=23”。從算式中可以看出他分了幾次？

師：不管是用小棒分，還是用算式算，我們都是先分4個十，再分6個一。像這樣分的過程可以用豎式來表示，46÷2先算十位，4÷2=2，2寫在十位上；再算個位6÷2=3，3寫在個位上，等于23。

出示題目：將56個羽毛球平均分給兩個班，每班分得多少個？

師：嘗試用豎式計算，有困難的同學可以借助分一分小棒理解。

師（出示圖4）：理一理分的過程和每一步的含義。

師：不知不覺間，我們像造樓房一樣，把豎式寫成了2層。為什么要創造2層的豎式呢？顯然，第一層解決分十位的5個十時，還剩1個十；第二層，把十位余下的1個十和6個一合起來再分，很清楚地表示分了兩次。

師：現在回過來想想，46除以2，平均分了兩次，用“一層樓”很快就算出了答案。那么，怎樣能一眼看出分了兩次呢？

……

通過幾何直觀引導學生以圖解數、以圖思數，把算式變成圖形，用圖形來解釋算理，化抽象為形象。對于“筆算兩三位數除以一位數豎式為什么這樣寫？”，學生在由數到圖，又由圖回到數的過程中找到了答案。這樣的表征使學生對豎式的每一步算理都了然于心，對豎式的每一步算法都明明白白。

二、依托幾何直觀，理解問題表征

從數學知識的角度來看，幾何直觀是借助直觀的圖形將已知信息進行分析，并且找到數學要素之間的關聯性，深化對數學問題的理解，把復雜的數學問題變得簡明、形象，真正把握問題的實質。

【案例】蘇教版教材五年級下冊“解決問題的策略（轉化）”

對于經典題“計算[12+14+18+116]”，計算能力較強的學生用口算就能算出結果。因此，哪怕是再添了兩個加數，變成“計算[12+14+18+116+132+164]”，還是有部分學生能用通分的方法計算出結果。于是，筆者在教學“計算[12+14+18+116]”時設置了比賽情境。

師：比一比，看誰算得又對又簡單。能不能用轉化成圖形的方法說明道理？（學生給出了畫圓形圖、線段圖、正方形圖等方法）

師：還記得我們學習分數和小數時，借助哪個圖形最能化繁為簡，潤數于形？（學生紛紛想到了正方形）

師：計算[12+14+18+116]時，可以畫出一個示意圖（如圖5），因此[12+14+18+116=1-116=1516]。計算[12+14+18+116+132+164]時，可以畫出一個示意圖（如圖6），因此[12+14+18+116+132+164=1-164=6364]。你還能想到哪些題的計算結果呢？

師：192+96+48+24+12，你會算嗎？請畫圖說明。

學生作品（如圖7-1、7-2、7-3）：

師：結合例題，想想我們畫的這些圖，你有什么想說的？

……

借助幾何直觀將數學問題形象化，將數和形巧妙結合起來，化隱為顯，使學生親歷轉化的過程，在對圖形理解中完成自我知識框架的重建。看似與圖形沒有任何關系的數學問題，轉化成圖形后不僅避開了復雜的運算，還提升了學生思維的深度。有了這樣的體驗，學生再遇到類似的題目，就能通過圖形理解計算原理。

三、依托幾何直觀，理解概念本質

概念教學是數學教學的難點，因為小學生以形象思維為主，所以理解抽象的概念有很大的難度。借助直觀圖形能把抽象的概念形象化，幫助學生在直觀中理解抽象的數學知識。

【案例】蘇教版教材六年級下冊“認識正比例”在例題中呈現的是靜態的關于時間和路程的表格（如圖8）：

這是以靜態的表格方式，從數據分析的角度來揭示正比的概念。然而，任何概念的獲得都需要經歷充分的感知過程，感知越充分，概念的本質越清晰，理解越深刻。

師（出示直觀的注水動態情境，如圖9所示）：你看到了哪些量？什么變了？什么沒變？

師：時間在變，注水量也在變，但是注水速度不變，都是每秒30毫升。照這樣計算，6秒呢？7秒呢？……100秒呢？（利用圖形表征變量，展現兩個量之間的相互依存關系，正比例的意義不再局限于“數”式的計算，更從“形”意上得到了詮釋）

師（出示圖10）：總價和數量是兩種相關聯的量，隨著數量的增長（減少），總價也在增長（減少），即它們是同增同減的。

師：照這樣計算，如果購買的是0.7千克，對應的總價是多少？購買5.5千克，對應的總價是多少？……

（當圖10中的數量取值越變越多，總價所對應的柱形像小樹林一樣有序生長，越來越密集，學生從直觀圖中感悟到“正比例的特征除了對應性還存在連續性”）

師（出示圖11）：隨著時間、路程對應的變化，表示速度的點（條狀的上端點）越來越密集，直到最后變成一條直線……

在圖形展示的環節中，通過形象的“圖說”到抽象的正比例概念的深度表征，幾何直觀讓無形的概念本質顯形，既加深了學生對正比例概念的理解，又回歸到知識發生的源頭，溝通了知識元素之間的聯系。

曹培英在 《跨越斷層走出誤區——“數學課程標準”核心詞的解讀與實踐研究》一書中提到：“一方面，直觀是數學抽象的基礎與數學認知的有力支撐；另一方面，直觀又是數學理解，乃至數學抽象的重要內涵與數學本質認識的深化。 ”在教學中，教師要善于結合教材資源，基于學生的認知水平，幫助學生自覺運用幾何直觀探究數學問題，將抽象的數學知識轉化為圖形、符號，化抽象為具象，從無形到有形，提高學生對數學知識、邏輯的理解能力，提升學生的數學素養。

（責編 金 鈴）