基于學科核心素養視域下提升運算能力的教學思考

鄭妙可

【摘要】初中數學教學內容中數式運算占比大，教師需挖掘運算教學功能，不可僅“盯”學生會運算，還要會靈活運算，更應著眼法則生成中的思維可視化，潛移默化地滲透數學思想方法.唯有如此，學生的數學學科核心素養的落地才能潤物無聲、水滴石穿.課堂教學中教師在關注運算“技能”的同時，還應關注“技能”背后的“算理”，“算理”背后的“思維”，“思維”背后的“思想與方法”.

【關鍵詞】數學運算；核心素養；數形結合

【基金項目】教育部福建師范大學基礎教育課程研究中心2022年開放課題———指向學科核心素養發展的初中數學問題情境創設研究（KCA2022235）階段性成果.

《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱《課標》）指出核心素養具有整體性、一致性和階段性，在不同階段具有不同表現.其中，小學階段側重于對經驗的感悟，初中階段側重于對概念的理解，而運算能力在小學階段與初中階段核心素養的表現及其內涵是一致的：“能夠明晰運算的對象和意義，理解算法與算理之間的關系；能夠理解運算的問題，選擇合理簡潔的運算策略解決問題；能夠通過運算促進數學推理能力的發展.運算能力有助于形成規范化思考問題的品質，養成一絲不茍、嚴謹求實的科學態度.”《課標》明確了運算能力的提高與運算算理的理解互為倚仗、相輔相成，算理的理解與推理能力的發展是相互促進、相互制約的.

教學實踐表明，法則的學與用在運算能力的提高方面分量足、作用大.然而，提高運算能力視角下的初中數學法則教學常被“矮化”為：一個法則、三項注意、幾道例題、多題訓練、變式鞏固、達標檢測的教學范示.這樣的教學范示看似有效，甚至稱為高效的“得分”課堂.但這樣的教學范示能夠幫助學生理解運算的算理嗎？能夠幫助學生提高運算能力嗎？本文依托筆者的一節公開課教學實踐，闡釋相關的思考與認識.

一、基于學科核心素養視域下的課前準備

學科核心素養不是獨立于知識、技能、思想、經驗之外的神秘概念，它們綜合體現了對學科知識的理解，對學科技能與方法的掌握，對學科思想的感悟，對學科活動經驗的積累.數學核心素養的形成與提升不能離開學科的學習、應用、創新.教材呈現的往往是高度抽象和概括的靜態知識，是數學知識與思想的濃縮，其實，在這些“冰冷”的數學概念、定理或公式背后，隱藏著豐富的思維過程、艱難的探索歷程、精彩的動人故事等.因此，教師對學科本質的理解，對教材編者的意圖以及對學情的分析與研究是上好一節課的前提條件.而教師對課的整體設計，對課堂中數學思想方法的滲透，對教學中學科核心素養培養的路徑等“站”于高位上的思考是高效課堂生成的必備條件.

“多項式與多項式相乘”是《整式的乘法》這章中具有起承轉合功能的一課時.因此，教師在備課時從知識結構與學生形成知識結構的心理環節進行整體構思，有意識地進行“整體單元”思考、設計問題，力求讓問題成為搭建知識網的“腳手架”，增強知識的關聯性、完整性，讓學生思維深度向前邁進一點.教師充分考慮學生已掌握基本的數學事實與數學活動經驗入手，突出學生的自主探索過程，依據原有的知識基礎，引導學生探索運算基本法則，使其學會用符號語言解釋運算法則，并借助圖形面積整體與部分間的關系進行直觀解釋、驗證，體會數形結合思想.教師在課堂留足時間供學生交流、討論，使學生體會數學的應用價值，從而培養學生用數學的眼光觀察世界、用數學的思維分析世界、用數學的語言表達世界的能力.

二、基于學科核心素養視域下的課堂教學

環節1：課前“熱身”，揭示課題

問1：寫出兩個單項式和兩個多項式，并列出兩兩相乘的式子.

問2：同桌互換本子，計算兩兩相乘的結果，有你不會運算的式子嗎？

（學生經歷出題，做題，批改，交流，訂正.）

師生合作：教生回顧單項式、多項式的概念、單項式與單項式、單項式與多項式運算法則.運算法則回顧過程中教師板演本章節三個“墊腳石”公式：am·an=am+n，ab（）n=an·bn，an（）m=am·n.

設計意圖：開放性問題引出學習本課的必要性及最后“問題式”的課堂小結，這兩部分構建了單元整體知識網，教師以問題來搭建知識生長的腳手架，從而增強學生知識的關聯、張力、深度.教師在學生已有的學習經驗中構思、提取、設問，貼近學生“最近發展區”創設新授課的問題情境，依數學知識的理解和應用而設計的開放性問題.問題的引入加深了學生對單項式、多項式兩個概念的理解，明確了單項式與多項式的結構特征.兩兩相乘運算中單項式與單項式相乘、單項式與多項式相乘是對上一節課所學內容進行鞏固，當學生在計算多項式與多項式相乘時“卡筆”了，教師順勢拋出課題，也為課堂小結教師“站位”整體單元的視角下知識構建埋下“伏筆”.

環節2：思維“舞動”，生成法則

問3：如圖，為了擴大花園的綠地面積，把一塊原長a米，寬m米的長方形綠地，增長了b米，加寬了n米.你能用幾種方法表示擴大后綠地的總面積？

師生活動：學生獨立思考書寫代數式，然后小組內交流，

問5：請探索多項式與多項式相乘的運算步驟，總結運算法則，并用文字語言敘述.

設計意圖：問題串的設計并不是單純為了課堂提問，而是基于學生已有的認知結構，遵循知識的發生和發展規律，圍繞著教學目標，由淺入深、循序漸進、精心設計的一組問題.問題串是一系列問題，每一個子問題都不是“孤立”的，在設計上考慮其本身的連續性、梯度性與啟發性.教師從實際問題出發，以問題驅動引領學生自主探究、思考問題解決，引導學生多角度以“數”來表“形”，再對“數”與“式”進行深度思考、加工、整合，使學生從數量與數量關系中抽象出一般規律和結構，并用數學語言表述，能夠體現學生的主體性，培養學生數學抽象能力.

環節3：規范“演練”，熟悉法則

問6：同學們例中的第3小題可直接運用運算法則嗎？剛剛是由二項式乘二項式生成法則，那么二項式乘以三項式也遵循相同的運算法則嗎？若可以，請構建圖形進行驗證；若不可，請舉反例.

（四人小組交流討論，投影展示學生的構圖）

設計意圖：從特殊算式歸納得到的法則是否完整地歸納了所有類型式子的運算，教師引導學生通過構圖來驗證，完善學生對新知識的構建，發展其數形結合思想，同時培養了嚴謹求實的做事品格.例題由學生齊答，教師板演.教師示范性板演即是學生熟悉運算法則的過程，又可在學生的“易錯”之處起到提醒、強調的作用.

環節4：實戰“操練”，熟練運用

問7：觀察以上6個小題運算結果，從第3小題至第6小題的運算中你能發現什么規律嗎？

試填空：（x+p）（x+q）=（ ）2+（ ）x+（ ）

問8：你能構建圖形來驗證等式（x+p）（x+q）=x2+（p+q）x+pq成立嗎？（小組交流，投影展示）

設計意圖：教師有目的性地對課本配套的練習進行適當的改編，體現了本課以“式”設疑，以“式”構圖，以“式”促思的主題，以發展學生數形結合思想為主線，以學生交流為主體，以有效問題為主導，發展學生的思維活躍性與擴展性，促進學生思維的生長點.學生經歷數學知識“再創造”的過程時也就是將教材中靜態的知識轉化為課堂上動態的建構生成過程，學生切身體會感悟新知，有利于提高理解思維能力，明晰運算法則的對象.

環節5：梳理“歸整”，構建“知網”

問9：總結本節課運算法則生成過程的研究路徑及思想方法.（師生一起完成）

問10：本節課學了多項式乘以多項式運算法則：

（a+b）（m+n）=am+an+bm+bn，并在練習中構圖驗證了恒等式：（a+b）（a+n）=a2+（b+n）a+bn.觀察這兩個式子的字母特點，不難發現當m=a時，運算結果有一定的結構特征，那么是否存在字母更特殊的時候，運算結果也具有一定的結構特征呢？如，當m=a，n=b時，（a+b）（m+n）=（a+b）2=？又或是當m=a，n=-b時，（a+b）（m+n）=（a+b）（a-b）=？是否還有其他的特殊情況呢？請同學們課后交流、探索是否還能利用面積不變性構圖來驗證恒等式成立呢？

設計意圖：教師設置問題串為學生后繼學習做“鋪墊”，使學生帶著問題、帶著思考、有所收獲、有所期待地走出教室.問題使學生在潛移默化中學會類比遷移舊知找到新知的學習內容、學習方法，不斷地更新已有的知識結構和認知體系，使學生的思維從最近發展區走向深水區，真正實現基于學生、發展學生、以學生為本的課堂教學.

三、基于學科核心素養視域下的教學啟示

（一）教學起始問題應順應學生的認知水平

美國心理學家布魯納指出：“教學過程是一種提出問題和解決問題的持續不斷的活動，思維永遠是從問題開始的.”數學知識、思想、方法、觀念都是在解決數學問題的過程中形成和發展起來的.因此，教師在數學課堂中需要將知識問題化，把每一個知識點設計成前后連貫的、學生能解決的問題串，使學生在設問與釋疑的過程中萌生自主學習的動機與欲望，從而培養學生思考問題的習慣，不斷優化學習方法.“問題是數學的心臟.”問題是顯性的，思維是隱性的，數學語言則是“架”于顯性與隱性的一座橋梁.然而，若問題的指向性過于明確時，學生思維量小則容易形成思維定式；若開放性問題的思維量較大，教師則害怕學生的“生成”不可控導致偏離預設，故一線教師少用或不用開放性問題.筆者認為，創設開放性問題有利于培養人的質疑、批判、嚴謹、邏輯等一系列思維品質，只有不斷在課堂通過師生“平等對話”來共生“問題串”，才能提升學生的邏輯思維能力，培養學生的語言表達能力，又能使教師更進一步“理解學生”“看清”學生思維路徑，有助于創設下一個有效問題.

根據“最近發展區”理論，筆者在教學設計中充分考慮“學生知道了什么”及“希望學生探究的問題與學生現有認知水平之間的距離”的問題，從而在新課中引入開放性問題使學生在回顧概念的同時產生了認知上的沖突，引出學習本課的必要性.在課堂小結處設置問題串來構建學生知識結構從而達成認知上的相對系統與有序，并期待后續的學習.教師通過解決實際問題生成法則，引導學生用文字語言與數學語言來表達運算法則，體現了培養學生的歸納、表達能力，同時也是“思維”可視化的一個過程.

（二）教學過程問題需關注學生的思想方法

數學教育是以學習數學知識為載體，通過嚴格認真的數學學習和訓練，學生能夠擁有數學思維，從而更理性地思考，更有邏輯地分析，能夠用另外一種眼光來看世界.數學基本思想是對數學知識和方法的抽象和概括，其蘊含在數學知識的形成、發展和應用的過程中，而數學基本活動經驗是學生在學習數學知識技能的過程中逐漸積累，并在感悟數學基本思想的過程中逐步形成與掌握數學思維方法.本節課涉及數學化歸與轉化思想、整體思想、數形結合思想，新知識問題的解決常轉化為舊知識來求解，這在數學運算課的教學中是一線教師常用、善用的，而學生數形結合思想的培養、發展，教師常常誤以為只有在函數知識教學中體現.實則不然，人教版數學教材第十四章《整式的乘法與因式分解》章前引言呈現出一個大矩形拆分三個小矩形并在圖形上方標出“整式乘法p（a+b+c）=pa+pb+pc”，體現圖形“整—分”中面積不變性的“式”與“形”之間的轉化，包括此章節中單項式與單項式相乘、平方差公式、完全平方公式等一些新課中都有“式”與“形”的相互轉化.這充分體現了教材編者意圖是使學生在數學運算中理解運算對象并發展數形結合思想，但這常常被一線教師所忽視，課堂教學中只關注了會算、算對，這樣的教學完全不利學生核心素養的發展.因此，數學運算課在教學中多引導學生進行有序觀察猜想、有序構圖驗證，達到學生有序有向思維的培養，提升學生的運算能力，發展數學核心素養.

（三）教學設計力求構建學生整體知識網

教育家約翰杜威在《藝術即經驗》一書中曾提出“一個經驗”的概念：當我們體驗了一個完整的歷程而達到完滿時，就擁有了一個經驗，且是一個完整的經驗.學生通過一個課時的學習是無法形成一個完整的經驗的，若能不斷通過對單元知識進行歸納整理，才會擁有一個完整的學習經歷，并形成經驗，也就可以做復雜而具體的事情.因此，我們希望在有限的課堂學習中不斷向學生滲透“以單元為單位”的概念，那就要求教師要“站位”單元整體教學視角下進行教學設計.

心理學研究表明，學優生和學困生的知識體系是不一樣的.學困生頭腦中的知識是零散孤立的，呈水平排列形式、列舉形式；而學優生頭腦中的知識是有組織、有系統的，知識點按層次排列，并且知識點之間有內在聯系，呈現出一個層次網絡結構.因此，教師在備課時應多從知識結構方面與學生知識整體方面進行構想，有意識地整體單元教學設計問題，力求讓問題成為搭建知識網的“腳手架”，增強知識的關聯性、完整性、層次性，使學生的思維深度發展.因此，教師在關注課時的教學內容的同時更應關注單元的教學內容，將單元與課時有機結合，以清晰的策略、路徑，以問題鏈的設計對課時內容、教學方法等進行優化，從而提升學生的學科核心素養，實現教學價值.

【參考文獻】

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