對新教材中一道習題的深度探究

張良超

【摘 要】 ?面對新教材，教師課前應該深挖課本案例，提高“借題發揮”的眼光，重視教材，那么教師在習題講解時就能適時多面展開，有助于拓展學生的數學視野，實現不同的學生在同一個例題上有不同的獲得感.

【關鍵詞】 ?高中數學；解題；深度探究

1 原題再現

原題出處1 ??新教材北師大版必修第一冊137頁“5.2.1 實際問題的函數刻畫”.如圖1所示，在距A城市45 km 的B地發現金屬礦.現知由A至某方向有一條直線鐵路AX，B到該鐵路的距離為27 km .欲運物資于A，B之間，擬定在鐵路線AX上的某一地點C筑一公路到B.已知公路運費是鐵路運費的2倍，則地點C到A地的距離為多少時，總運費最低？

原題出處2 ??新教材人教 A 版必修第一冊74頁“3.1函數的概念及其表示”.如圖2所示，一座小島距離海岸線上最近的點P的距離是2 km ，從點P沿海岸正東12 km 處有一個城鎮.

（1）假設一個人駕駛小船的平均速度為3 km/h，步行的速度是5km/h ，t表示他從小島到城鎮的時間，x表示此人將船停在海岸處距點P的距離.請將t表示為x的函數.

（2）如果將船停在距P點4 km 處，那么從小島到城鎮要多長時間（精確到0.1 h ）？

2 習題分析

如圖1所示，設地點C到A地的距離為x km ，在直角三角形ABD中，AD=36 km ，

BC= ?36－x ??2+27 ?2 ，

2BC+AC=x+2 ?36－x ??2+27 ?2 .

令m=36－x∈［0，36］，要使總運費最小，

等價于求2BC+AC=－m+2 m 2+27 ?2 +36的最小值.

人教版設置的兩小問主要考查學生基于實際問題建立函數模型的能力（解析法表示函數），

即t=- x 5 + 1 3 ???x ?2 +4 + 12 5 （0≤x≤12），

并運用模型回答現實問題. 由于函數的基本性質是接下來的內容，故這里沒有涉及最值問題，當然作為教師可以在章節復習課的時候回歸教材，將這一實際問題得到徹底解決，讓學生認識數學的應用價值，培養學生數學建模這一核心素養.

3 深度探究

本質上兩道習題是同一個問題，即求形如y=ax+b x 2+c （b>|a|，a<0，c>0）的最值問題. 本文以原題1為例，試從不同的角度對問題進行剖析，深挖基本思想、基本方法，供讀者參考.

3.1 判別式法

為計算方便，令t= 36－x 9 ∈［0，4］，

于是2BC+AC=9 －t+2 t 2+9 ?+36，

記z=2 t 2+9 －t，原問題轉化為求z的最小值.

移項平方可得z 2+t 2+2zt=4t 2+36.

上式可看作關于t的方程：3t 2－2zt－z 2+36=0，

此方程一定有解，即Δ=4z ?2 -4×3（36-z ?2 ）≥0.

解得z≥3 ??3 或者z≤-3 ??3 ?（舍去），

當z=3 3 時，t= 3 ∈［0，4］.

綜上，地點C到A地的距離為36－9 3 時，總運費最小.

評注 ??求函數最值可轉化為方程有解，進而運用判別式法求最值，但需要注意Δ≥0是方程有根的必要條件，所以需要檢驗函數取到最值時，自變量的取值是否在定義域內.

3.2 平面幾何法

如圖3所示，過點B作BD⊥AD于點D，則BD=27 km ，AD=36 km . 由題意，要使總運費最少，只需BC+ 1 2 AC最小即可.

作∠XAY=30 ° ，過點C作CE⊥AY于點E，過點B作BF⊥AY于點F交AX于點C1.

于是有CE= AC 2 ，

則BC+ 1 2 AC=BC+CE，

在三角形BCE中，BC+CE>BE;

在直角三角形BFE中，BE>BF，

即BC+CE>BF.

當點C與C1重合，則BC+CE=BF，

此時∠DBC=∠XAY.

DC1=BD tan 30 ?° =9 3 ?km ，

故地點C到A地的距離為36－9 3 時，總運費最小.

評注 ??此類加權線段和最值問題涉及的知識點主要有：兩點之間線段最短、三角形三邊關系、垂線段最短. 此解法起點低，有利于培養學生的邏輯推理和直觀想象能力.

3.3 不等式法

由不等式： （a 2+b 2）（c 2+d 2） ≥ ac+bd ，

其中a，b，c，d∈ R ，

取“=”號的條件：ad=bc.

y=x+2 ?36－x ??2+27 ?2 =x+ 1 2+（ 3 ） ?2 ??36－x ??2+27 ?2 ≥36+27 3 ，

取“=”號的條件：27=（36－x） 3 ，

即x=36－9 3 ?.

評注 ??利用柯西不等式求最值的關鍵是觀察所求式或者限制條件，構造出符合柯西不等式的形式.

3.4 三角換元法

只需求z=－t+2 t 2+9 的最小值.

令t=3 tan θ， 則z=－3 ?tan θ－ 2 ?cos θ ?，

于是只需求 tan θ－ 2 ?cos θ = ?sin θ－2 ?cos θ 的最大值.

記A（ cos θ， sin θ）為單位圓上一點，B（0，2），

則 ?sin θ－2 ?cos θ－0 =kAB .

當AB與單位圓相切時kAB 最大，且OA⊥AB，OB=2OA=2，

易知θ=∠xOA=30 ° ，此時t= 3 ∈［0，4］，

z min ?=3 3 .

評注 ??數形結合的思想就是依據函數表達式找到其所代表的幾何意義，把代數問題轉化為幾何問題，此解法就是利用直線斜率的幾何意義.