學生觀察能力在高中數學解題中的應用

高健 謝徽 賈旋

[摘? 要] 數學解題中的觀察能力強調學生通過觀察，把握問題本質，探尋解題規律.將觀察能力應用在高中解題中，有利于增強學生的問題解決意識，提高教師的解題教學水平.

[關鍵詞] 解題教學;觀察能力;注意點

引言

心理學家巴甫洛夫曾在自己的實驗室里貼著“觀察、觀察、再觀察”的標語，正是這種“善于觀察”的技能使巴甫洛夫在心理學界取得了偉大的成就[1]. 觀察是學生解決問題的突破口，是學生有效解題的重要途徑.觀察法作為一種重要的學習方法，貫穿數學學習的整個過程. 有效的觀察能力不僅可以幫助學生快速發現問題特點、尋找問題突破口，還能促進學生養成良好的解題習慣，提高解題效率. 因此，本文重點闡述學生的觀察能力在數學解題中的意義、價值和應用，以及解題教學的注意點，旨在增強學生的問題解決能力，確保師生雙邊互動的解題教學活動有活力、有效率、有價值.

學生的觀察能力在數學解題中的意義、價值

1. 明確解題思路，把握問題本質

“觀察”意在全方位地考察事物的形態，明確事物的特征，這種方式不僅為人們發現問題、解決問題提供了重要的基礎和前提，而且是增強學生問題解決意識、幫助學生把握問題本質的應有之義[2]. 在數學解題中，學生通過觀察已知量與未知量之間的關系、明確條件與問題之間的內在聯系，探尋問題解決的突破口，厘清解題思路，在題干隱含的眾多信息中尋找有價值的關鍵因素，篩選最佳的解題途徑和方法，以“問題解決”為目的，把握問題本質，提高解題效率，達到事半功倍的效果. 因此，教師應該有意識、有目的，創新引導學生觀察題目的特點和規律，使學生把握問題本質、領悟知識內涵.

2. 轉變思維方式，促進解法創新

處處留心皆學問，敢于觀察、善于觀察、精于觀察的一個人，既有助于自己在所從事的研究和職業上越走越遠，又有利于自己防止半途而廢情況的頻頻發生. 相反，如果一個人只是蒙頭研究，對周圍的人、事物視而不見，那么他的精神世界必定充滿空虛與茫然，猶如井底之蛙，只限于自己狹窄的眼光和視角看待問題，不去觀察、不去思考、不去鉆研，難以有所創新，最終只會無所成就[3]. 一道高中數學題考查的知識點往往不是單一的，而是多種知識點相互交叉、相互聯系，促使其解法也是多種多樣的. 此時，學生有效的觀察能力便是解決問題的重要法寶，在觀察中轉變思考方式，在探索中更新陳舊思維，進而促進解法創新.

3. 落實教育價值，提升數學素養

蘇霍姆林斯基曾說：“如果說，復習是學習之母，那么，觀察就是知識的理解和記憶之母.”[4]解題教學的表層目標是促使學生解決數學問題和提升學生的解題技能，深層目標是加強學生對知識的理解和記憶、突出數學的教育價值和意義. 同時，教學目標的呈現與落實，需要以“問題”為指向、以“情境”為載體，無論是課堂教學還是解題練習，以問題情境為航標更有利于教學目標的達成、教育意義的落實[5]. 近些年，高考試題越來越注重問題情境的創設，以情境為背景激發學生的解題興趣，以問題為載體培養學生的觀察能力，最終凸顯數學的科學價值與實用意義，在觀察能力的培養中潛移默化地向學生滲透教育本質，提升學生的數學核心素養.

學生的觀察能力在數學解題中的應用

1. 局部觀察——改變思維方式

整體與局部是兩個相對立的概念，但兩者互有聯系、不可分割. 在數學解題中，局部觀察法不失為一個簡捷易操作的重要方法，被學生廣泛使用. 但大部分學生使用時難以把握問題的本質，對題目的理解深度有所欠缺. 因此，需要教師不斷啟發和引導，以問題鏈的方式與學生進行有效互動，幫助學生挖掘題目中的隱含信息，進而找到問題解決的切入點和突破口，明確解題思路，發現問題本質.

例1 設變量x，y均為實數，且實數x，y滿足關系式y=，試求log（x+4y）的值.

分析 此題考查的是函數定義域以及對數函數求值，如果僅從整體的角度思考該題，那么短時間內難以發掘有效的解法，因此不妨從局部進行觀察. 該題重在求對數函數的值，從問題出發有兩種思路：第一，利用條件分別求出x，y的值;第二，利用整體思想求出x+4y的值. 基于此，回歸到題目所給的已知條件去分析——條件只有實數x，y以及兩者所滿足的關系式，此時學生的觀察能力的作用將不言而喻，需要學生從局部觀察所給的關系式，發現該關系式中隱含著“二次根式的被開方數大于等于0”“分母不能為0”的條件，實則就是以“函數”的視角求該關系式的“定義域”，將定義域求出后問題便迎刃而解. 因此，此題中的關系式是掣肘學生解決該題的瓶頸，需要學生善于通過局部視角進行觀察，在觀察中明確出題意圖，在探究中發現解題突破點.

解析 因為y=，所以64-x2≥0，

x2-64≥0，

x+8≠0，解得x=8. 將x=8代入y=中，可得y=0. 所以log（x+4y）=log（8+4×0）=log8= -1.

大部分學生看到此題時無從下手，歸結為兩方面的原因：（1）學生難以明了此題考查的知識點以及知識點間的聯系，根據問題只知道求對數函數的值，因此容易陷入“只探究x，y的值而不觀察已知條件”的泥潭中;（2）學生缺乏觀察能力，看到題目就是一味地思考用什么方法去求解，沒有形成良好的解題習慣和數學思維. 因此，這也是教師在數學解題教學中應當重點關注和解決的問題.

2. 變形觀察——簡化解題操作

基于題目自身的特點以及學生日常的學習經驗，對于同一道題目，可能有多種不同的解法. 因此，如何引導學生基于觀察視角采用簡捷易操作的解法，是教師在解題教學中需要解決的一個問題. 特別是代數問題，代數式中所隱含的數量關系與結構，需要學生通過觀察、猜想、探究、操作與驗證等活動，不斷挖掘數量間深層次的代數關系，從而為問題解決找到突破口.

例2 已知△ABC的三邊長分別為5，12，13，求△ABC的最大角度.

分析 將此題放在初中、高中兩個階段會出現不同的解法. 若將此題設置在高中階段的正弦、余弦函數這一章節中，大部分學生會采用余弦定理求解，這種解法雖然可以得到正確答案，但是未免“小題大做”，不僅操作煩瑣、浪費時間，而且容易使學生喪失解題的興趣、限制于大量的計算中. 但是，若將此題設置在初中階段的勾股定理這一章節中，大部分學生通過觀察，可能更多想到的是尋求△ABC三邊之間的關系，不難發現52+122=132滿足勾股定理的逆定理，可得△ABC的最大角度為90°.

解析 因為△ABC的三邊長分別為5，12，13，且52+122=132，滿足勾股定理的逆定理，且三角形的內角和為180°，所以△ABC的最大角度為90°.

此題難度并不大，利用勾股定理的逆定理很快便能解決. 基于目前數學高考試題的特點，利用勾股定理及其逆定理求解不乏是一種最簡便的方法，然而這種方法不是學生一眼就能看出來的，這需要學生具備細致的觀察能力和敏銳的數學感知力. 通過觀察數字、轉化操作，找到解題的切入點，當再次遇到如“2，，”“2，，3”等勾股數時能夠快速找到解決問題的方法，提高做題效率.

3. 實驗觀察——歸納問題規律

高中數學中的部分題目存在一定的規律，需要學生通過觀察、猜想、操作、歸納、檢驗等進行解決. 一般的解題思路是：第一，從簡單情況入手;第二，合理猜想;第三，歸納概括;第四，總結驗證. 但是，在實際求解過程中，大部分學生遇到規律性問題時，過于注重題目本身，只知其然而不知其所以然，難以快速揭露問題的本質，感覺題目抽象復雜，無從下手. 因此，在此類問題的求解教學中，教師應注重引導學生“善于觀察、合理猜想、學會歸納”，以“觀察”帶動學生合理猜想，以“猜想”引導學生總結歸納.

例3 一個人在一片平整的土地上種蔬菜，現需要將土地進行劃分，他發現在一個平面上，1條直線可以將平面分成2個區域，2條互不平行的直線可以將平面分成4個區域，那么3條互不平行且不共點的直線可以將平面分成多少個區域？4條？5條？20條？n條呢？（任何3條以上的直線不共點，區域不需要互相平分）

分析 此題很明顯是一個探尋規律的問題，需要學生通過實驗觀察，不斷猜想歸納、總結驗證，進而得出一般的表達式，實則也是滲透學生代數思維的一種手段. 以一張草稿紙作為一個平面，在草稿紙上畫1條直線，很顯然可以將草稿紙分成2個區域;在草稿紙上畫2條互不平行的直線，可以將草稿紙分成4個區域;在草稿紙上畫3條互不平行的直線，可以將草稿紙分成7個區域;在草稿紙上畫4條互不平行的直線，可以將草稿紙分成11個區域……通過歸納總結，可得n條互不平行的直線可以將平面分成個區域. 教師可以把規律性習題的探究作為培養學生觀察能力的手段，注重在歸納總結中提升學生的數學思維，幫助學生感悟數學的本質，進而體現數學教育的價值和意義.

解析 因為1條直線可以將平面分成2個區域，則標為f（1）=2;2條互不平行的直線可以將平面分成4個區域，則標為f（2）=4;3條互不平行的直線可以將平面分成7個區域，則標為f（3）=7;4條互不平行的直線可以將平面分成11個區域，則標為f（4）=11;以此類推，可得f（5）=16，f（6）=22，等等.

如圖1所示，可知f（2）-f（1）=2，f（3）-f（2）=3，f（4）-f（3）=4，f（5）-f（4）=5，…，即f（n）-f（n-1）=n. 通過“疊加法”可得f（n）-f（1）=2+3+4+5+…+n，所以f（n）=2+2+3+4+5+…+n=1+1+2+3+4+5+…+n，所以f（n）=1+=.

解析此題，先引導學生觀察1條直線、2條互不平行的直線、3條互不平行且不共點的直線劃分平面得到的區域個數，然后以函數“f（n）”的形式進行表述，接著將相鄰兩項相減，利用“疊加法”得到“f（n）-f（1）”的恒等式，最后化簡求出f（n）的表達式. 通過觀察發現、猜測探究、類比歸納、總結驗證，學生很快獲得解題思路，突破問題難點，找到數與形的規律，促進問題的解決. 如果拋棄“觀察”，在草稿紙上畫直線數數，那么會導致學生陷入無止境的畫圖泥潭中，不僅會淡化問題的本質，還會增加問題解決的煩瑣，最終致使學生喪失問題探究的興趣.

解題教學的注意點

1. 以基礎知識為基石，觀察與猜想相融合

在高中數學解題教學中，教師應當注重學生基礎知識的牢固性，確保學生敏銳、機智的觀察能力建立在扎實的數學基礎知識上. 學生的知識經驗越豐富、基礎知識越牢固，學生通過觀察就更容易發現問題解決的突破口，其猜想也會更加趨于科學性、合理性、準確性. 相反，若學生的基礎知識不扎實、認知經驗不足，則學生容易“只看點不看面”“只看問題不抓本質”“只求答案不學技巧”. 因此，教師應當深入了解學生的知識水平以及認知經驗，在此基礎上引導學生善于觀察、敢于猜想，不斷向問題解決的突破口的邊緣趨近.

2. 以發散思維為方法，觀察與思考相促進

在高中數學解題教學中，無論是基于題目自身的結構特點，還是基于學生做題的思維習慣，教師應當注重學生思維發散的層次性、順序性，強調學生在觀察中發散性地思考，在思考中有針對性地觀察[6]. 同時，一道題目通過觀察，可能有多種不同的解法，教師應當鼓勵學生尋求自身容易理解、容易掌握的方法去解題，不可貪多、貪全，確保學生將自己最擅長、感興趣、容易理解和掌握的“一類題目的解法”在頭腦中形成清晰穩固的圖示，以便后續遇到類似的題目時，能夠迅速挖掘頭腦中儲存的關鍵信息，快速輸出和應用.

3. 以反思總結為手段，觀察與概括相依存

近年來，高考數學試題卷中所呈現的題目，越來越區別于往年題目的特點，“題量大、時間不夠、學生難以完成”的感慨越來越多[7]. 基于此，教師應向學生強調觀察的技巧和方法，摒棄以往只會掃蕩式地從題目中挖掘與之相關的數學知識進行解題的習慣，引導學生細致觀察、合理聯想、科學猜想，以“觀察—聯想—猜想”的思維方式反思每一道習題[8]，在反思中完善解題方法，在總結中提升解題技能，不斷彌合以往解題的思維偏差和不良習慣，將每次的觀察與反思總結相關聯，進而減少解題的障礙、思維方式的限定、方法技巧的局限，逐步提高解題效率，達到事半功倍的效果.

總結

數學解題技能的提升需要以敏銳的觀察能力為前提，而觀察能力的意義和價值要在數學解題中得以落實和肯定. 因此，教師基于學生的觀察能力開展數學解題教學時，應建立在學生穩固的基礎知識上、發散的思維方式和深刻的反思總結中，鼓勵學生從生活經驗和認知結構出發進行觀察，逐步產生創新性的解題思路和方法，幫助學生深刻體會數學的應用價值和科學意義.

參考文獻：

[1] 鄭家湘，劉蕓. 數學解題教學中學生觀察能力的培養[J]. 濰坊工程職業學院學報，2010，23（05）：102-103+105.

[2] 丁益祥. 解題教學與觀察能力的培養[J]. 數學通報，1993（11）：20-23.

[3] 夏恒. 觀察能力與數學解題[J]. 數學通報，1988（10）：11-13.

[4] 蘇霍姆林斯基. 給教師的建議[M]. 趙聰，譯. 長沙：湖南人民出版社，2021.

[5] 趙群，夏小剛，李賢慧. 對問題情境教學的認識與反思——以“直線與平面垂直的判定”教學為例[J]. 中國數學教育，2021（22）：47-50.

[6] 袁如標. 芻議數學觀察能力的培養[J]. 高中數學教與學，2021（20）：11-13.

[7] 張德立. 高中生數學觀察能力的培養[J]. 玉溪師范學院學報，2011，27（12）：62-63.

[8] 易南軒. 在解題中如何培養學生的觀察能力[J]. 數學通報，1990（09）：13-15.