例談高中數學教材變式設計的方法

楊潔 郭繁華

【摘 要】 ?變式設計有兩種策略，一種是概念性變式，另一種是過程性變式.本文提煉關于概念性變式的方法，即創設合適的教學情境和提出恰當的數學問題.同時也提煉過程性變式的7種方法，并通過案例來闡明.

【關鍵詞】 ?高中數學；變式;課堂教學

1 什么是教材變式

本文中的“教材變式”是指對人教 A 版普通高中數學教科書中的基本概念、典型例題、習題、練習等進行變式，通過變式揭示知識的本質及知識之間的內在聯系，展示知識的發生發展過程，促進知識的遷移 [1] ，通過變式引導學生親身經歷數學對象的獲得過程，經歷數學對象的研究過程，經歷數學對象的應用過程，從而促進學生的數學體驗，發展學生的數學核心素養.

2 教材變式設計的方法

顧泠沅與鮑建生等總結了數學變式教學的基本內涵，提出變式教學實施的兩種策略：概念性變式和過程性變式教學策略.本文針對這兩種變式教學提煉了一些方法如下.

2.1 關于概念性變式的方法

概念性變式主要針對概念、公式、定理、性質等的發生發展、形成過程、來龍去脈以及知識的內在聯系等創設合適的教學情境，提出恰當的數學問題，讓學生親身經歷知識的發生發展過程，通過內化形成良好的數學體驗，厘清知識的來龍去脈以及知識的內在聯系，總結基本活動經驗.

2.1.1 創設合適的教學情境

（1）創設合適的生活情境.生活情境也叫現實情境，變式設計中創設學生熟悉且與教學內容緊密聯系的生活情境，以激發學生的學習興趣，使教學內容更具直觀性，幫助學生完成抽象過程，并更好地理解教學內容.

（2）創設合適的數學情境.根據教學內容創設合適的數學問題情境，激發學生的思維活動，引導學生思考，使學生經歷數學思維活動全過程.

（3）創設合適的科學情境.聯系數學教學內容和科學相關問題，創設合適的科學情境，帶領學生走進科學世界，引發學生思考，體驗數學與科學的聯系，體會數學作為基礎學科的重要性.

2.1.2 提出恰當的數學問題

（1）提出恰當的趣味性問題.通過將數學問題情境化，使學生平時接觸的生活問題成為問題背景，通過學生熟悉的情境，提起學生更大的興趣去思考與探究，從而激發學生的好奇心，激發學生學習數學的興趣和意識.

（2）提出恰當的懸念性問題.在教學重點或難點處設置懸念，引導學生探索，能較好地突破難于理解或難于掌握的內容.

（3）提出恰當的開放性問題.開放性問題的設置有助于引導學生積極思考，通過從多個維度、多個角度提出對問題的思考，有助于培養學生獨立思考和解決問題的能力.

案例 ??在“利用遞推公式求通項”新課教學中，可以設計如下.

問題 ??已知數列 an 的首項a1=2，且an+1 －an=2（n∈ N ??*），求數列 an 的通項公式.

變式 ??已知數列 an 的首項a1=2，且an+1 －an= （n∈ N ??* ），求滿足上述要求的數列 an 的通項公式.

請同學們自由想象，橫線上我們可以填有關n的參數式嗎？將你的想法寫在橫線上并把解題過程寫出來.這種發散型的問題，可以從多個角度補充條件，帶出新問題（累加法），引導學生積極探索解決出路，有很強的導向性、啟發性，可以讓學生在復習舊知中尋找規律得出新知解法，即在等差數列的求和公式、等比數列的求和公式的復習中，進一步加強知識體系的理解與構建.

（4）提出恰當的陷阱性問題.

案例 ??在“利用遞推公式求通項”新課教學中，為了進一步梳理學生的易錯點，特別在利用an與Sn的關系求an的表達式時要注意n的取值問題，針對此類問題特意利用變式資源思維，更換條件、設置陷阱、突出問題、鑄牢易錯點.

變式 ??已知數列 an 的前n項和為Sn，若a1=3，且Sn+1 －2Sn=2，求數列 an 的通項公式.教學時，根據學生當堂練習的反饋，有意識地展示下面的錯誤情況.

解 ??因為Sn+1 －2Sn=2，

故Sn－2Sn－1 =2，

故an+1 －2an=0，

即an+1 =2an，

所以 an 為等比數列，且首項為3，公比為2，

從而an=3·2 n－1 （n∈ N ??* ）.

以上過程看上去好像沒有任何問題，嚴格按基本方法來操作，思路清晰，但仔細審查你會發現在n的范圍的處理上，得到an+1 =2an沒有標注n的取值范圍，應該得：an+1 =2an（n≥2）.只能說從第2項開始是等比數列，要說從第1項開始是等比數列還得驗證，因此得加上：而S2－2S1=2，故a1+a2－2a1=2，故a2=5，則 a2 a1 ≠2，所以 an 從第2項開始是等比數列，且a1=3，a2=5，公比為2，從而an= ?3（n=1），5·2 n－2 （n≥2）. ?教師通過設疑，引起學生的思考與討論，在討論中自覺地辨析正誤，有利于學生自主獲取知識，取得學習的主動權，從而提高學生的發散思維能力.

2.2 關于過程性變式的方法

過程性變式主要是對教材中的例題、練習或習題進行變式，讓學生親身經歷變式的過程或解決變式問題（解題活動）的過程，以及經歷反思解題活動的過程，通過自身內化形成良好的數學體驗.從而加強對知識本質的理解，拓展學生思維的廣度，促進學生思維的深度，提高學生思維的靈活性，以達到對教學內容的鞏固、檢測、提升、拓展或遷移的目的.

2.2.1 交換題目的條件和結論

案例 ??在教學“直線與平面平行”時，處理137頁典例2求證：空間四邊形相鄰兩邊中點的連線平行另外兩邊的平面.作如下變式：

變式1 ??四棱錐A-DBCE中，O為底面正方形DBCE對角線的交點，F為AE的中點.求證：AB∥平 面DCF.

變式2 ??已知空間四邊形ABCD中，平面BCD與平面ABD相交于直線BD，E、F分別是AB、AD上的點，且EF∥平面BCD.求證：EF∥BD．

設計意圖 ??由變式1探求常規處理方法.而通過對典例條件與結論的交換引入變式2，引導學生思考、加深印象（強化差異）、探求變化，從而為新知做準備.

2.2.2 改變條件，問題不變

案例 ??在教學“等比數列的前n項和公式”習題課時，處理40頁練習題中第4題，作如下變式.

變式1 ??已知數列 an 的前n項和為Sn，若2an－1 =an（n≥2），a1=－1，求Sn.

變式2 ??已知數列 an 的前n項和為Sn，若2Sn－1 =Sn+1（n≥2），a1=－1，求Sn.

設計意圖 ??變式1到變式2的設置難度逐步加強，層層推進，通過提供不同的遞推關系得到不同的變式，繼而梳理出一般的方法.

2.2.3 條件不變，改變問題

案例 ??在教學“同角三角函數的基本關系”時，處理例題環節中，設置如下變式.

問題 ??已知 tan α=2，求 ?tan α+1 ?tan α-1 .

變式1 ??已知 tan α=2，求 ?sin α-4 cos α 5 sin α+2 cos α .

變式2 ??已知 tan α=2，求5 sin ??2α+2 sin α cos α.

設置意圖 ??變式1到變式2讓學生經歷了由易到難，由特殊到一般的解題過程，并通過對比不同的解題方法，歸納總結出最簡解法，形成解題經驗.

2.2.4 改變條件，改變問題，本質不變

案例 ??在教學“基本不等式”時，對基本不等式求最大、最小值，選擇教材例題2進行如下變式.

變式1 ??當x取什么值時，x 2+ 1 x 2 取得最小值？最小值是多少？

變式2 ??已知x>－1 ，

求函數f（x）= x 2－3x+1 x+1 的值域.

設計意圖 ??變換角度對問題進行求解，揭示問題本質，加強運用并鞏固公式.

2.2.5 增加遞進性問題

增加遞進性問題，設置由淺入深的問題，使學生思維經歷由低階向高階發展的過程，為解決本質問題做鋪墊.

案例 ??在教學“點到直線的距離”時，處理例題環節中，設置如下變式.

問題 ??求點P（2，2）到x軸的距離.

變式1 ??求點P（2，2）到直線l1：y=0的距離.

變式2 ???求點P（2，2）到直線l2：y=－1的距離.

變式3 ??求點P（2，2）到直線l3：x=2的距離.

變式4 ??將直線l3：x=2繞點（2，0）逆時針旋轉45 ° 得到l4，求點P（2，2）到l4的距離.

設計意圖 ??變式1到變式4讓學生經歷了從易到難、由淺入深、從特殊到一般的解題過程，體會了坐標法，堅定了解題意志，為解決問題：求點P（x0，y0）到直線Ax+By+C=0（A≠0，B≠0）的距離做鋪墊.

2.2.6 增加開放性問題

案例 ??在教學“點到直線的距離”時，處理課堂練習的環節中，設置如下變式題組.

變式 ??已知直線l2：x+y+4=0，且點A（a，6）在直線l1：x+y+1=0上，求：（1）點A（a，6）到l2的距離；（2）直線l1與直線l2的距離.

設計意圖 ??通過變式由點線距離過渡到線線距離，自然過渡到下節課內容，激發學生的求知欲.

2.2.7 增加遷移性問題

案例 ??在教學“正弦定理”時，處理47頁例8：在△ABC中，已知B=60 ° ，b= 2 ，c=2，解這個三角形，作如下變式.

變式 ??在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，C= ?π ?3 ，c=3，設向量 m =（a，b）， n =（ sin B， sin A）， p =（b－2，a－2） ?.（1）若 m ∥ n ，解三角形；（2）若 m ⊥ p ，求△ABC的面積.

設計意圖 ??通過變式將向量運算、共線的坐標表示遷移到解三角形問題中，使學生感受正弦定理、余弦定理與向量之間的聯系，學會用聯系的眼光看待不同的數學知識，體會數學知識的系統性.

參考文獻：

[1] 郭繁華，楊潔.點到直線的距離[J].數理天地，2022（02）：19-21.

[2]沈張軍.高中數學教材中三角函數的變式素材比較研究[J].中學數學，2021（23）：5-6.

[3]許雪紅.蘇教版高中數學教材數列內容的呈現特征與教學建議[J].中小學班主任，2020（06）：7-10.

[4]陳萍，湯文兵.精彩課堂，在有效變式中綻放[J].數學之友，2017（04）：15-17.

[5]汪濤.高中數學教材習題的開放化訓練與變式研究[J].中外企業家，2016（09）：151.