學(xué)生數(shù)學(xué)高階思維培養(yǎng)的有效途徑研究

李敏杰

【摘 要】數(shù)學(xué)高階思維，主要是指在數(shù)學(xué)的教學(xué)活動中根據(jù)特定的、具體的目標培養(yǎng)學(xué)生高水平的、復(fù)雜的思維。高階思維具有嚴謹性、概括性、批判性等特點，其在小學(xué)生的成長與學(xué)習(xí)中具有至關(guān)重要的作用。本文首先對數(shù)學(xué)高階思維進行了相關(guān)研究，在此基礎(chǔ)上對其培養(yǎng)的有效途徑進行了一定的探究，以更好地促進學(xué)生的學(xué)習(xí)與成長。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)教學(xué) 高階思維 嚴謹思維 概括思維 批判思維

高階思維是相對低階思維而言的，它們刻畫了兒童思維水平的高低，而高階思維是兒童高水平的思維活動。按照布盧姆的認知目標分類建立對應(yīng)關(guān)系，通常將思維過程中的分析、綜合、評價統(tǒng)稱為高階思維。數(shù)學(xué)新課標指出，要培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題的能力，重視學(xué)生高階思維能力的培養(yǎng)。教師在教學(xué)中，培養(yǎng)學(xué)生的高階思維，是學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)發(fā)展中不可缺少的重要組成部分。在當前的數(shù)學(xué)教學(xué)中，對培養(yǎng)學(xué)生高階思維能力的方式與方法進行探究與實踐，已經(jīng)成了重要的研究領(lǐng)域。

一、數(shù)學(xué)高階思維的概述

高階思維這一概念的提出和使用主要基于一種學(xué)習(xí)理論。高階思維的主要提出者之一——布盧姆針對認知視角下的教育問題進行了深入的思考，他將教學(xué)領(lǐng)域中的主要目標分為幾種不同的類別，其中包括記憶、理解、應(yīng)用、分析、綜合和評價，記憶、理解和應(yīng)用被界定為低階思維；分析、綜合和評價則被界定為高階思維，能夠在較高的層次上體現(xiàn)人們的認知能力，并使問題的處理效果達到最佳。高階思維可以用來解決新的問題和特定領(lǐng)域的問題，且解決問題不能只尋求一種路徑和方式，要采取多樣化的思維，而高階思維恰恰可以滿足這個條件，能夠運用多元方案將問題進行合理處理，從而提升學(xué)習(xí)和工作的實際效率。在高階思維的作用下，人們解決問題通常是需要通過心智努力來實現(xiàn)的，因為整個過程涉及對問題的理解、方法的調(diào)整和運用、對問題的思考和解決等。

本文探討的內(nèi)容是小學(xué)階段的數(shù)學(xué)高階思維培養(yǎng)的主要途徑這一現(xiàn)實性問題，筆者結(jié)合數(shù)學(xué)高階思維的幾個重要特征進行分析，將其與小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科特征結(jié)合，以便提升學(xué)生的數(shù)學(xué)高階思維能力。

二、培養(yǎng)數(shù)學(xué)高階思維的有效途徑研究

（一）嚴謹性思維：讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)從“直覺”轉(zhuǎn)向“說理”

通常來說，思維的嚴謹性是指研究問題時要嚴格遵守邏輯規(guī)則，做到概念清晰、判斷正確、推理有據(jù)。嚴謹性思維屬于布盧姆目標體系中的“分析”層面，是一種高階思維形態(tài)。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要給予學(xué)生充分的獨立思考、合作交流和反思的時間，幫助學(xué)生從“直覺思維”向“說理思維”過渡。

例如，在教學(xué)蘇教版數(shù)學(xué)五年級上冊“平行四邊形的面積”時，教師呈現(xiàn)了長方形和平行四邊形的花壇各一個，并給出長方形長和寬的數(shù)據(jù)以及平行四邊形相鄰兩邊和其中一條高的數(shù)據(jù)。教師拋出核心問題：“長方形花壇和平行四邊形花壇相比，哪個面積更大？”學(xué)生獨立思考后，交流想法。

生1：長方形的面積公式是長×寬，由此可求出面積為6×4=24平方米。平行四邊形有兩個尖角，種的花會少一點。我認為長方形面積大。

生2：因為長方形面積是用乘法計算，我猜想平行四邊形的面積也是用乘法計算。

生3：我猜平行四邊形的面積公式是底×高，則它的面積為6×4=24平方米。

師：你們的猜想有一定道理，你們準備怎樣驗證呢？

生4：我用數(shù)格子的方法，有20個整格，8個半格，2個半格算一個整格，面積是20+8÷2=24（平方米）。

生5：我是沿著線剪開，把三角形平移到右邊，拼成了長方形，所以面積就是6×4=24（平方米）。

生6：我把平行四邊形剪成了2個梯形，把左邊的梯形平移到右邊，也變成一個長方形。

師：這兩位同學(xué)都是沿著平行四邊形的什么剪開，平移后拼成長方形的？

生7：都是沿著高剪開的。

師：先觀察，再思考轉(zhuǎn)化后的長方形和原來的平行四邊形有什么聯(lián)系。在小組內(nèi)交流你的想法。

生8：長方形是平行四邊形剪拼轉(zhuǎn)化得到的，它們的面積相等，平行四邊形的底等于長方形的長，平行四邊形的寬等于平行四邊形的高，所以平行四邊形的面積=底×高。

師：是呀，通過把平行四邊形轉(zhuǎn)化成長方形，得到了平行四邊形的面積=底×高?；仡櫶骄康倪^程，你們有什么體會？

生9：知識之間是有聯(lián)系的，我們可以把新知識轉(zhuǎn)化成舊知識進行研究學(xué)習(xí)。

生10：在學(xué)習(xí)新知識時，可以勾連與之相關(guān)的舊知，通過先觀察、猜想，再操作、驗證的方法探究新知識。

學(xué)生學(xué)習(xí)新知識的時候，多數(shù)都不是零起點的。不管他們對新知的直覺是對是錯，教師都不要提前干預(yù)，在學(xué)生學(xué)習(xí)的過程中扮演好組織者和引導(dǎo)者的作用，讓他們自己去探究，在說理的過程中，學(xué)生會逐步明晰對錯。學(xué)生一如既往地用說理的方式闡述數(shù)學(xué)問題、學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識，他們的思維就會不斷走向嚴謹。

（二）概括性思維：讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)從“表象”轉(zhuǎn)向“本質(zhì)”

概括性思維指對知識體系和知識結(jié)構(gòu)的概括，從一類題中概括出數(shù)學(xué)思想方法。概括有歸納、提煉和抽象的意思，概括性思維屬于布盧姆目標體系中的“綜合”層面，也是一種高階思維形態(tài)。數(shù)學(xué)思想方法的領(lǐng)悟和概念的習(xí)得顯然離不開概括性思維。學(xué)生在概括的過程中，數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)從“表象”轉(zhuǎn)向“本質(zhì)”。

例如，學(xué)生在解決數(shù)學(xué)教材中題目時的交流分析。

先計算，再觀察每組中的得數(shù)，你有什么發(fā)現(xiàn)？

（1）1—2－1—3=? ? ? ? ? ? ? 1—2×1—3=

（2）1—3－1—4=? ? ? ? ? ? ? ? ? 1—3×1—4=

（3）1—4－1—5=? ? ? ? ? ? ? ? ? 1—4×1—5=

生1：通過計算，我發(fā)現(xiàn)第一組的答案都是1—6，第二組的答案都是1—12，第三組的答案都是1—20。

生2：我發(fā)現(xiàn)這些分數(shù)的分子都是1。

生3：我還發(fā)現(xiàn)了每組中2個分數(shù)的分母相差1。

師：你們能把剛才三位同學(xué)的發(fā)現(xiàn)概括成一句話嗎？

生4：分母是相鄰的非零自然數(shù)，且分子都是1的兩個分數(shù)，它們的差等于它們的積。

師：是不是所有的這樣的兩個分數(shù)相減都符合這句話的規(guī)律呢？你有什么辦法驗證？

生5：再舉幾個例子，只要這些例子都符合，那么說明結(jié)論是正確的。

師：可是例子是舉不完的，說不定會有不符合的例子，只是沒有發(fā)現(xiàn)而已。

生6：可以用字母來表示這里的分母，這樣就有一般性了。

生6：在1— n－1 —（n+1）這個算式中，1— n的分子和分母同時乘n+1，分數(shù)值不變，變成（n+1）— n（n+1）；1 —（n+1）的分子和分母同時乘n，分數(shù)值也不變，變成n — n（n+1）。同分母分數(shù)相減，算出差是1— n（n+1），也就是1— n×1 —（n+1）。

師：用字母表示分母這兩個非零自然數(shù)的方法非常巧妙，并驗證了結(jié)論是正確的，真了不起！

當學(xué)生具有較好的概括性思維能力時，由原來對數(shù)學(xué)對象的感性認識上升到理性認識，從而讓知識的本質(zhì)屬性暴露出來。理解了數(shù)學(xué)對象的本質(zhì)和規(guī)律，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)才能走向深入，才能培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)高階思維能力。

（三）批判性思維：讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)從“定勢”走向“開放”

批判性思維是一種基于充分的理性和客觀事實而進行理論評估與客觀評價的思維方式。批判不是意味著否定，它更多地表現(xiàn)為對問題的進一步思考和分析，是對他人想法的補充和提升。批判性思維屬于布盧姆認知目標體系中的“評價”層面，也是一種高階思維形態(tài)。具有批判性思維的人，會審視問題的本質(zhì)，質(zhì)疑和補充不完整的想法，反思自己的想法，從而讓數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)從“定勢”轉(zhuǎn)向“開放”。

例如，學(xué)生在解決數(shù)學(xué)教材中題目時的交流分析。

用分數(shù)表示圖（圖1）中的涂色部分。

生1：把涂色的正方形旋轉(zhuǎn)一點，使它“正過來”，這樣就正好是9格。所以涂色部分占9—16。

生2：正方形的邊長要比3格多一些，轉(zhuǎn)過來后并不能得到3×3的正方形，而是比這個大。

生3：從涂色正方形中割下2個三角形，把左上角和右下角的2個直角三角形空白處補上（圖2），我發(fā)現(xiàn)正好是10格。所以涂色部分占10—16 =? 5—8 。

生4：割補法解答這道題很實用。

生5：我發(fā)現(xiàn)了在原來算成9格的基礎(chǔ)上加上1格就是正確答案了。

師：你們提出了一個很好的猜想，這種猜想具有普適性嗎？小組合作，再畫幾個這樣的圖形，試試看。

生6：我畫了5×5的方格（圖3），用割補法發(fā)現(xiàn)它的陰影部分是17格（圖4）。如果按照猜想，轉(zhuǎn)過來的錯誤答案是4×4=16，再用16+1=17，和正確的格數(shù)是一樣的。

生7：我也試了，這個猜想的確是正確的，好神奇?。?/p>

師：你們能用算式把發(fā)現(xiàn)的規(guī)律表示出來嗎？如果正方形的邊長是n，涂色部分的面積是多少呢？

生8：我觀察了圖，發(fā)現(xiàn)割補后，涂色部分都是左下角一個正方形再加1格。左下角正方形的邊長正好比大正方形的邊長少1，所以斜著的正方形面積可以表示為（n-1）2+1。

師：你們的發(fā)現(xiàn)真了不起，原來數(shù)學(xué)中藏著這么多有趣的奧秘！

批判是一種反思，既是反思別人的行為，也是自省的行為。教師在教學(xué)中，要善于抓住學(xué)生的爭辯處，給予學(xué)生充分的時間展開深入討論、質(zhì)疑和反思，當學(xué)生成為真正的“學(xué)習(xí)者”時，課堂定會綻放精彩！

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，對學(xué)生高階思維的培養(yǎng)是一個長時間的、系統(tǒng)的過程，需要教師結(jié)合教學(xué)實踐進行不斷的探索。在信息技術(shù)快速發(fā)展的今天，知識的傳播速度不斷加快，教師不僅要教知識，更要教學(xué)生自主思考，后者更能體現(xiàn)出教育的本質(zhì)。數(shù)學(xué)教師要充分發(fā)揮學(xué)科優(yōu)勢，為學(xué)生的學(xué)習(xí)與成長創(chuàng)造條件，不斷培養(yǎng)學(xué)生的高階思維。

【參考文獻】

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[2]付才喜.指向高階思維命題，促進學(xué)生真實學(xué)習(xí)——以人教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材為例[J].數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2019（10）.

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