從系統的觀點看二次根式的教學設計

龐宇中

【摘要】二次根式作為初中代數學習的最后一章內容有著一定的難度與復雜性，教學過程中對“度”的把握也是一個難點.如何在代數式學習的基礎上，通過二次根式一課總結代數學習的一般方法，完善代數發展的內在要求，實現代數體系的系統化，如何嘗試與已學內容進行對比，發現其內在聯系，從而使得教學思路更為精準，使學生更能理解代數學習的方向，筆者將以此課為例進行有效的教學設計，突破上述難點.

【關鍵詞】二次根式；起始課；教學設計

一、內容與內容解析

1.內容

本節課為人教版《義務教育教科書·數學》八年級下冊“16.1 二次根式”.

2.內容解析

本章是初中階段“數與式”內容的最后一章.實際上，二次根式是一個非負數的算術平方根的一般表示，對于學生而言，它并非一個未知的全新概念，而學生存在的認知盲區是：不能理解二次根式作為一類特殊實數的一般形式.基于該學情，可以確定本章內容的核心價值在于：從“二次根式”這一特殊實數為載體出發，理解“二次根式作為特殊實數的一般形式”這一概念，從而進一步理解實數及其運算.

同時，二次根式作為一類代數式，研究其性質和運算，既是學習代數式的延續，又為理解代數符號體系及運算提供了素材，從而進一步引導學生體會運算在代數中的核心地位.而本節課作為起始課，主要介紹了“二次根式”的概念和性質，為學生后續理解代數符號體系及其運算做鋪墊.

筆者用如圖所示的框圖表示數與式的知識結構.

作為章節起始課我們從實際問題中抽象出二次根式的基本模型進行研究，結合代數式運算的全面角度體會其必要性.作為“數與式”的最后一章，可以借鑒之前學習其他代數式的一般方法，進一步體會代數式學習的基本思想和基本方法.

本節課屬于概念課，但由于概念以白描形式給出，應更多地關注被開方數非負這一特性，而不是深入研究如何辨析.

基于以上分析，確定本節課的教學重點：從算術平方根的意義出發進一步理解二次根式的概念；深入探索二次根式有意義的條件.

二、目標與目標解析

1.目標

（1）經歷從實際問題中抽象出二次根式的過程，能用二次根式表示數學問題以及實際問題中的數量和數量關系.

（2）根據算術平方根的意義了解二次根式的概念，知道被開方數及二次根式本身必須是非負數的原因.

（3）類比分式學習的方式，進一步理解代數式學習的一般方法.

2.目標解析

《義務教育數學課程標準（2022年版）》關于二次根式的表述為：了解二次根式、最簡二次根式的概念，了解二次根式（根號下僅限于數）加、減、乘、除運算法則，會用它們進行簡單的四則運算.顯然從代數式的角度理解二次根式主要集中于概念的理解，對于運算的要求更加偏向于實數的理解，所以本節課的教學應當從數式通性入手，達成概念的滲透.因此，達成目標（1）的標志是：學生能根據實際問題，運用已學過的計算方法，列出表達實際問題的代數式.達成目標（2）的標志是：學生能從具體數的算術平方根出發，通過字母表示數，從而把算術平方根的概念進一步拓展到被開方數含有字母的形式；根據算術平方根的概念推導出二次根式的概念；能根據算術平方根的意義得出二次根式的被開方數和值都為非負數這個結論.達成目標（3）的標志是：學生能自然聯想學習代數式的常規模式，體會運算在其中起到的決定性作用.

三、教學問題診斷分析

1.具備的基礎（知識、能力）

學生在七年級已經學習了非負數的開平方運算，掌握了平方根及算術平方根的基本概念，還學習了整式、分式的概念和性質，對開方運算以及代數式有一定的知識基礎和研究經驗.

2.與本課目標的差距分析（知識、能力）

開平方及平方根的知識，始終是六種運算中，最讓學生難以掌握的一種，而對包含字母的式子進行開平方運算則是比具體數的開平方運算更為抽象的一種運算，因此在研究根式的過程中，教師應結合實數的相關知識，培養學生的類比能力.

3.可能存在的問題（問題、障礙）

二次根式的概念屬于白描層次，對于二次根式的概念只能停留在形式上，不要讓學生陷入摳概念的死胡同.

4.應對策略（過程、方法）

通過熟悉的數的開平方運算以及平方根、算術平方根的知識出發，結合分式學習的一般方法，經歷“實際問題抽象—觀察—類比—歸納—應用”的過程，啟發學生從運算規律與基本概念中歸納出一般規律，這不僅符合學生認知基礎，而且符合代數式研究的一般方法，是數學抽象核心素養的體現，其結果具有統一性和普遍性.

基于以上分析，確定本節課的教學難點：把握知識發生發展的線索，類比分式的學習，明確代數研究的一般方法.

四、教學過程

環節1：課前檢測

（3）-5有平方根嗎？為什么？

設計意圖：為學生從數到代數的研究做好鋪墊，通過回顧數開方的過程，來研究式開方的過程；讓學生在學習過程中感受到研究二次根式僅僅只是將開方的對象從數擴展到含字母的表達式；通過回顧數的平方根的意義和特征，幫助學生更好地理解被開方數非負這一特征.

【評析】通過環節1，回顧開方運算以及平方根的相關概念，理解數的開放運算的基本流程，以便于利用數式通性，自然地形成二次根式的基本概念.從數的開平方開始，能減輕學生的認知負擔，有利于挖掘豐富的信息，喚醒代數學習的舊知，為二次根式概念的學習提供保障.通過教師的歸納斷后，學生充分了解開平方運算的內在要求，達到前測的效果.

環節2：引入

引言

大家順利地通過了前測，說明你們已經具備了學習新知識的能力，下面一起思考幾個在游樂場發生的數學問題.

問題1：回答以下幾個實際問題

師生活動：學生先自主思考，通過開方運算得出上述實際問題的結果，教師在學生思考過程中適當引導、評價，最終幫助學生從中抽象出數學模型.

追問：通過哪種運算得出這些結果的？

師生活動：通過運算過程，教師引導學生回答開方運算.

追問：以上的式子你是陌生還是熟悉？

師生活動：學生討論，可以從不同角度發表意見，這里不論學生回答陌生還是熟悉，教師均表示認可，可以引導學生從代數式的角度發現這些式的開方運算結果，對于只學過整式和分式的學生來說是陌生的，而形式上發現與數開平方的結果即算術平方根相似，所以又是熟悉的.然后教師可以讓學生發現最大的區別就在于被開方數是數還是表示數的字母，而通過字母表示數的過程則可實現統一.

設計意圖：經歷這些實際問題，是為了讓學生感受學習二次根式是實際需要的，它與生活息息相關，讓學生從實際問題中抽象出要學的二次根式形式，為之后的概念學習打下基礎，其次教師引導學生尋找二次根式與數的算術平方根之間在概念層面上的聯系，了解字母表示的數進行開平方運算的可能性，體會字母在表示“數”這一概念上的一般性和簡約性.

【評析】（1）從生活實例得出二次根式的概念，充分體現了研究主體的實用價值，進一步提高了學生用數學的眼光觀察現實世界的能力，引導學生進一步用數學的語言表達對現實世界的觀察與理解，培養學生用數學的思維思考現實世界的能力；（2）結合前測用開方運算一以貫之，教師引導學生利用數式通性達到數到式的平滑過渡，為概念的落地提供有效保障；（3）教師的追問斷后使得問題層層推進，充分調動學生的學習熱情.

環節3：探索

師生活動：結合之前活動對于這些式子的理解，教師帶領學生共同描述二次根式的概念.借此教師可以通過代數式的運算出發，從六種運算的完備性的角度，再次說明學習二次根式的必要性.

追問：這個章節是初中數與式的最后一章，那么大家對于之前所學的整式和分式還熟悉嗎？我們試著以學習分式的方法為例，一起學習二次根式.

師生活動：教師展示分式的教材，類比分式的學習方法，從概念到有意義的條件，讓學生實現方法的同化.

追問：分式需滿足分母不為零，那么你覺得二次根式需要滿足怎樣的條件呢？

師生活動：教師引導學生討論，結合之前對二次根式的理解，從開平方運算的角度，來說明其有意義的條件，從而能順利地追加被開方數非負的條件.

設計意圖：采用代數式學習的一般模式，得出二次根式的概念及其有意義的條件.

【評析】（1）由實際問題產生概念，說明了研究主體的實用價值，但教師也需要讓學生充分理解概念所蘊含的數學邏輯，類比于數的運算，整式的加、減、乘運算都是封閉的，而除法除不盡了就需要引入分式，而開方開不盡了就需要引入根式，從數學內部邏輯讓學生進一步體會概念形成的過程；（2）代數學習的一般路徑可以類比于分式的學習，在研究路徑上分式與根式的學習是具有一致性的，包括他們產生的數學背景、所需要滿足的代數條件，以及性質和運算，分式的產生是依托于除法的，要求除數不為零，即分母不為零，而二次根式的產生是開平方的結果，所以要求被開方數非負，如此的教學能夠讓學生思考代數學習的一般模式，體會代數整體的內在邏輯.

環節4：概念辨析

師生活動：利用二次根式有意義的條件，我們可以解決下面的問題.

師生活動：通過測評，教師讓各組組長統計好正確情況及時反饋錯誤點，讓學生作為老師進行講解，并在講解完后，進行同類變式，再次訓練，以致掌握.

設計意圖：通過例1和例2以及實時測評，加深學生對概念理解.

問題2：類比于分式，我們在研究完概念后需進一步研究它的什么？

師生活動：教師展示分式章節教材，引導學生回答問題并學習其性質.

設計意圖：強化學生對二次根式的雙重非負性的認識.

【評析】（1）通過對概念本質的理解，能讓學生有效地解決問題，當產生困惑時教師需要引導學生回歸問題的本質，而二次根式有意義的條件則是被開方數非負，從而把問題轉化為不等式求解的問題；（2）類比于分式的學習，在概念結束后為了運算的需要，教師引導學生學習了分式的性質，而二次根式的性質大多是為了滿足運算的需要，在代數結構特征中，教師可以先提出算術平方根所具有的非負性，這對學生認識代數結構有著非常大的作用.

環節5：綜合應用

練習1：完成教科書第3頁的練習.

練習2：下列各式在實數范圍內有意義，求a的取值范圍.

設計意圖：使學生辨析二次根式的概念，確定二次根式有意義的條件，能用二次根式解決簡單實際問題.

【評析】通過應用，學生熟悉了本節課的內容，回到實際問題中來，前后呼應，充分體現學習主體的研究價值.

環節6：課堂小結

教師與學生一起回顧本節課的主要內容.

1.回顧二次根式的概念及性質.

2.回顧學習二次根式所用到的基本數學方法.

3.結合之前代數式的學習過程，猜想之后學習的內容.

設計意圖：結合二次根式概念的回顧，教師讓學生體會研究問題的一般方法，學會發現知識之間的聯系，體會運算在代數學中的重要地位.

【評析】學生通過小結，回顧學習內容，理順研究路徑，形成代數學習的基本模式.

五、教學反思

第一，代數運算是代數的基本性質，初中生學習代數是依托運算出發的，在教學中教師需讓學生充分體會代數運算體系，與根式產生的內在聯系；第二，數學模型多來源于生活，而數學本身也是為生活實際服務的，教師需充分讓學生體會從實際問題中抽象出數學模型的過程，這樣的研究是有靈魂的；第三，作為數與式的最后一課，類比已經學習過的代數式是巧妙的思路，能更好地滲透學生研究問題的一般方法，強化對于概念和性質的區分.

本節課中，教師采用“發現問題—研究意義—理解概念—嘗試辨析—綜合應用”的教學方法，讓學生既有時間思考，又有機會表達，讓學生在交流和碰撞中加深對知識的理解，使學生對問題的認識更加深入，對概念形成更加系統的認知，從而逐步建構起數學的綜合素養，提高運用數學解決問題的能力、熟練掌握研究數學問題的方法.

【參考文獻】

[1]中華人民共和國教育部定制.義務教育數學課程標準（2022年版）[M].北京：北京師范大學出版社，2022.

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[3]馬健.“讓學引思”的實踐與思考：以人教版八年級下冊“二次根式（1）”教學為例[J].中學數學月刊，2017（07）：35-38，42.